2020年四川樂山高考數(shù)學(xué)三模試卷理科有答案解析

1、2020年四川省樂山市高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)題號一一三總分得分、選擇題(本大題共 12小題，共36.0分)1 . 設(shè)集合 M=-1 , 0, 1, N= x|x2-2x< 0,貝 U MAN=(D. -1 , 0, 1A. 0B. 1C. 0, 12 . i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) 在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于(D.第四象限A.第一象限B.第二象限C.第三象限3 .已知tan 心則cos2的值為()D. _)D.匕|2,則該拋物線的標準方程為(D. y2=5xA.討 已知 f (x) =ex-x,命題 p： ?xCR, f (x) > ( 0),則()A. p 是真命題，p： ?xoCR, f

2、 (xo) < 0 p 是真命題，p： ?xoR, f (xo) <0C. p 是假命題，p： ?xoR, f (xo) < 0D. p 是假命題，p： ?xoR, f (xo) <0已知函數(shù) f (x) =Asin x> (A>0, w>0)與 g (x) =0cos圖象如圖所示，則(A. A=1 , co =jB. A=2,C. A=1 , co =jD. A=2,司.mC. ?4 .已知向量”，人滿足口?口=0，0=1，缶3,則即=(A. 0B. 2C. 2_5 .已知拋物線y2=ax上的點M (1, m)到其焦點的距離為A. y2=2xB. y

3、2=4xC. y2=3x6 .設(shè)隨機變量 X的概率分布表如表，則 P (|X-2|=1)=(X1234P11m-A. _B. _C. _8.<x的部分9.函數(shù)y=2x|sin2x的圖象可能是（10.三世紀中期，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計算圓周率建 立了嚴密的理論和完善的算法，所謂割圓術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊 形的面積去無限逼近圓面積并以此求取圓周率的方法.按照這樣的思路，劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個近似數(shù)值.如圖所示是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計的程序框圖，若輸出的n=24,則p的值可以是（參考數(shù)據(jù)：3=1.7

4、32, sin15 ° 0.2588sin7.5 ° 0.1305sin3.75 ° 0.0654）11.A. 2.6B. 3C. 3.1D. 3.14如圖，邊長為 2的正方形 ABCD中，點E、F分別是AB、BC的中點，將AADE, AEBF, AFCD 分另沿DE, EF, FD折起，使得A、B、C三點重合于點A',若四面體 A' EFD的四個頂點在 同一個球面上，則該球的表面積為（）A. 8兀12 .設(shè)雙曲線C： -=1(a>0,匕>0)的左、右焦點分別為 Fi, F2, |FiF2|=2c,過F2作x軸的垂 線與雙曲線在第一象限

5、的交點為A,已知% |F2Q|>|F2A|,點P是雙曲線C右支上的動點，且|PFi|+|PQ|> 同恒成立,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A.泮I 十司 B. 口 m C. 1陰 D. 平)二、填空題(本大題共 4小題，共12.0分)13 .在(2x-0 6的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為 .14 .若正實數(shù)a, b滿足2a+b=1,則口目的最小值為.15 .已知函數(shù)f (x) =的定義城為 R,數(shù)列an (nCN)滿足an=f ( n),且an是遞增數(shù)列，則實數(shù) a的取值范圍是 .16 .在 小BC中，AC=6, BC=7,切網(wǎng)=；,O是AABC的內(nèi)心，若¥=+ %”

6、，其中0雙W1, 0或則動點P的軌跡所覆蓋的面積為 .三、解答題(本大題共 7小題，共84.0分)17 .已知等差數(shù)列an中,a2=5, a1, a4, a13成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列an的前n項和為Sn.18.每年圣誕節(jié)，各地的餐館都出現(xiàn)了用餐需預(yù)定的現(xiàn)象，致使-些人在沒有預(yù)定的情況下難以找到用餐的餐館，針對這種現(xiàn)象，專家對人們“用餐地點”以及“性別”作出調(diào)查，得到的情況如 表所示：在家用餐在餐館用餐總計女性30男性40總計50100(1)完成上述2X2列聯(lián)表；(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試通過計算判斷是否有 99.9%的把握說明“用餐地點”與“性別”有關(guān)；(3)若在接

7、受調(diào)查的所有人男性中按照“用餐地點”進行分層抽樣，隨機抽取 6人，再在6人 中抽取3人贈送餐館用餐券， 記收到餐館用餐券的男性中在餐館用餐的人數(shù)為巳求E的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：P (必才0)0.050.0100.001k03.8416.63510.828k2=(<? + it)Cr 44 CS + 山n =a+b+c+d19.如圖，在四棱錐 SABCD中，底面 ABCD是梯形，AB /CD, /ABC=90°, AD = SD, BC=CD=B,側(cè)面 SAD IB 面 ABCD.(1)求證：平面BD"面SAD;(2)若ZSDA=120° ,求二面角 C-SB

8、-D的余弦值.20 .設(shè)橢圓匚 j + /=1(a>b>0)的離心率為憐，圓O: x2+y2=2與x軸正半軸交于點 A,圓。 在點A處的切線被橢圓C截得的弦長為 反目.(I )求橢圓C的方程；(n )設(shè)圓O上任意一點P處的切線交橢圓 C于點M, N,試判斷|PM|?|PN|是否為定值？若為 定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.21 .已知函數(shù) f (x) = (1 + a) x2-lnx-a+1 .1)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性；(2)若av1,求證：當(dāng)x>0時，函數(shù)y=xf (x)的圖象恒在函數(shù) y=lnx+ (1+a) x3-x2的圖象上22 .在直角坐標系xOy中

9、，直線l的參數(shù)萬程為 丫 = _屈 (t為參數(shù))，曲線 Ci的參數(shù)萬程為| y = 2sin& ( °為參數(shù))，以該直角坐標系的原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C2的極坐標方程為二2M/U .(I )分別求曲線 Ci的極坐標方程和曲線 C2的直角坐標方程；(II )設(shè)直線l交曲線Ci于o, A兩點，交曲線 C2于O, B兩點，求|AB|的長.23 .已知函數(shù) f (x) =|x|+|x-1|.(I )若f (x) >m-1|恒成立，求實數(shù) m的最大值；(n )記(I )中m的最大值為 M,正實數(shù)a, b滿足a2+b2=M,證明：a+b>ab.

10、答案與解析1答案：B解析：解：N=x|0vxv2；. MnN=i.故選：B.可求出集合N,然后進行交集的運算即可.考查一元二次不等式的解法，描述法、列舉法表示集合的概念，以及交集的運算.2答案：C解析：解：z=，j=-1-i,所以對應(yīng)的點在第三象限；故選：C.首先化簡復(fù)數(shù)為最簡形式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的實部和虛部符號判斷位置.本題考查了復(fù)數(shù)的運算以及其幾何意義；屬于基礎(chǔ)題.3答案：D解析：解：C0S2 a=C。短Sin2故選：D.利用余弦的二倍角公式可求得cos2a=coSo-sin2”,進而利用同角三角基本關(guān)系，使其除以sin2”+coSa,分子分母同時除以 cos2a,轉(zhuǎn)化成正切，然后把 tan

11、朗值代入即可.本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的余弦函數(shù)的公式.解題的關(guān)鍵是利用同角三角 函數(shù)中的平方關(guān)系，完成了弦切的互化.4答案：D解析：解：.；?卜0,出，眄，=71 +故選：D.直接利用向量的模的公式求解.本題主要考查向量的模的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，是基礎(chǔ) 題.5答案：B解析：解：由題得點 M (1, m)到準線的距離為 2,所以1-"4,.a=4.所以該拋物線的標準方程為 y2=4x.故選：B.根據(jù)點M (1, m)到其焦點的距離為 2得到點M到準線的距離為2,解方程組即得解. 本題主要考查拋物線的定義和標準方程的求法，意在考

12、查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推 理能力.6答案：C解析：解：由X-2|=1可解得x=3或x=1 ,再由分布列的性質(zhì)可得=一1 L H 一5=+-jM匕. P (|X-2|=1) =P (X=1) +P (X=3)故選：C.由題意可得X和的值，代入 P (|X-2|=1) =P (X=1) +P (X=3)計算可得.本題考查離散型隨機變量及其分布列，屬基礎(chǔ)題.7答案：B解析：解：f (x) =ex-x,命題p： ?xCR, f (x) > (0),是真命題，它的否定是: 故選：B.判斷命題的真假，然后利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.本題考查命題的真假的判斷，命題的否定，基

13、本知識的考查.8答案：B,f (xo)<0.解析：解：由圖象可知,.A=2, T=6, 又6=T="1.5，故選：B.結(jié)合圖象可知，:A=1,0=1.5,然后再由周期公式即可求解3本題主要考查了利用函數(shù)的圖象求解函數(shù)解析式中的參數(shù)，屬于基礎(chǔ)試題.9答案：D解析：【分析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和賦值法的應(yīng)用，屬于中檔題.直接利用函數(shù)的奇偶性和特殊值求出結(jié)果.【解答】解：根據(jù)函數(shù)的解析式y(tǒng)=2|x|sin2x, *1也。，仆必，三f得到函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱, 故排除A和B.當(dāng)x=；時，函數(shù)的值為0,故排除C.故選D.10.答案：C解析：解：模擬執(zhí)行程序，可得：n=6, S=

14、3sin60 2 "2 I不滿足條件 S邳，n=12, S=6Xsin30 =3,不滿足條件 S邳，n=24, S=12Xsin15 =12X0.2588=3.1056 ,滿足條件S羊，退出循環(huán)，輸出n的值為24,故 p=3.1 ,故選：C.列出循環(huán)過程中S與n的數(shù)值，滿足判斷框的條件即可結(jié)束循環(huán).本題考查循環(huán)框圖的應(yīng)用，考查了計算能力，注意判斷框的條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11 .答案：B 解析：【分析】本題考查幾何體的折疊問題，幾何體的外接球的半徑的求法，考查球的表面積，考查空間想象能力. 把棱錐擴展為正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半徑就是三棱錐的外接球的半徑，從而可求球的 表面

15、積.【解答】解：由題意可知保EF是等腰直角三角形，且 A' D1平面A' EF.三棱錐的底面 A' EF擴展為邊長為1的正方形，然后擴展為正四棱柱，三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個球，正四棱柱的對角線的長度就是外接球的直徑，直徑為：11 +1+ 4胴.球的半徑為 球的表面積為- (y)2=6兀故選：B.12 .答案：B 解析：【分析】本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用雙曲線的定義和三點共線的性質(zhì)，考查運算能力，屬于 中檔題.將x=c代入雙曲線的方程，求得 A的縱坐標，由|F2Q|>|F2A|,結(jié)合a, b, c和離心率公式可得e的 范圍；再由雙曲線的定

16、義和恒成立思想，討論 F2, P, Q共線時，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|,結(jié)合 離心率公式可得e的范圍，再由e>1,取交集即可得到所求范圍.【解答】解：令x=c代入雙曲線的方程可得由 |F2Q|>|F2A|,可得即為 3a2>2b2=2 (c2-a2), , Fl即有e= Jv陽又 |PFi|+|PQ|>°FiF2| 恒成立，由雙曲線的定義，可得2a+|PF2|+|PQ|>3c恒成立，由F2, P, Q共線時，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=用,可得 3cv2a+g,即有e=：v 由e> 1,結(jié)合可得, e的范圍是（1,.故

17、選：B.13 .答案：-20x3 解析：解：因為（2x-» 6的展開式中，共有 7項，所以二項式系數(shù)最大的項是中間項，即第4項.所以二項式系數(shù)最大的項為T4=團？（2x）葉-料-20x3,故答案為：-20x3.判斷二項展開式的項數(shù)，即可判斷二項式系數(shù)最大的項.本題考查二項式定理系數(shù)的性質(zhì)，展開式是奇數(shù)項，則中間項二項式系數(shù)最大，偶數(shù)項，中間兩項 二項式系數(shù)相等且最大，屬于基礎(chǔ)題.14 .答案：解析：解：+J=（E2）（2a+b）=2+l+HHEI3 |E d 5 jb .a, b 是正實數(shù)，+ j即狂同的最小值為口. r t當(dāng)且僅當(dāng)即a=b=時“=”成立.把舊看作（故答案為:I： +

18、）?1,然后把1換為2a+b,展開后利用基本不等式求最值.本題考查了利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是對“ 1”的代換，利用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，是基礎(chǔ)題.15 .答案：（3, +8）解析：解：由題得口 > 12a+ 3 < a2 ,解得a>3.實數(shù)a的取值范圍是（3, +8）.故答案為：（3, +8）.根據(jù)已知得到關(guān)于 a的不等式組，求解不等式組可得實數(shù)a的取值范圍.本題主要考查分段函數(shù)和數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推 理能力，是中檔題.16 .答案： 解析：B： nP = XnA+yn 其中。蟲W1, 0可W,.動點P

19、的軌跡所覆蓋的面積是以O(shè)A, OB為鄰邊的平行四邊形S=ABM,其中r為UBC的內(nèi)切圓的半徑在那BC中，由余弦定理可得 cosA=；：尸 二g5AB2-12AB-65=0. AB=5v A 咕匚=2A C AH ' stn/i =.O是AABC的內(nèi)心，. O到AABC各邊的距離均為r,1 q _ 一 _HjX （6 + 5 + 7） xr = 6"：福.S=ABM = 5 X 當(dāng)=憐!故答案為：圖.根據(jù),=黑2 +二|,其中0aW1, 0或WL可得動點P的軌跡所覆蓋的面積是以 OA，OB為鄰邊的平行四邊形，S=ABM, r為BBC的內(nèi)切圓的半徑，計算 AB及r,即可得到結(jié)論.

20、本題考查向量知識的運用，考查余弦定理，考查三角形面積的計算，屬于中檔題.17.答案：解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,a2=5, a1, a4, a13成等比數(shù)列，所以 aI+d=5, a42=a1a13,即（a1+3d）2=a1（a1+12d）,化簡得d2=2d,則d=0或d=2,當(dāng) d=0 時，an=5;當(dāng) d=2 時，a=5-d=3, an=3+2 （n-1） =2n+1 ；（2）由（1）知當(dāng) an=5 時，Sn=5n；當(dāng) an=2n+1 時，貝U Sn=:'"=2n+n2.解析：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的中項性質(zhì)，解方程得到d和

21、首項的值，即得數(shù)列的通項公式；（2）利用等差數(shù)列的前 n項和公式可得所求和.本題主要考查等差數(shù)列的通項的求法和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前n項和的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.在家用餐在餐館用餐總計女性103040男性402060總計505010018.答案：解：（1）所求的2X2列聯(lián)表如下:K2=16.67 >10.828,LChOx(10X 20-30 Xdoy故有99.9%的把握說明“用餐地點”與“性別”有關(guān).（3）由題意可知 E的可能值為0, 1, 2, ,七的分布列為:. EE =如上刖解析：（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)的關(guān)系，完善2X2列聯(lián)表;（2）根

22、據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算觀測值，對照臨界值即可得出結(jié)論；（3）由題意可知 E的可能值為0, 1, 2,求出相應(yīng)的概率值，即可得到E的分布列和數(shù)學(xué)期望.本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，獨立性檢驗以及離散型隨機變量的期望的求法，分布列的求法, 考查計算能力.19 .答案：證明：（1）因為 /ABC=90°, BC=CD,所以/CBD=45。, ZXBCD是等腰直角三角形,故BD=逐加因為AB=k初比ZABD=45。，所以 UBDs 弟CD, ZADB=90°,即 BD4D,因為側(cè)面SAD1B面ABCD,交線為AD, 所以BDL平面SAD,所以平面 SBD"面SAD.解：（2）過

23、點S作SE必D,交AD的延長線于點 E, 因為側(cè)面 SAD1底面ABCD,所以SE1B面ABCD ,所以/SDE是底面SD與底面ABCD所成的角，即ZSDE=60° , 過點D在平面SAD內(nèi)作DFLAD,因為側(cè)面 SAD1B面ABCD,所以DF1B面ABCD,如圖建立空間直角坐標系 D-xyz,設(shè) BC=CD=1 ,則 B （0, 口） , C （-g, 1, 0） , S 用，0,臥, 則口=（。, EO，口=（口，煙，酎 Q=嚼，腎。），設(shè)=（x, y, z）是平面SBD法向量，取 x=EH，得:（叵 0, 1|），設(shè)?。▁, y, z）是平面SBC的法向量，取x陋得口 =（以-

24、質(zhì)-1|），lcos< > 尸曰"EE耗, / H.所以二面角C-SB-D的余弦值為!|.解析：（1）取AB中點M,連接DM ,可得DB必D又側(cè)面SAD1B面ABCD ,可得BD 面SAD, 即可得平面 SBD"面SAD.（2）以D為原點，DA, DB所在直線分別為x, y軸建立空間直角坐標系，求出設(shè)面SCB的法向量和面SBD的法向量.利用向量法即可求解.本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān) 系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.20 .答案：解：（I ）設(shè)橢圓的半焦距為 c,由橢圓的離心率

25、為 得知，二網(wǎng).橢圓C的方程可設(shè)為. 型y b易求得o）, .,點卜2橢圓上,康+ 5 = 1，解得 L，橢圓C的方程為：+4=1；（n）當(dāng)過點P且與圓O相切的切線斜率不存在時，不妨設(shè)切線方程為匚亞，由（I）知，N（瓦一閔,.=詆叫=（陽-叫則U3, 0Mg當(dāng)過點P且與圓O相切的切線斜率存在時，可設(shè)切線的方程為y=kx+m, M （x1，yi） , N （x2, y2）,|e|、.二 N上,即 m2=2 （k2+1）.聯(lián)立直線和橢圓的方程得x2+2 (kx+m) 2=6,，(1+2k2) x2+4kmx+2m2-6=0,得A = (4km)2-4(l + 2fr2)(2m2-6) >0

26、Akm /+均=一二一 ZlrL + I2mz-6WL訴T. OM ±ON.xix2 + Viyi =xix2+ (kxi+m) ( kx2+m)7jj 2mLi6-缺 m(l + fc )某】上 + 此巾(勺+H/ + m =(l+/c )*-t- +fcm-r- +m ip X1 + fcr)(2mJ-6)-4*?m + mJ(2ki + 1)3-61 -fi 3(2fcJ + Z)-6*J-624? + 1- 2M +1- 2fc：十 1綜上所述，圓。上任意一點P處的切線交橢圓 C于點M, N,都有OM1ON.在 RtAOMN 中，由 4OMP 與 4NOP 相似得，|OP|2

27、=|PM |?|PN |=2 為定值.解析：(I )根據(jù)離心率得到 丘咽，代入橢圓方程，根據(jù)題意得知點 運包在橢圓上，并將該點的坐標代入橢圓，可求出 b的值，進而得出a的值，從而求出橢圓 C的方程；(n)對圓O在點P處的切線的斜率是否存在進行分類討論.一是斜率不存在時，可得出點M、N的坐標，從而求出|PM|?|PN|的值；二是斜率存在時，設(shè)該切線方程為y=kx+m,設(shè)點M (xi, yi) , N (x2, y2),由直線MN與圓O相切得出m與k之間所滿足的關(guān)系式，并將直線MN的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用向量數(shù)量積的運算得出口 = 0,得出 OMLON,由 4OMP 與 ANO

28、P 相似得，|OP|2=|PM |?|PN|,于是證出結(jié)論.本題考查直線與橢圓的綜合問題，考查橢圓的方程以及韋達定理法在橢圓中的應(yīng)用，并結(jié)合向量運 算一起考查，考查計算能力，屬于難題.21 .答案：解：(1)函數(shù) f (x) = (1+a) x2-lnx-a+1 的定義域為：(0, +°0)且 f' ( x) =2 (1 + a) x-U J1 1 Jr 1當(dāng)a=1時，f' ( x) v 0,函數(shù)f (x)在(0, +8)上為增函數(shù)； 當(dāng) a>-1 時，令 f' (x) =0,解得：x屋;,+°°)上遞增此時f (x)在(0,上遞減，

29、在(2)證明：若a<1,則當(dāng)x> 0,時，問題轉(zhuǎn)化為不等式：xf (x) > lnx+ (1+a) x3-x2在(0, +°°)上恒成立，只需要證明：x (1+a) x-lnx-a+1 > lnx+ (1 + a) x3-x2 在(0, +°°)上恒成立, 即證：lnx-xv- :-a+1在(0, +00)上恒成立，令 F (x) =lnx-x, g (x) =- , -a+1因為F'(幻=口-1=目, 易得F(x)在(0, 1)單調(diào)遞增，在(1 , +°°)上單調(diào)遞減，. F (x)4(1) =-1又

30、因為：g' (x)=-日匡¥當(dāng) 0V xve 時，g' ( x) < 0,當(dāng) x> e 時，g' ( x) >0,所以g (x)在(0, e)上單調(diào)遞減，在(e, +°°)上單調(diào)遞增, 所以 g (x)為(e) =-»a+1, ,.av1 時,所以-Ra+1>-1,即 F (x) maxV g (x) min ,所以lnx-xv - ；a+1在(0, +8)上恒成立，當(dāng)x>0時，函數(shù)y=xf (x)的圖象恒在函數(shù) y=lnx+ (1+a) x3-x2的圖象上方.故答案為：(1)當(dāng)aV1時，r (x) <0,函數(shù)f (x)在(0, +叫上為增函數(shù);當(dāng)a>-1時，令f此時f (x)在(0,(x) =0,解得：x置局品)上遞