正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布

1、本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持！5.5 正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布1. 單個正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布1nX 1Xi ,S2ni1從總體 X 中抽取容量為 n的樣本 X1, X2, , X n ，樣本均值與樣本方差分別是即n證 因?yàn)殡S機(jī)變量 X1,X2,X n 相互獨(dú)立，并且與總體 X 服從相同的正態(tài)分布 2n 1i 1 Xi2 定理 1 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 N , 2 ，則樣本均值 X 服從正態(tài)分布 N ,N , 2 ，所以由§ 4.3 中的定理知，它們的線性組合 X 服從正態(tài)分布 N , n定理 2 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 N , 2 ，則統(tǒng)計(jì)量 u X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 nN

2、 0,1 ，即由定理 1 結(jié)論的標(biāo)準(zhǔn)化即得到定理 2。1 n 2定理 3 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 N , 2 ，則統(tǒng)計(jì)量 2 12X i X 2 服從自由i1度為 n的 2 分布，即證 注意到 X i N , 2 ，則又上述統(tǒng)計(jì)量相互獨(dú)立，并按照 2 分布的定義可得結(jié)果。定理 4 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 N , 2 ，則（1）樣本均值 X 與樣本方差 S2 相互獨(dú)立；（2）統(tǒng)計(jì)量 2 n 12 S 服從自由度為 n 1的 2分布，即證明略。X2 ，則統(tǒng)計(jì)量 t X 服從自由度為 n 1 的Sn定理 5 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 N t分布，即證 由定理 2 知，統(tǒng)計(jì)量又由定理 4 知，統(tǒng)計(jì)

3、量 因?yàn)?X 與 S2 相互獨(dú)立，所以 u 與 2 也相互獨(dú)立，于是根據(jù) t 分布的定義得結(jié)論本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持！2. 兩個正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布從總體 X 中抽取容量為 nx的樣本 X1,X2, , X nx ，從總體 Y中抽取容量為 ny的樣本Y1 ,Y2, ,Yn 。假設(shè)所有的抽樣都是相互獨(dú)立的，由此得到的樣本 X i i 1,2, ,nx 與Yj j 1,2, , ny 都是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。我們把取自兩個總體的樣本均值分別記作樣本方差分別記作定理 6 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 N 計(jì)量 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N 0,1 ，即證 由于獨(dú)立的正態(tài)統(tǒng)計(jì)量的線性組合服從正態(tài)分布

4、，所以 標(biāo)準(zhǔn)化即得結(jié)論。當(dāng)時，我們有推論設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 N7 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布x, x2 ，總體 Y 服從正態(tài)分布，總體 Y 服從正態(tài)分布 N定理計(jì)量其中證 由定理 6 的推論知，統(tǒng)計(jì)量 又由定理 4 知 因?yàn)镾x2與Sy2相互獨(dú)立，由 2 分布的可加性知2 ，總體 Y 服從正態(tài)分布，則統(tǒng)則統(tǒng)計(jì)，則統(tǒng)因?yàn)閁 和V 相互獨(dú)立，所以由 t分布的定義得結(jié)論。，則統(tǒng)定理 8 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 N x, x2 ，總體 Y 服從正態(tài)分布 計(jì)量xy服從自由度為 nx,ny 的F 分布，即證 由定理 3 知因?yàn)?x2與 y2相互獨(dú)立，結(jié)合 F 分布的定義得結(jié)論。定理 9 設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布 N S2 計(jì)量 F Sx2Sy2x, x2 ，總體 Y 服從正態(tài)分布，則統(tǒng)2x2 服從自由度為 nx 1,ny 1的 F 分布，即 y證 由定理