高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)部分知識(shí)點(diǎn)梳理

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評(píng)與關(guān)注！ 高考復(fù)習(xí)專題之：概率與統(tǒng)計(jì)一、概率：隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.隨機(jī)事件的概率，其中當(dāng)時(shí)稱為必然事件；當(dāng)時(shí)稱為不可能事件P(A)=0； 注：求隨機(jī)概率的三種方法：（一）枚舉法 例1如圖1所示，有一電路是由圖示的開關(guān)控制，閉合a，b，c，d，e五個(gè)開關(guān)中的任意兩個(gè)開關(guān)，使電路形成通路則使電路形成通路的概率是 分析：要計(jì)算使電路形成通路的概率，列舉出閉合五個(gè)開關(guān)中的任意兩個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，從中找出能使電路形成通路的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率的意義計(jì)算即可。解：閉合五個(gè)開關(guān)中的兩個(gè)，可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)有10種，分別是ab、ac、a

2、d、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，其中能形成通路的有6種，所以p(通路)= 評(píng)注:枚舉法是求概率的一種重要方法,這種方法一般應(yīng)用于可能出現(xiàn)的結(jié)果比較少的事件的概率計(jì)算.（二）樹形圖法例2小剛和小明兩位同學(xué)玩一種游戲游戲規(guī)則為：兩人各執(zhí)“象、虎、鼠”三張牌，同時(shí)各出一張牌定勝負(fù)，其中象勝虎、虎勝鼠、鼠勝象，若兩人所出牌相同，則為平局例如，小剛出象牌，小明出虎牌，則小剛勝；又如， 兩人同時(shí)出象牌，則兩人平局如果用A、B、C分別表示小剛的象、虎、鼠三張牌，用A1、B1、C1分別表示小明的象、虎、鼠三張牌，那么一次出牌小剛勝小明的概率是多少？ 分析：為了清楚地看出小亮勝小剛的概率，可用樹狀

3、圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并從中找出小剛勝小明可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。解：畫樹狀圖如圖樹狀圖。由樹狀圖（樹形圖）或列表可知，可能出現(xiàn)的結(jié)果有9種，而且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中小剛勝小明的結(jié)果有3種所以P（一次出牌小剛勝小明）=點(diǎn)評(píng):當(dāng)一事件要涉及兩個(gè)或更多的因素時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通過畫樹形圖的方法來計(jì)算概率（三）列表法例3將圖中的三張撲克牌背面朝上放在桌面上，從中隨機(jī)摸出兩張，并用這兩張撲克牌上的數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)請(qǐng)你用畫樹形（狀）圖或列表的方法求：（1）組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率；（2）組成的兩位數(shù)是6的倍數(shù)的概率分析：本題可通過列表的方法，列出所有可能組成的兩位數(shù)的可能情

4、況，然后再找出組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的可能情況和組成兩位數(shù) 是6的倍數(shù)的可能情況。解：列的表格如下：根據(jù)表格可得兩位數(shù)有：23，24，32，34，42，43所以（1）兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為（2）兩位數(shù)是6的倍數(shù)的概率為點(diǎn)評(píng)：當(dāng)一事件要涉及兩個(gè)或更多的因素時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通過畫樹形圖的方法來計(jì)算概率2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=。3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同時(shí)發(fā)生）。計(jì)算公式：P(A+B)P(A)+P(B)。4、對(duì)立事件：（A、B對(duì)立，即事件A、B不可能同時(shí)發(fā)生，但A、B中必然有一個(gè)發(fā)生）。計(jì)算公式是：P（A）+ P(B)；P()=1P(A)；

5、5、獨(dú)立事件：（事件A、B的發(fā)生相互獨(dú)立，互不影響）P(AB)P(A) P(B) 。提醒：（1）如果事件A、B獨(dú)立，那么事件A與、與及事件與也都是獨(dú)立事件；（2）如果事件A、B相互獨(dú)立，那么事件A、B至少有一個(gè)不發(fā)生的概率是1P（AB）1P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互獨(dú)立，那么事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生的概率是1P（）1P()P()。6、獨(dú)立事件重復(fù)試驗(yàn)：事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生了次的概率(是二項(xiàng)展開式的第k+1項(xiàng))，其中為在一次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率。提醒：（1）探求一個(gè)事件發(fā)生的概率，關(guān)鍵是分清事件的性質(zhì)。在求解過程中常應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分解(分類或分步)轉(zhuǎn)化思

6、想處理，把所求的事件：轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識(shí))；轉(zhuǎn)化為若干個(gè)互斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率；利用對(duì)立事件的概率，轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率；看作某一事件在n次實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件。（2）事件互斥是事件獨(dú)立的必要非充分條件，反之，事件對(duì)立是事件互斥的充分非必要條件；（3）概率問題的解題規(guī)范：先設(shè)事件A=“”， B=“”；列式計(jì)算；作答。二、隨機(jī)變量.1. 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗(yàn)如果滿足下述條件：試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能

7、肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。它就被稱為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn).2. 離散型隨機(jī)變量：如果對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.若是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b是常數(shù).則也是一個(gè)隨機(jī)變量.一般地，若是隨機(jī)變量，是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則也是隨機(jī)變量.也就是說，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量.設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為：取每一個(gè)值的概率，則表稱為隨機(jī)變量的概率分布，簡(jiǎn)稱的分布列.P有性質(zhì)：； .注意：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.例如：即可以取05之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).3. 二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是

8、P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是：其中 于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作B（n·p），其中n，p為參數(shù)，并記.二項(xiàng)分布的判斷與應(yīng)用.二項(xiàng)分布，實(shí)際是對(duì)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)，且每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布.當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對(duì)于總體來說又比較小，而每次抽取時(shí)又只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，此時(shí)可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求其分布列.4. 幾何分布：“”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗(yàn)時(shí)事件A發(fā)生記為，事A不發(fā)

9、生記為，那么.根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法分式：于是得到隨機(jī)變量的概率分布列.123kPq qp 我們稱服從幾何分布，并記，其中5. 超幾何分布：一批產(chǎn)品共有N件，其中有M（MN）件次品，今抽取件，則其中的次品數(shù)是一離散型隨機(jī)變量，分布列為.分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定時(shí)，則k的范圍可以寫為k=0，1，n.超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由 a件次品、b件正品組成，今抽取n件（1na+b），則次品數(shù)的分布列為.超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系.設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時(shí)，其中次品數(shù)服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)的分布列可如

10、下求得：把個(gè)產(chǎn)品編號(hào)，則抽取n次共有個(gè)可能結(jié)果，等可能：含個(gè)結(jié)果，故，即.我們先為k個(gè)次品選定位置，共種選法；然后每個(gè)次品位置有a種選法，每個(gè)正品位置有b種選法 可以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個(gè)數(shù)不多時(shí)，因此二項(xiàng)分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.三、數(shù)學(xué)期望與方差.1. 期望的含義：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為P則稱為的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學(xué)期望又簡(jiǎn)稱期望.數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.2. 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望： 當(dāng)時(shí)，即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個(gè)常數(shù)本身.當(dāng)時(shí)，即隨機(jī)變量與常數(shù)之和的期望等于的期望與這個(gè)常數(shù)的和.當(dāng)時(shí)，即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的期望

11、等于這個(gè)常數(shù)與隨機(jī)變量期望的乘積.01Pqp單點(diǎn)分布：其分布列為：. 兩點(diǎn)分布：，其分布列為：（p + q = 1）二項(xiàng)分布： 其分布列為.（P為發(fā)生的概率）幾何分布： 其分布列為.（P為發(fā)生的概率）3.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機(jī)變量的分布列為時(shí)，則稱為的方差. 顯然，故為的根方差或標(biāo)準(zhǔn)差.隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度.越小，穩(wěn)定性越高，波動(dòng)越小.4.方差的性質(zhì).隨機(jī)變量的方差.（a、b均為常數(shù)）01Pqp單點(diǎn)分布： 其分布列為兩點(diǎn)分布： 其分布列為：（p + q = 1）二項(xiàng)分布：幾何分布： 5. 期望與方差的關(guān)系.如果和都存在，則設(shè)和是互相獨(dú)

12、立的兩個(gè)隨機(jī)變量，則期望與方差的轉(zhuǎn)化： （因?yàn)闉橐怀?shù)）.四、正態(tài)分布.（基本不列入考試范圍）1.密度曲線與密度函數(shù)：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，位于x軸上方，落在任一區(qū)間內(nèi)的概率等于它與x軸.直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積（如圖陰影部分）的曲線叫的密度曲線，以其作為圖像的函數(shù)叫做的密度函數(shù)，由于“”是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.2. 正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機(jī)變量的概率密度為：. （為常數(shù)，且），稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布，用表示.的表達(dá)式可簡(jiǎn)記為，它的密度曲線簡(jiǎn)稱為正態(tài)曲線.正態(tài)分布的期望與方差：若，則的期望與方差分別為：.正態(tài)曲線的性質(zhì).曲線在x軸上方，與x軸不相交.曲線關(guān)于直

13、線對(duì)稱.當(dāng)時(shí)曲線處于最高點(diǎn)，當(dāng)x向左、向右遠(yuǎn)離時(shí)，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.當(dāng)時(shí)，曲線上升；當(dāng)時(shí)，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.3. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量的概率函數(shù)為，則稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 即有，求出，而P（ab）的計(jì)算則是.注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的的X取0時(shí)，有當(dāng)?shù)腦取大于0的數(shù)時(shí)，有.比如則必然小于0，如圖. 正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若則的分布函數(shù)通常用表示，且有. 4.“3”原則.假設(shè)

14、檢驗(yàn)是就正態(tài)總體而言的，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)可歸結(jié)為如下三步：提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)里的變量服從正態(tài)分布.確定一次試驗(yàn)中的取值是否落入范圍.做出判斷：如果，接受統(tǒng)計(jì)假設(shè). 如果，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè).“3”原則的應(yīng)用：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布則 落在內(nèi)的概率為99.7 亦即落在之外的概率為0.3，此為小概率事件，如果此事件發(fā)生了，就說明此種產(chǎn)品不合格（即不服從正態(tài)分布）.時(shí)間：90分鐘 滿分：100分姓名： 學(xué)號(hào)： 高二( )班一、 選擇題：(每小題2分，共36分) 1、從12件同類產(chǎn)品中，有10件是正品，2件是次品，任意抽出3個(gè)的必然事件是( D )。A、 3件都是正品 B、至少有1件是

15、次品 C、3件都是次品 D、至少有1件是正品 2、從標(biāo)有1、2、3、9的9張紙片中任取2張，那么這2張紙片數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是( C )A、 B、 C、 D、 3、有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從20零件中任取3個(gè)，那么至少有1個(gè)是一等品的概率是( D )。A、 B、 C、 D、以上都不對(duì) 4、假設(shè)在200件產(chǎn)品中有3件次品，從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的概率是( A )A、 B、 C、 D、 5、某廠大量生產(chǎn)某種小零件，經(jīng)抽樣檢驗(yàn)知道其次品率是1%，現(xiàn)把這種小零件每6件裝成1盒，那么每盒中恰好含有1件次品的概率是( C )。A、 B、0.01 C、 D、 6、在10

16、0個(gè)產(chǎn)品中有4件次品，從中抽取2個(gè)，則2個(gè)都是次品的概率是( C )。A、 B、 C、 D、 7、打靶時(shí)，A每打10次可中靶8次，B每打10次可中靶7次，若2人同時(shí)射擊一個(gè)目標(biāo)，則它們都中靶的概率是( A )。 A、 B、 C、 D、 8、若A以10發(fā)8中，B以10發(fā)7中，C以10發(fā)6中的命中率打靶，3人各射擊1次，則3人中只有1人命中的概率是( B )。 A、 B、 C、 D、 9、A、B、C3人射擊命中目標(biāo)的概率分別是，現(xiàn)在3人同時(shí)射擊一個(gè)目標(biāo)，目標(biāo)被擊中的概率是( C)。A、B、C、D、10、一人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有一次中靶”的對(duì)立事個(gè)是（C）。A、至多有一次中靶B、2次

17、都中靶C、兩次都不中靶D、只有1次中靶11、把紅、黑、藍(lán)、白4張紙分發(fā)給A、B、C、D4個(gè)人，每人分得1張，則事件“A分得紅紙”與事件“B分得紅紙”是（C）。A、對(duì)立事件B、不可能事件C、互斥但不對(duì)立事件D、以上不對(duì)12、袋中有6個(gè)白球，4個(gè)紅球，從中任取2球，抽到白球、紅球各1個(gè)的概率為（C）。A、B、C、D、以上不對(duì)13、把12個(gè)人平均分成2組，再?gòu)拿拷M里任意指定正、副組長(zhǎng)各1人，其中A被選定為正組長(zhǎng)的概率是（B）。A、B、C、D、14、A、B、C、D、E站成1排，A在B的右邊（A與B可以不相鄰）的概率是（C）。A、B、C、D、以上不對(duì)15、有一均勻顆的骰子，將它先后擲2次，則擲得的點(diǎn)數(shù)之

18、和等于5點(diǎn)的概率是（C）。A、B、C、D、16、把10本不同的書任意放在書架上，其中指定的3本書彼此相鄰的概率是（D）A、B、C、D、17、有一批蠶豆種子，如果每一粒發(fā)育的概率是0.9，播下15粒種子，那么恰有14粒種子發(fā)芽的概率是（D）。A、10.914B、0.914C、D、18、盒中有100個(gè)鐵釘，其中有90個(gè)是合格的，10個(gè)是壞的.從中任意抽取10個(gè)，其中沒有一個(gè)壞鐵釘?shù)母怕适牵?D ）A、0.9B、 C、0.1D、二、 填空題：(每空2分，共44分)1、從1,2，3，,9這9個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字，（1）2個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率是5/18；（2）2個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是4/9。2、袋中有

19、3個(gè)5分的硬幣，3個(gè)2分的硬幣和4個(gè)1分的硬幣，從中任取3個(gè)，總數(shù)超過8分的概率是31/120。3、從編號(hào)為1100的100張卡中，所得編號(hào)是4的倍數(shù)的概率是1/4。4、從編號(hào)分別為099的100張卡片中，（1）不放回地取2張，則其中恰好有1個(gè)編號(hào)是0的概率為1/50；（2）有放回地取出2張，其中恰好有1個(gè)編號(hào)是0的概率為。5、從數(shù)字1、2、3、4、5中任取3個(gè)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則：（1）這個(gè)三位數(shù)是5的倍數(shù)的概率是1/5；（2）這個(gè)三位數(shù)大于400的概率是2/5。6、在100件產(chǎn)品有5件次品，現(xiàn)從中任取3件：（1）都是正品的概率是；（2）至少有1件是次品的概率是；（3）恰好有1件是次品的概率是7、1種新型藥品，給1個(gè)病人服用后治愈的概率是95%，則服用這種新型藥品的4位病人中，至少有3人被治愈的概率是0.99。8、某儀表內(nèi)裝有m個(gè)同樣的電子元件，其中任意一個(gè)電子元件損壞時(shí)，這個(gè)儀表就不能工作的，如果在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)電子元件損壞的概率是P，則這個(gè)儀表不能工作的概率是1-（1P）m。9、200名青年工人，250名大學(xué)生，300名青年農(nóng)民在一起聯(lián)歡，如果任意找其中一名青年談話，這個(gè)青年是大學(xué)生的概率是 1/3 。10、A、B、C等10位同學(xué)排成1排，則A、B正好排在兩頭的概率是1/4。11、5個(gè)同學(xué)站成1排，則：（1）A恰好站在正