第2講向量的數(shù)量積向量積混合積ppt課件

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 授課教師 彭亞新第七講第七講 向量的數(shù)量積、向量積、混合積向量的數(shù)量積、向量積、混合積第一章第一章 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何第二節(jié)第二節(jié) 向量的數(shù)量積、向量積、混合積向量的數(shù)量積、向量積、混合積本節(jié)教學(xué)要求： 正確理解向量的數(shù)量積、向量積、混合積的概念。 熟悉數(shù)量積、向量積、混合積的運(yùn)算性質(zhì)。 熟悉數(shù)量積、向量積、混合積的坐標(biāo)形式。 理解向量在軸上的投影，向量間的夾角與數(shù)量積的關(guān)系。 會(huì)計(jì)算三階行列式。 掌握向量間垂直、平行、共面與數(shù)量積、向量積、混合積 的關(guān)系。一一. 向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積第二節(jié)第二節(jié) 向量的數(shù)量積、向量積、混合積向量的數(shù)

2、量積、向量積、混合積二二. 向量的向量積向量的向量積三三. 向量的混合積向量的混合積一一. 向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積 向量的數(shù)量積的概念. 向量的數(shù)量積的性質(zhì). 向量的數(shù)量積的坐標(biāo)形式. 兩個(gè)向量間的夾角.1. 向量的數(shù)量積的概念 數(shù)量積的物理模型 , 的物體上作用于質(zhì)量為外力mF , 該力所作離使物體沿直線移動(dòng)了距S 的功為 |cos| 。SFW cos | | SFWmFS ; , SF力和位移是向量： )( 。：數(shù)量功是標(biāo)量W 位移功力的大小 )(方向一致FprjSWS| 向量的數(shù)量積 cos| , baba則稱數(shù)值為任意兩個(gè)向量和設(shè) , 記為的數(shù)量積與為向量ba , cos| baba

3、 0 , , ,。且其中ba | bprjabaa | aprjbbab | ababprja | bbaaprjb2. 向量的數(shù)量積的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 1) ( 交換律abba證證 , 得由數(shù)量積的定義 , ,cos| | bababa , ,cos| | ababab , cos ,cos 所以因?yàn)閍bba 。abba證證性質(zhì)性質(zhì) 2) ( )(分配律cabacbaacabacb )()( | )(cbprjacbaa) ( | cprjbprjaaacprjabprjaaa | | 。caba和”“和的投影等于投影的例。則有規(guī)定：222| , aaaaa )()( )()( 的表達(dá)式。和求b

4、abadcba解解 ,由數(shù)量積的分配律 )()()()(dcbdcadcba dbcbdaca )()()()(babababa )()(bbabbaaa 22babbaa 22。ba)( | )(bprjabaabprjaa | ba )()(dbcbdacadcba )()(22bababa 2)(222bbaaba | 22aaaa常用的公式進(jìn)行比較與相應(yīng)的初等代數(shù)公式證證 , 0等式顯然成立。時(shí) , , , , , 0所以因?yàn)闀r(shí)baba ,cos| | | ) (bababa ,cos| | | baba )( 。ba , , , , , 0所以因?yàn)闀r(shí)baba ) ,cos(| | |

5、 ) (bababa) ,cos( | | baba )( 。ba其它情形類似可證性質(zhì)性質(zhì) 3 )() ( ) ()( babababa 為實(shí)數(shù)。其中) (與數(shù)乘的結(jié)合律3. 向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示 件向量相互垂直的充要條定理定理 1 , , 則為非零向量設(shè)ba0 baba證證 ,cos| | 立即可得由bababa 2 , 0。bababa與任何向量垂直。規(guī)定： 0 基本單位向量的數(shù)量積 , , 間的數(shù)量積如下：基本單位向量kji ; 1| 22iiii ; 1| 22jjjj ; 1| 22kkkk 0。ikkijkkjijji。 , , kjkiji 式向量的數(shù)量積的坐標(biāo)形 ),( ),

6、( 則和設(shè)有向量zyxzyxbbbbaaaa )()(kbjbibkajaiabazyxzyxkibajibaibazxyxxx2kjbajbaijbazyyyxy2 2kbajkbaikbazzyzxz 。zzyyxxbababa 式向量的數(shù)量積的坐標(biāo)形 ),( ),( 則設(shè)zyxzyxbbbbaaaa 。zzyyxxbabababa 由此推出： 0 0 。zzyyxxbababababa例 ),3 , 1 , 5( , ) 1 , 3 , 0( ),2 , 1 , 4( cba設(shè) , , 。以及求bprjaprjcabaab解解 1123) 1(04。ba 0) 3(113)5(0。cb)

7、 (cb。 1011301| 222bbaaprjb。 2112) 1(41| 222ababprja坐標(biāo)面上位于 yzb ) 0 , 0 , ( ；軸上：在xaax ) 0 , , 0 ( ；軸上：在yaay ) , 0 , 0 ( 。軸上：在zaaz ,zyxaaa不為零量的特征是什么？位于坐標(biāo)面上的非零向量的特征是什么？位于坐標(biāo)軸上的非零向iayza/ / 平面jaxza/ / 平面kaxya/ / 平面 ) 0 , ( ；坐標(biāo)面上：在yxaaaxy ) , 0 , ( ；坐標(biāo)面上：在zxaaaxz ) , , 0 ( 。坐標(biāo)面上：在zyaaayz ,zyxaaa不同時(shí)為零 ka ja

8、ia量的特征是什么？平行于坐標(biāo)面的非零向量的特征是什么？平行于坐標(biāo)軸的非零向量的特征是什么？垂直于坐標(biāo)面的非零向量的特征是什么？垂直于坐標(biāo)軸的非零向 請(qǐng)課后思考、討論。4. 兩個(gè)向量間的夾角 , ),( ),( 則為非零向量設(shè)zyxzyxbbbbaaaa , ,cos| | bababa| | ,cos bababa故 , 222222zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa , 。由此可求出ba看出點(diǎn)什么沒(méi)有？ , 0 ba注意： , ),( ),( 則為非零向量設(shè)zyxzyxbbbbaaaa , )cos,cos,(cos0aaaa , )cos,cos,(cos0bbbb | |

9、 ,cos00babababa coscoscoscoscoscos。bababa例解解 , 64 2 使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生位移上作用于質(zhì)點(diǎn)設(shè)力PkjiF , ,2 3間的夾角。與位移并求力所作的功求力SFFkjiS SFW )2 3() 64 2(kjikji 8) 1(62432。 , 7 2 14568 | | ,cosSFSFSF , 0 7 2arccos , 。且故SFSF物理單位物理單位例解解 , 1 | | | , 0 cbacba且設(shè) 。求accbba , 0|0| | )( 222cbacba因?yàn)?)()()(2cbacbacba 2 2 2| 222accbbacbaaccbbac

10、ba 2 2 2222)( 23accbba 2 3 。故accbba例證證 對(duì)的圓周角為直角。證明：在圓內(nèi)，直徑所 0 ,。即要證明如圖所示CBAC , OCOBOCAOAC , OCOBCB )()(OCOBOCOBCBAC22OCOB |22OCOB , 022rr直角。故直徑所對(duì)的圓周角為 ) ( 為圓的半徑rABCO ) (OBAO例 | :222222。證明zzyyxxzyxzyxbabababbbaaa證證 ),( ),( 則由令zyxzyxbbbbaaaa , | | | ,cos| | | |babababa | 222222。得zyxzyxzzyyxxbbbaaababab

11、a )/ / , 1,cos (。此時(shí)時(shí)等號(hào)成立當(dāng)baba二二. 向量的向量積向量的向量積 向量的向量積的概念. 向量的向量積的性質(zhì). 向量的向量積的坐標(biāo)形式.1. 向量的向量積的概念 向量積的物理模型 , 處作用于杠桿上點(diǎn)設(shè)力PF 力臂的長(zhǎng)度力矩的大小力的大小 :則由力臂到力符合右手法方向 。間的夾角為與OPF , 且產(chǎn)生的力矩為一個(gè)向量對(duì)點(diǎn)則力MOF , sin| | | | |OPFOQFMFOQ , 的角度旋轉(zhuǎn)時(shí)以不超過(guò)到的方向是從FOPM ,。和垂直于且按右手法則確定FOPMP向量的向量積 : 按下列方式確定的向量和是由設(shè)bac ); , ( 0 ,sin| | | )1(babac

12、 ; ) ( , )2(所確定的平面與垂直于bacbcac , , )3(確定轉(zhuǎn)到按右手法則從的方向bac , 。記為的向量積與為則稱bacbac , : 的角度四個(gè)手指以不超過(guò)伸開(kāi)右手右手法則 , 拇指的正向握攏時(shí)的正向轉(zhuǎn)向從ba 。的正向所指的方向?yàn)閏abbac , . 1一個(gè)向量。即兩個(gè)向量的向量積是是一個(gè)向量ba , . 2。bbaaba ; 0)()(ababaa 0)()(。bbabab 0 . 3。aa) 0 ,sin| | | (aaaaaa 向量積的幾何意義 : 面積為鄰邊的平行四邊形的和以向量baab sin| | | 。bahaS 。bacABCDc , sin| | |

13、 |babac | bababa 的模的向量積與向量 : 面積為鄰邊的平行四邊形的與等于以baABCDSba |h | 2 1 baSABD2. 向量的向量積的性質(zhì)證證性質(zhì)性質(zhì) 1) ( )( 反交換律abba 向量積不滿足交換律 , 0, ,/ / 故或則若bababa。 0)( abba , 則不平行與若ba , , 所以的方向相反與而按右手法則abba。 )( abbaabba)(ba ,sin| | |)(| |babaabba性質(zhì)性質(zhì) 2 )( )()()(Rbabababa) (與數(shù)乘的結(jié)合律性質(zhì)性質(zhì) 3 )(cbcacba )(bcacbac) (分配律 )()( :dbcbda

14、cadcba一般形式 件向量相互平行的充要條定理定理 2 , , 則為非零向量設(shè)ba 0 / /baba證證 0 | , 0 | ,sin| | | 立即可得及由babababa 0 ,sin 0baba 0 與任何向量平行。規(guī)定： / / 0, ?；騜aba 0 :aa推論ABCD例 :角線為鄰邊構(gòu)成的平行以平行四邊形的兩條對(duì)證明 四邊形面積的兩倍。四邊形的面積為原平行FE證證。即要證如圖所示ABCDAEFCSS 2 , , , 則引入向量BCbABa ,baBCABAC ,baBCABDBCF | CFACSAEFC故|)()(| baba | bbabbaaa| |2| | )2(| b

15、abaABCDS 2 )( 2)()(bababa例 | )()( :2222。證明bababa證證 ,sin| | )(22222bababa , 則記ba ,cos| ) cos| | ()(22222bababa)cos(sin| )()( 222222bababa從而 | 22。ba 通常將此式寫為 )()(2222。bababa例 , , , 。且為非零向量設(shè)cbcacba 。試問(wèn)能否由此推出ba解解 , 得由cbca 0)(。cba ; , 0 )1( baba即故 ,/ / )( )2(。此時(shí)可能有bacba ,。時(shí)不一定有綜上所述bacbca3. 向量的向量積的坐標(biāo)表示 基本單

16、位向量的向量積 , , 間的向量積如下：基本單位向量kji) ( ; 0 平行關(guān)系的推論kkjjiiijk ; ,kijkji ; ,ijkikj ; ,jkijik) (右手法則 式向量的向量積的坐標(biāo)形 ),( ),( 則和設(shè)有向量zyxzyxbbbbaaaa )()(kbjbibkajaiabazyxzyxkibajibaiibazxyxxxkjbajjbaijbazyyyxy kkbajkbaikbazzyzxz 0 0 0 式向量的數(shù)量積的坐標(biāo)形 ),( ),( 則和設(shè)有向量zyxzyxbbbbaaaa )()(kbjbibkajaiabazyxzyxkibajibaiibazxyxx

17、xkjbajjbaijbazyyyxy kkbajkbaikbazzyzxz 0 0 0kijijkijk )()( )(。kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy )()(kbjbibkajaiabazyxzyx )()( )(。kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzykbbaajbbaaibbaayxyxzxzxzyzy zyxzyxbbbaaakji 基本單位向量) ( 左邊的baa) ( 右邊的bab 式向量的向量積的坐標(biāo)形 ),( ),( 則設(shè)zyxzyxbbbbaaaa 由此推出： 0 / /。zzyyxxbababababa zyxzyxbbbaaak

18、jiba。理解為分子也是時(shí)分母出現(xiàn) 0 , 0 例 2)( 。計(jì)算iji解解 , )0 , 1 , 1 ( ji , )0 , 0 , 2( 2i ).2, 0 , 0( 0020112)( kjiiji故例 ) 1, 2 , 1 ( )1 , 1 , 2( 。垂直的向量和求與cba解解。和垂直于由向量積的概念 ,baba),5, 3, 1( 121112 kjiba , 所求向量為由向量的平行關(guān)系 0 ),53( 。且Rkjic三三. 向量的混合積向量的混合積 向量的混合積的概念. 向量的混合積的坐標(biāo)形式. 向量的混合積的幾何意義.1. 向量的混合積的概念 ),( ),( ),( 則稱設(shè)zy

19、xzyxzyxccccbbbbaaaa , , )( 的混合積。為向量數(shù)值cbacba , , , , ?；虻幕旌戏e記為通常也將向量cbacbacba , , ),()( :的故由數(shù)量積的交換律cbabaccba )( ?；旌戏e也可表示為bac2. 向量的混合積的坐標(biāo)形式 ),( ),( ),( 則設(shè)zyxzyxzyxccccbbbbaaaa kbbaajbbaaibbaabbbaaakjibayxyxzxzxzyzyzyxzyx )(zyxyxyzxzxxzyzycbbaacbbaacbbaacba zyxzyxzyxcccbbbaaa 式向量的混合積的坐標(biāo)形 ),( ),( ),( 則設(shè)z

20、yxzyxzyxccccbbbbaaaa )(zyxzyxzyxcccbbbaaacba zyxzyxzyxcccbbbaaacba或 a b c例 質(zhì)：驗(yàn)證向量的混合積的性 )()()(bacacbcba )()()(abcbcacab解解 ),( ),( ),( 則設(shè)zyxzyxzyxccccbbbbaaaa )(zyxzyxzyxcccbbbaaacba zyxyxyzxzxxzyzycbbaacbbaacbbaa zyxyxyzxzxxzyzycbbaacbbaacbbaa )(zyxzyxzyxaaacccbbbacb )( 。cbacccbbbaaazyxzyxzyx按第二行展開(kāi)

21、其余部分類似可證。2. 向量的混合積的幾何意義abcbacprjba , , 構(gòu)成設(shè)非零向量cba , )( 則如圖所示右手系 | )(。cprjbacbaba , 為鄰邊的以ba 平行四邊形的面積 , , 為鄰邊的以cba 平行六面體的高 , , )( ,體積。為鄰邊的平行六面體的表示以此時(shí)cbacba , )( , , 則時(shí)如圖所示構(gòu)成左手系設(shè)非零向量cba 0。cprjba | | | |)( |cprjbacbaba , , 為鄰邊的平行表示以cba ,此時(shí) 六面體的體積。 , , ,的混合積的絕對(duì)值等于非零向量綜上所述cba , , 體積。為鄰邊的平行六面體的以cbaabcbacprjba 混合積的幾何意義 ),( ),( ),( 則設(shè)zyxzyxzyxccccbbbbaaaa 體的體積為以它們?yōu)槔獾钠?/p>