二次函數與一元二次方程--教學設計

1、22.2二次函數與一元二次方程 一、內容和內容解析 1內容二次函數與一元二次方程的聯(lián)系2內容解析模型思想、幾何直觀都是課程標準2011年版提出的10個核心概念之一二次函數和一元二次方程都是重要的數學模型，也是進一步學習其它函數的基礎利用函數圖象研究方程的根，是培養(yǎng)學生幾何直觀的重要途徑二次函數和一元二次方程之間的內在聯(lián)系十分突出一元二次方程的一般形式為ax2bxc0，而ax2bxc是二次函數的一般表達式一元二次方程ax2bxc0的解是二次函數yax2bxc的零點，其幾何意義是二次函數的圖象與x軸的公共點的橫坐標一元二次方程ax2bxc0的根的分布與拋物線yax2bxc與x軸的位置關系相關聯(lián)更一

2、般的看，可以把解一元二次方程ax2bxch，理解為已知二次函數yax2bxc的函數值為h時，求對應的自變量的值研究函數和方程的聯(lián)系可以深化相關知識的理解，建立二次函數與一元二次方程的聯(lián)系是對知識結構進一步的優(yōu)化綜上所述，本節(jié)課的教學重點是：了解一元二次方程根的幾何意義；理解拋物線與x軸的位置關系與一元二次方程根的情況之間的對應關系 二、目標和目標解析1目標（1）了解一元二次方程的根的幾何意義（拋物線與x 軸的公共點的橫坐標），知道拋物線與x軸的三種位置關系對應著一元二次方程的根的三種情況，會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解（2）經歷用方程解決函數問題及用函數圖象求解一元二次方程解的過程

3、，進一步體會“以形表數，以數釋形”的數形結合思想，培養(yǎng)學生的幾何直觀2目標解析目標（1）要求能用函數的觀點看一元二次方程，知道解一元二次方程就是已知二次函數的值求自變量的值；知道函數反映的是變量之間對應關系的整體，方程則反映了變量的具體取值之間的對應關系目標（2）要求學生通過以函數圖象為中介，用函數的觀點看方程，進一步體會用圖象可以直觀地描述函數與方程之間的聯(lián)系三、教學問題診斷分析在八年級下冊，學生通過一次函數與方程、不等式的學習已經初步建立方程模型與函數模型的聯(lián)系在九年級上冊，學生已經分別學習二次函數、一元二次方程，知道它們都是刻畫現(xiàn)實問題中數量關系的重要模型，但沒有建立這些知識之間的有效聯(lián)

4、系學生可以通過類比的方法初步得到二次函數與一元二次方程的聯(lián)系并進行運用其中從函數圖象的角度看一元二次方程，實際上是已知二次函數圖象求圖象與橫軸交點的橫坐標由于作圖或觀察可能存在誤差，由圖象求得的根，一般是近似的，可以進一步通過不斷縮小根所在的范圍估計一元二次方程的根這樣計算并結合函數圖象確定根所在范圍的方法是學生首次接觸的方法基于以上分析，利用二次函數的圖象求相應一元二次方程實數根的近似值，這是學習的難點四、教學支持條件分析在估計一元二次方程的近似根的過程中，需要計算并比較幾個自變量對應的函數值的符號，此時計算量比較大且數值的顯示不夠直觀故采取用幾何畫板顯示函數圖象，標識相應點的坐標，便于學生

5、理解五、教學過程1.復習引入問題1 觀察下列四個圖象，結合圖象說明點A(B)的含義 圖1 圖2 圖3 圖4【師生行為】學生根據圖象結合自己的理解說明點A(B)的含義，教師根據學生的回答進行歸納【設計意圖】幫助學生回顧已建立的函數與方程之間的聯(lián)系，并讓學生利用已有知識，通過類比的方法，初步得到二次函數與一元二次方程的聯(lián)系，體驗數形結合的數學思想2.新課講授問題2 如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數關系：h20t5t2考慮以下問題，并結合圖象解釋你的結論

6、：（1）小球的飛行高度能否達到15m？如果能，需要多少飛行時間？（2）小球的飛行高度能否達到20m？如果能，需要多少飛行時間？（3）小球的飛行高度能否達到20.5m？為什么？（4）小球從飛出到落地要用多少時間？【師生行為】解題前，師生共同分析，尋找解題方法；學生在獨立思考的基礎上，經過計算給出答案，采取小組交流討論、代表發(fā)言的方式，分別從數與形的角度分析問題【設計意圖】二次函數與實際問題相結合，從數的角度，將二次函數問題轉化為一元二次方程問題，利用方程知識解決問題；從形的角度來解釋問題解決的過程問題3 填寫下表二次函數yax2bxcb24ac的值求解一元二次方程ax2bxc0二次函數yax2b

7、xc的圖象二次函數yax2bxc的圖象與x軸公共點個數二次函數yax2bxc的圖象與x軸公共點的橫坐標【師生行為】學生獨立思考完成表格，教師巡視及時糾偏，學生展示結果并歸納【設計意圖】內化二次函數與一元二次方程之間的聯(lián)系3.學以致用問題4 （1）拋物線yx26x1與x軸的公共點有 個，y2x23x4與x軸的公共點有 個，yx22x1與x軸的公共點有 個（2）一元二次方程3x2x100的兩個根為2，那么拋物線y3x2x10與x軸的交點坐標是 （3）拋物線yx25x6與x軸交點坐標為（2，0），（3，0），那么方程x25x60的根為 問題5 利用函數圖象求方程x22x20的實數根（結果保留小數點后

8、一位）.【師生行為】例1由學生口答，例2先畫圖并估計方程的實數根，進而為了提高函數圖象的準確性，用幾何畫板教學軟件畫圖，學生觀察圖象得出結論再利用幾何畫板的計算與繪圖功能，通過不斷縮小根所在的范圍去估計方程的根的近似值【設計意圖】利用二次函數的圖象研究一元二次方程根的問題，要選擇二次函數和相應的直線，會看圖象，會根據圖象確定根的近似值，探尋減小根的近似值誤差的方法4.課堂小結教師與與學生共同小結本節(jié)課主要內容并請學生閱讀課本中歸納的相關內容一般地，從二次函數yax2bxc的圖象可得如下結論.（1）如果拋物線yax2bxc與x軸有公共點，公共點的橫坐標是x0，那么當xx0時，函數的值是0，因此x

9、x0是方程ax2bxc0的一個根.（2）二次函數yax2bxc的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點.這對應著一元二次方程ax2bxc0根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根.5.課后作業(yè)教科書習題22.2第1、3、4題（選做）已知拋物線yx2x2m(m為常數）.（1） m為何值時，拋物線與x軸有唯一公共點？（2） m為何值時，拋物線與x軸沒有公共點？（3） m為何值時，拋物線與x軸有公共點？六、目標檢測設計1. 如圖，從地面豎立向上拋出一個小球，小球的高度h(單位：m)與小球運動時間t（單位：s）之間的關系式為,那么小球從拋出至回落地面

10、所需要的時間是：A.6s B.4s C.3s D.2s設計意圖：考察學生對利用一元二次方程求解函數問題的掌握情況2.用函數的圖象求解方程.設計意圖：考察學生對一元二次方程的圖象解法的掌握情況根據下列表格的對應值，判斷方程（a0,a、b、c為常數）一個解的范圍是( )x3.233.243.253.26-0.06-0.020.030.09 B.C. D.設計意圖：考察學生對利用二次函數圖象確定根所在的范圍的掌握情況課題：二次函數與一元二次方程（學案）武漢市第一初級中學何穎一、 看圖說話觀察以下四個圖象，結合圖象說明點A(B)的含義圖1 圖2 圖3 圖4二、嘗試解決問題：如圖，以40m/s的速度將小

11、球沿與地面成30°角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數關系h20t5t2考慮以下問題，并結合圖象解釋你的結論：（1）小球的飛行高度能否達到15m？如果能，需要多少飛行時間？（2）小球的飛行高度能否達到20m？如果能，需要多少飛行時間？（3）小球的飛行高度能否達到20.5m？為什么？（4）小球從飛出到落地要用多少時間？三、歸納提升請?zhí)顚懴卤恚憾魏瘮祔ax2bxcb24ac的值求解一元二次方程ax2bxc0二次函數yax2bxc的圖象二次函數yax2bxc的圖象與x軸公共點個數二次函數yax2bxc的圖象與x軸公共點的橫坐標四、解決問題例1 （1）拋物線yx26x1與x軸的公共點有個，y2x23x4與x軸的公共點有個，yx22x1與x軸的公共點有個（2）一元二次方程3x2x100的兩個根為2，那么拋物線y3x2x10與x軸的交點坐標是（3）拋物