與圓的切線有關(guān)的計算與證明25544

1、與圓的切線有關(guān)的計算與證明（1）類型之一 與切線的性質(zhì)有關(guān)的計算或證明【經(jīng)典母題】如圖Z121“。0的切線PC交直徑AB的延長線于點P, C為切點，若/ P= 30° ,。0的半徑為1,則PB的長為 1 .【解析】如答圖，連結(jié)0C.PC 為。0 的切線，.zPCO = 90° ,在 RtSCP 中，.OC=1, /P = 30° ,. OP=2OC=2,. PB=OP0B=21=1.【思想方法】（1）已知圓的切線，可得切線垂直于過切點的半徑；（2）已知圓的切線，常作過切點的半徑，得到切線與半徑垂直.【中考變形2017天津已知AB是。的直徑，AT是。0的切線，/AB

2、T=50°二BT交。于點C, E是AB上一點，延長CE交。0于點D.（1）如圖Z122，求/ T和/CDB的大??；/（2）如圖，當(dāng)BE=BC時，'求/ CDO的大小.圖 Z12-2解：如答圖，連結(jié)AC,.AT是。O的切線，AB是。的直徑,. ATI AB,即/TAB= 90° ,. ABT= 50° , .俁 90° V ABT = 40由AB是。O的直徑，得/ACB = 90 CAB=90° V ABC=40° , . CDB= /CAB = 40° ;中考變形答圖中考變形答圖(2)如答圖，連結(jié)AD,在4BCE 中

3、，BE=BC, /EBC = 50° , ./BCE=/BEC=65° , . . / BAD = / BCD = 65. OA=OD, .ODA=/OAD=65° ,/ADC=/ABC=50° , ./CDO=/ODA/ ADC = 65° 50° =15° .【中考預(yù)測】/2017宿遷如圖Z12-3, AB與。相切于點B, BC為。O的弦，OCLOA,OA與BC相交于點P.求證：AP = AB;(2)若OB = 4, AB = 3,求線段BP的長.中考預(yù)測答圖圖 Z12-3解：(1)證明：vOC=OB, a zOCB=Z

4、OBC,.AB 是。O 的切線，.OB1AB, OBA= 900 ,ABP+/OBC = 90° ,-.OC1AO, a AOC=90° , OCB+/CPO=90° , .APB=/CPO, .APB=/ABP,AP = AB;(2)如答圖，作 OHLBC 于 H.在 RtSAB 中，.OB = 4, AB = 3,. OA= #32+42 = 5,.AP=AB=3,. PO=2.在 RtzPOC 中，PC = pOC2+OP2=2V5,11.2Pcoh = 2Ocop,OP OC 4則OH= PC = 5 '. CH= #C2-OH2 ;8,55,.O

5、HdBC,CH = BH,. BP" PC*16.5. BC = 2CH = 5 ， 2加U5類型之二與切線的判定有關(guān)的計算或證明【經(jīng)典母題】已知：如圖Z12-4, A是。O外一點,、AO的延長線交。O于點C,點B在圓 上，且AB=BC, /A= 300 ,求證：直線 AB是。O的切線.圖Z124經(jīng)典母題答圖證明：如答圖，連結(jié)OB,.OB=OC, AB=BC, AA= 30。， .OBC=/C=/A=30° , . AOB=/C+/OBC = 60°. ABO=180° -(/AOB+ZA) = 180° -(60° H30°

6、;) = 90° ,. AB JOB,又OB為。O半徑，；AB是。O的切線.【思想方法】證明圓的切線常用兩種方法 “作半徑，證垂直”或者“作垂直，證半徑”.【中考變形】1. 2016黃石如圖Z12 5,。的直徑為AB,點C在圓周上(異于A, B), ADXCD. /(1)若 BC = 3, AB = 5,求 AC 的值；(2)若AC是/ DAB的平分線，求證：直線 CD是。O的切線. /圖Z125中考變形1答圖解：(1)：AB是。O直徑，C在。O上， ACB=90° ,又BC = 3, AB=5,由勾股定理，得AC = 4;(2)證明：如答圖，連結(jié)OC,、 .AC是/DAB

7、的平分線， "AC=/BAC,/ 又. ADSC, . ADC=/ACB=90。， .zADCs/ACB, .zDCA=/CBA,又. OA= OC, . .OAC=/OCA, OAC+/OBC=90° , . .OCA+/ ACD=/OCD = 90° ,直線CD是。O的切線.2. 2017 南充如圖 Z12 6,在 RtACB 中，/ACB = 90° ,以 AC 為直徑作。O 交AB于點D, E為BC的中點，連結(jié)DE并延長交AC的延長線點F.(1)求證：DE是。O的切線；(2)若CF = 2, DF = 4,求。O直徑的長.圖Z12 6中考變形2答

8、圖【解析】(1)連結(jié)OD,欲證DE是。的切線，需證ODLDE,即需證/ODE= 90° ,怔ACB = 90° ,連結(jié)CD,根據(jù)“等邊對等角”可知/ODE=/OCE= 90° ,從而得證；/(2)在RtgDF中，利用勾股定理建立關(guān)于半徑的方程求解.解：(1)證明：如答圖，連結(jié) OD, CD.AC 是。的直徑，./ADC = 90°1.EDC = 90°.又:E 為 BC 的中點，1de=2bc=ce, . zEDC=/ECD.OD = OC/.QDC= /OCD.£DC+ / ODC = / ECD + / OCD = / ACB=

9、90。.ODE=90° , DE 是。O 的切線；(2)設(shè)。的半徑為 x.在 RtSDF 中，OD2+DF2 = OF2,即 x2 + 42=(x+ 2)2,解得 x=3.；OO 的直徑為 6.【中考預(yù)測】如圖Z12-7, AB是。O的直徑，點C, D 在AB的延長線上，/ AED=/ABC.(1)求證：DE與。O相切；(2)若 BF = 2, DF=W0,求。的半徑.圖 Z12-7在。O 上，/A=2/BCD,點 E解：(1)證明：如答圖八連結(jié) OD.AB是。的直徑， ACB=90° , . A+/ABC=90° ,. EOD=2/BCD, ZA=2/BCD,

10、.EOD=/A,/ . AED=/ABC, .BOD+/AED = 90° , ODE=90° , gPDDXDE,DE 與。O 相切； (2)如答圖，連結(jié)BD,過點D作DHXBF于點H. .DE 與。O 相切，丁. zACD+ / BCD= / ODB+ / BDE = 90<. ACD=/OBD, /OBD=/ODB, .EDE=/BCD,. AED=/ABC, .AFC=/DBF,= AFC=/DFB,，zACF與AFDB都是等腰三角形，. FH = BH = 2bF=1, .HD = qDF2-FH2 =3,在 RtSDH 中，OH2+DH2=OD2,即(OD

11、 1)2 + 32=OD2,OD = 5.即。的半徑是5.ABE5已知：如圖，AB是。的直徑，AD是弦, 且/ C=Z BED.OC垂直AD于F交。于 巳 連結(jié) DE、BE,與圓的切線有關(guān)的計算與證明(2)1 .如圖8, CD是。0的切線，切點為A,AB是。0的直徑.E,FO0上的點,(1)求證：/ DAE=/FDE(2)若EF圖7 。的半徑為1,過點A(2, 0)。0于點B,交y軸于點C.(1) 求線段AB的長；/(2) 求以直線AC為圖象的一次函數(shù)的解析式.3、在 ABC中，AB=AC ,內(nèi)切圓 O與邊BC、AC、AB分別切于 D、E、F.(1)求證：BF=CE;(2)若/ C=30

12、76; , CE 273 ,求 AC.4.如圖 10,在。O 中，/ ACB= /BDC=60° , AC=2<3cm ,(1)求/ BAC的度數(shù)；(2)求。O的周長(1)求證：AC是。的切線；(2)若 OA=10, AD=16,求 AC 的長.或反過來問：當(dāng) P6.如圖，MP切。O于點M,直線PO交。O于點A、B,弦AC/MP,(1)求證：MO / BC./、(2補充)連ZCM,當(dāng)四邊形BCMO為菱形時，求/ P的度數(shù)30°時，判斷四邊形BCMOJ形狀，并說明理由. M7.如圖，在4ABC中，AB 點N .(1)求證MN是。O的切線;若 BAC 120°, ABAC ,以AB為直徑的。交BC于點M , MN，AC于2 ,求圖中陰影部分的面積.8如圖， ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過 A作直線 (1)求證：MN是半圓的切線；(2)設(shè)D是弧AC的中點，連結(jié)BD交AC于G, 過D作DE XAB于E,交AC于F .N求證：FD=FG.10.已知：如圖，AB為。的直徑， AB AC, BCE, BAC 45° .(1)求 EBC的度數(shù)；(2)求證：BD CD .11.如圖，在 ABC中，AB AC , AE是角平分線， 經(jīng)過B, M兩點的。交BC于點G ,交AB于點F , 求證：AE與。O相切；