射影定理的推廣及應(yīng)用

1、射影定理的推廣及應(yīng)用射影定理是平面幾何中一個(gè)很重要的性質(zhì)定理，盡管義務(wù)教材中沒有列入，但在幾何證明及計(jì)算中應(yīng)用很廣泛，若能很好地掌握并靈活地運(yùn)用它，?？扇〉绞掳牍Ρ兜男Ч?。一般地，若將定理中的直角三角形條件非直角化，亦可得到類似的結(jié)論（這里暫且稱之為射影定理的推廣），而此結(jié)論又可作為證明其它命題的預(yù)備定理及聯(lián)想思路，熟練地掌握并巧妙地運(yùn)用，定會(huì)在幾何證明及計(jì)算“山窮水盡疑無路”時(shí)，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面結(jié)合例子從它的變式推廣上談?wù)勂鋺?yīng)用。一、射影定理射影定理直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項(xiàng)；且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。 如圖（）：t中，若為

2、高，則有DAD、或。（證明略）二、變式推廣逆用如圖（）：若中，為高，且有或或，則有或，均可等到為直角三角形。（證明略）一般化，若不為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)滿足一定條件時(shí)，類似地仍有部分結(jié)論成立。（后文簡稱：射影定理變式（2）如圖（）：中，D為上一點(diǎn)，若，或，則有，可得AB；反之，若中，為上一點(diǎn)，且有，則有，可得到，或。（證明略）三、應(yīng)用例如圖（），已知：等腰三角形中，高、交于點(diǎn)，求證：分析：易證=900-CHBD，聯(lián)想到射影定理變式（2），可得，又，故有結(jié)論成立。（證明略）例如圖（）：已知中，為弧中點(diǎn)，過點(diǎn)的弦被弦分為和兩部分，求。分析：易得到，滿足射影定理變式（2）的條件，故有，易求得(解略)例3

3、已知：如圖（5），中，平分，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，求證：。證明：連，垂直平分，平分，又C公共，。例4如圖（6），已知中， 為直徑，內(nèi)接于圓，AE =AC ,連BE 交圓于點(diǎn)F ，求證：ACF AED 。分析：由條件易知，為直角三角形，為高，由射影定理有AC 2=，又AE=AC ，故有AE 2=，滿足射影定理變式（2）條件，易得結(jié)論成立。例5已知：如圖（7），直線y=x+3交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，以點(diǎn)（，）為圓心，為半徑作交的延長線于，與y軸交于另一點(diǎn)（?。┣簏c(diǎn)的坐標(biāo)。（）連、，交x軸于，求證：。（）若為弧上任一點(diǎn)時(shí)（圖8），的延長線交于Q,點(diǎn)，問當(dāng)點(diǎn)在?。ú缓它c(diǎn)、）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值地否改變？試證明你的結(jié)論。略解：（）作x軸于，運(yùn)用割線定理及相似三角形的性質(zhì)，可得的坐標(biāo)為（，）。（2）法1：由OEDNE，通過計(jì)算有EMEC，EDE，又，。法2：連BM，又，（）的值為定值。連MP,，2。點(diǎn)評(píng)：本例（）中圍繞，反復(fù)運(yùn)用變式推廣，正面用過來，反面用回去，其運(yùn)用之妙，體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的變化之美。例6已知：如圖（9），直線y=2x+2交x、y軸于、兩點(diǎn)，過、兩點(diǎn)作，交軸于另一點(diǎn)，交軸于另一點(diǎn)，且圓心在軸上（） 求點(diǎn)的坐標(biāo)。（） 以為圓心，為半徑作（如圖10），點(diǎn)為的優(yōu)弧上任一點(diǎn)，連并延長交于點(diǎn)，求證：。（） 當(dāng)點(diǎn)在的優(yōu)?。ú缓?/p>