等比數列的性質及其應用課件

1、等比數列的性質及其應用課件 等差數列等差數列等比數列等比數列定義定義數學數學表達表達如果一個數列從第2每一項與它前一項的差等于同一個，那么這個數列就叫做等差數列.an+1+1- -an= = d()()表示表示首項首項a1, 1, d如果一個數列從第2每一項與它的前一項的比等于同一個，那么這個數列就叫做等比數列.首項首項a1, 1, q( (q0)0)d與與 an q與與 an d0 0 an 遞增遞增 d0 0 an 遞減遞減 d0 0 an 為常數列為常數列q0 0 an 中各項同號中各項同號q0 0 an 中的項正負相間中的項正負相間q1 1 an 為非零為非零an= = a1 1+ +

2、（n-1-1）dan= = a1 1qn-1-1an+1an= q()()中項中項a, ,A, ,b, ,則則2 2A= =aba, ,G, ,b, , 則則G2 2= =ab由等差數列的性質，猜想等比數列的性質由等差數列的性質，猜想等比數列的性質an是公差為d的等差數列bn是公比為q的等比數列性質：an=am+(n-m)d.性質：若an-k,an,an+k 是an中的三項， 則2an=an+k+ an-k.猜想2：性質： 若n+m=p+q，則am+an=ap+aq.2knknnbbb猜想1：m b.n mnbq 若bn-k,bn,bn+k 是bn中的三項， 則猜想3：若n+m=p+q， 則b

3、n bm=bp bq. .n mnmbb q證明證明: :，1111,nnmmqbbqbb11n mmn mmbqb qq11nb q.nb若若n+m=p+q, 則則bn bm=bp bq.證明證明: :111111mnmnqbqbbb，2121mnqb111111qpqpqbqbbb，2121qpqb，qpmn.nmpqbbbb反之成立嗎反之成立嗎?q不一定，當 =1時不成立. :1,1,1,1na 如數列例例1: 在等比數列an中，a2=-2,a5=16，a8= .在等比數列an中，且an0， a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ .在等比數列an中，若 則a10=

4、 . -1286，625161374aaaa5 1531,9,naaaaq ,變式：（1）在等比數列中， 則33. 154560(2)10,90,naaaa在等比數列中，則270.123445(3)2,4naaaaaaa在等比數列中，若， 則1(4)2nnnnn在 和 間插入 個正數，使得這個數成等比數列， 求插入的這 個數的積.1211nnnTaaaann1211nnnTn aaaan倒倒序序相相乘乘 分析：若三個數成等差數列，則設這三個數為a-d,a,a+d. 由類比思想的應用可得: 若三個數成等比數列，則設這三個數 為 再聯立方程組. 三個數成等比數列，它們的和等于21，倒數的和等于 ，

5、求這三個數.127例例2:,aaa qq ，三個正數成等比數列，他們的和等于三個正數成等比數列，他們的和等于2121，倒數的和等于倒數的和等于 ，求這三個數，求這三個數.127解：設三個正數為解：設三個正數為.,qaaqa，21qaaqa，12711aqaaq得得，21)11(qqa.127)11(1qqa.362a, 6a.212或q例例3:a,b,c,d成等比數列成等比數列,a+b,b+c,c+d均不為均不為0. 求證求證:a+b,b+c,c+d成等比數列成等比數列. 111,21(1)1nnnnaaaaa變式：已知數列滿足，求證：數列是等比數列； (2)na求數列的通項公式.an是公差為d的等差數列bn是公比為q的等比數列性質：an=am+(n-m)d性質：若an-k,an,an+k 是an中的三項， 則2an=an+k+ an-k.性質： 若n+m=p+q則am+an=ap+aq2.nn kn