人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)解題技巧專題歸納合集

1、人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)解題技巧專題歸納合集目 錄1、類比歸納專題：三角形中內(nèi)、外角的有關(guān)計(jì)算2、類比歸納專題：與三角形的高、角平分線有關(guān)的計(jì)算模型3、解題技巧專題：利用全等解決問(wèn)題的模型與技巧4、難點(diǎn)探究專題：動(dòng)態(tài)變化中的三角形全等5、易錯(cuò)易混專題：等腰三角形中易漏解或多解的問(wèn)題6、解題技巧專題：等腰三角形中輔助線的作法7、模型構(gòu)建專題：共頂點(diǎn)的等腰三角形8、類比歸納專題：證明線段相等的基本思路9、解題技巧專題：乘法公式的靈活運(yùn)用10、解題技巧專題：選擇合適的方法因式分解11、易錯(cuò)專題：分式中常見(jiàn)的陷阱12、解題技巧專題：分式運(yùn)算中的技巧1、類比歸納專題：三角形中內(nèi)、外角的有關(guān)計(jì)算一全方位求角度

2、類型一 已知角的關(guān)系，直接利用內(nèi)角和或結(jié)合方程思想1 .在ABC 中，NANB = 35° , NC=55° ,則NB 等于（）A. 50° B. 55° C. 45° D, 40°2 .在ABC 中，已知NA=2NB = 3NC,則48（：是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.形狀無(wú)法確定3 .如圖，在AABC中，NC=NABC = 2NA, BD是AC邊上的高，求NDBC的度數(shù).工4 .如圖，AABC 中，ZB = 26° , ZC = 70° , AD 平分NBAC, AEJ_BC 于 E, E

3、F±AD 于F,求NDEF的度數(shù).類型二綜合內(nèi)外角的性質(zhì)5 .如圖，BD、CD分別平分NABC和NACE, NA=60° ,則ND的度數(shù)是（）6 .如圖，ZB = 20° , ZA=ZC = 40° ,則NCDE 的度數(shù)為7 .如圖，AD 平分NBAC, ZEAD=ZEDA.求證：ZEAC=ZB：若NB = 50° , ZCAD ： ZE = 1 ： 3,求NE 的度數(shù).類型三在三角板或直尺中求角度8 .將一副三角板按如圖所示擺放，圖中NQ的度數(shù)是（）A. 120° B. 105° C. 90° D. 75

4、6;9 .將兩個(gè)含30°和45°的直角三角板如圖放置，則的度數(shù)是（）A. 10° B. 15° C. 20° D, 25°10 . 一副三角板如圖所示疊放在一起，則圖中的度數(shù)是11 .如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若Nl = 55° ,則N2的度 數(shù)為.類型四與平行線結(jié)合12 .如圖，已知B、C、E在同一直線上，且CDAB,若NA=75° , ZB = 40° , 則NACE的度數(shù)為（）A. 35° B. 40° C. 115° D. 145°13 .如

5、圖，ABCD,直線PQ分別交AB、CD于點(diǎn)F、E, EG是NDEF的平分線,交AB于點(diǎn)G.若NPFA=40° ,那么NEGB等于（）A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°p14 .如圖，BD是aABC的角平分線，DEBC,交AB于點(diǎn)E, ZA=45° , ZBDC = 60° ,則 NBDE=15 .如圖，在ABC中，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，AD交BE于F.已知EGAD交 BC 于 G, EH_LBE 交 BC 于 H, NHEG=55° .求NBFD的度數(shù);若NBAD=NEBC, ZC

6、= 44° ,求NBAC 的度數(shù).類型五與截取或折疊相關(guān)16 .如圖，把ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部時(shí)，則NA 與N1和N2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā) 現(xiàn)的規(guī)律是()A. ZA=Z1-Z2B. 2ZA=Z1-Z2C. 3ZA=2Z1-Z2D. 3ZA=2(Z1-Z2)17 .如圖，RtZABC中，NACB = 90° , NA=52° ,將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A'處，折痕為CD,則NA' DB=第17題圖笫18題圖18 .在AABC中，NB = 70° ,若沿圖中虛線剪去NB,

7、則N1 + N2等于.19 .如圖.（1）將ABC紙片沿DE折疊成圖，此時(shí)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部， 則NA與Nl、N2之間有一種數(shù)量關(guān)系保持不變，請(qǐng)找出這種數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理 由.若折成圖或圖，即點(diǎn)A落在BE或CD上時(shí)，分別寫(xiě)出NA與N2、NA與 N1之間的關(guān)系式（不必證明）；若折成圖，寫(xiě)出NA與Nl、N2之間的關(guān)系式（不必證明）.參考答案與解析1. C 2.C3 .解：設(shè)NA=x，則NC=NABC = 2x.根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°知NC+NABC + ZA=180°，即 2x+2x+x=180° , Ax=36° , .*.ZC=2x = 72o

8、 .在 RtBDC 中，ZDBC = 90° -ZC = 90° -72° =18° .方法點(diǎn)撥：三角形中給出的條件含比例且不易直接求出時(shí)，一般需要設(shè)未知數(shù), 根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程求解.4 .解：ABC 中，ZB = 26° , ZC = 70° , AZBAC = 1800 -ZB-ZC = 180°-26° -70° =84° . YAD 平分NBAC, ZDAC=|zBAC=1x84° =42。.在 乙乙ACE 中，ZCAE = 90° - NC=90°

9、-70° =20° , A ZDAE= ZDAC- ZCAE = 42° 一20° =22° . VZDEF+ZAEF=ZAEF+ZDAE = 90° , A ZDEF=ZDAE = 22° .5. B 6.80°7. (1)證明：TAD 平分NBAC, A ZBAD= ZCAD. X V ZEAD= ZEDA, A ZEAC= ZEAD-ZCAD=ZEDA-NBAD= NB；(2)解：設(shè)NCAD=x° ，則 NE = 3x° .由(1)知NEAC= NB = 50° , AZEAD=

10、ZEDA = (x+50)° .在AEAD 中，V ZE+ ZEAD+ ZEDA= 180° , r.3x° +2(x+50)° = 180° ,解得 x=16.，NE=48° .8. B 9.B 10.75°11.35°12. C 13. C 14. 15°15.解：(1) VEH±BE, r.ZBEH=90° . VZHEG=55° , A ZBEG= ZBEH-ZHEG = 35° . XVEG/7AD,，NBFD= NBEG=35° ：(2) V

11、ZBFD= ZBAD+ ZABE, ZBAD=ZEBC, A ZBFD= ZEBC+ ZABE= ZABC. 由(1)可知NBFD=35° , A ZABC = 35° . VZC=44° , /. ZBAC=180° -ZABC -ZC = 180° -35° -44° =101° .16. B 17.14°18.250°19.解：(1)延長(zhǎng)BE、CD,交于點(diǎn)P,則ABCP即為折疊前的三角形.由折疊的 性質(zhì)知NDAE=NDPE.連接AP.由三角形的外角性質(zhì)知N1 = NEAP+NEPA, Z2

12、 = ZDAP+ZDPA,則N1 + N2=NDAE+NDPE = 2NDAE,即N1 + N2 = 2NA； (2)圖中，Z2 = 2ZA；圖中，Z1 = 2ZA：(3)圖中，Z2-Z1 = 2ZA.2、類比歸納專題：與三角形的高、角平分線有關(guān)的計(jì)算模型模型1：求同一頂點(diǎn)的角平分線與高線的夾角的度數(shù)1 .如圖,AD, AE分別是ABC的高和角平分線.(1)已知 NB = 40° , ZC = 60° ,求NDAE 的度數(shù)；(2)設(shè)NB= Q , ZC= B (q V B ),請(qǐng)用含a , P的代數(shù)式表示NDAE,并證明.模型2：求兩內(nèi)角平分線的夾角的度數(shù)2 .如圖，ABC

13、中，NABC和NACB的平分線交于點(diǎn)0.若NB0C = 120° ,則NA3 .如圖，ABC中，點(diǎn)P是NABC, NACB的平分線的交點(diǎn).(1)若NA=80° ,求NBPC的度數(shù).有位同學(xué)在解答(1)后得出NBPC = 90° +：NA的規(guī)律，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)給 出理由.模型3：求一內(nèi)角平分線與一外角平分線的夾角的度數(shù)4 .如圖,在ABC中，BA1平分NABC, CA1平分NACD, BA- CA1相交于點(diǎn)求證：ZAx=tZA；乙(2)如圖，繼續(xù)作NAIC和NASD的平分線交于點(diǎn)命,得NA工作NAFC和NASD 的平分線交于點(diǎn)心,得NA3依此得到NA.；,若NA=

14、a,則NAq =模型4：求兩外角平分線的夾角的度數(shù)【方法5】5 . (1)如圖,B0平分ABC的外角NCBD, CO平分ABC的外角NBCE,則NB0C 與NA的關(guān)系為；請(qǐng)就中的結(jié)論進(jìn)行證明.參考答案與解析1 .解：(1) VZB=40° , ZC = 60° , r.ZBAC=180° -ZB-ZC=180° -40°-60° =80° .AE 是角平分線，NBAE = ；NBAC = ：X80° =40° . TAD 是高， 乙乙r.ZBAD=90° - NB = 90° -40&

15、#176; =50° ,Z D AE = Z BAD - Z BAE = 5 0 ° 一 40°= 10° . /口葩=)(。一。)，證明如下：/8=。，NC=F (a < p), .ZBAC = 180o一(a+B). TAE 是角平分線，NBAE=：NBAC=90° ：(。+6). TAD 是 乙乙高，A ZBAD = 90° -ZB=90° - Q, A ZDAE= ZBAD- ZBAE=900 - a -90。( a + P )a).乙乙2. 60°3 .解：(1) VBP, CP 為角平分線，NPB

16、C+NPCB=；(NABC+NACB)=；(180。 -ZA)=1x (180° -80° )=50° , AZBPC = 180° - (ZPBC+ZPCB) =180° -50° =130° .(2)正確，理由如下：TBP, CP為角平分線，NPBC+NPCB=：(NABC+NACB) =:(180° -ZA)=90° -1ZA, A ZBPC = 180° 一(NPBC+NPCB) =180° ( 1 1|90° -ZA =90° +-ZA.4 .證明：CA】

17、平分NACD, NA = ；NACD = 2(NA+NABC). X V ZAiCD 乙乙= ZA1+ZA1BC, r. ZAi + ZAxBC(ZA+ ZABC). YBAi平分NABC, Z. ZA：BC=ZABC, /.|ZABC+ ZAX = 1(ZA+ ZABC), A ZAt=iZA. a(2)T3ok 乙5 . (l)ZB0C = 90° -1ZA(2)證明：如圖,BO, CO分另lj是ABC的夕卜角NDBC, NECB的平分線，NDBC= 2N1 = NACB+NA, ZECB = 2Z2= ZABC+ZA, A2Z1 + 2Z2 = 2ZA+ZABC+ ZACB=Z

18、A+180° , .Z1 + Z2=1ZA+9O° .又：Nl + N2+NB0C = 180° ,AZB0C = 180° -(Zl + Z2)=90° -1ZA.3、解題技巧專題：利用全等解決問(wèn)題的模型與技巧明模型，先觀察，再猜想，后證明類型一 全等三角形的基本模型1 .如圖，AC=AD, BC=BD, ZA=50° , ZB = 90° ,則NC=.DIf DC第1題圖第2題圖2 .如圖，銳角ABC的高AD, BE相交于F,若BF=AC, BC = 7, CD = 2,則AF 的長(zhǎng)為.3 .如圖，點(diǎn) A, D, C,

19、E 在同一條直線上，ABEF, AB=EF, NB=NF, AE=10, AC = 6,則CD的長(zhǎng)為 ()D. 34 .如圖，在ABC, aADE 中，ZBAC=ZDAE=90° , AB=AC, AD=AE,點(diǎn) C, D, E在同一直線上，連接BD交AC于點(diǎn)F.(1)求證：BADgACAE；猜想BD, CE有何特殊位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.E類型二證明線段間的等量關(guān)系 一、等線段代換5 .如圖，RtAABCAB=AC, ZBAC = 90° ,直線1為經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的任一直線,BDJ_1 于 D, CEJ_1 于 E,若 BD>CE,試問(wèn)：(1)AD與CE的大小關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)

20、明理由；線段BD, DE, CE之間的數(shù)量關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由.二、截長(zhǎng)補(bǔ)短法6 .如圖，在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點(diǎn)，若AC平分NBAE, ZACE = 90° , 猜想線段AE、AB、DE的長(zhǎng)度滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明.三、倍長(zhǎng)中線法7 .在ABC中，AB=8, AC=6,則BC邊上的中線AD的取值范圍是()A. 6<AD<8B. 2<AD<14C. 1<AD<7D.無(wú)法確定參考答案與解析1. 11002. 3 3. A4 . (1)證明：NBAC=NDAE = 90° , ：, ZBAC+ ZCAD= ZDAE+ ZCAD,即

21、 NBAD = NCAE.在BAD 和ACAE 中，.AB=AC, ZBAD=ZCAE, AD=AE, /.BADACAE(SAS).(2)解：BD_LCE.理由如下：由(1)可知BADgZCAE, A ZABD= ZACE. V ZBAC = 90° , A ZABD+ZAFB=900 . X.V ZAFB=ZDFC, A ZACE+ZDFC = 90° , .ZBDC = 90° ,即 BDJ_CE.5 .解:(1)AD=CE.理由如下：，BDJ_1 于 D,CE_L)于 E,NBDA=NAEC=90° , .ZCAE+ZACE=90° .

22、 VZBAC=Z90° , A ZBAD+ZCAE = 90° , A ZBAD = ZACE. XVAB=AC, AAABDACAE (AAS), AAD=CE.(2)BD=DE+CE.理由如下：由(1)可知ABDgZkCAE, .BD=AE, AD=CE. XVAE =DE+AD, r.BD=DE+CE,6 .解：AE=AB+DE.證明如下：如圖，在AE上截取AF=AB,并連接CF.AC平 分NBAE, NBAC=NCAF. XVAC=AC, A ABACAFAC(SAS), ABC=FC, ZACB =ZACF. ZACE=90° ,，ZACF+ ZFCE

23、= 90° , ZACB+ ZDCE = 90° , ZFCE = NDCE. 乂'C 為 BD 的中點(diǎn)，BC = DC, .DC=FC. XVCE=CE, .,.FCEADCE(SAS), ADE=FE, ；AE=AF+FE=AB+DE.7 . C4、難點(diǎn)探究專題：動(dòng)態(tài)變化中的三角形全等以“靜”制“動(dòng)”，不離其宗類型一動(dòng)點(diǎn)變化1 .如圖，RtZXABC 中，ZC = 90° , AC = 6, BC = 3, PQ=AB,點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 分別在 AC和AC的垂線AD上移動(dòng)，則當(dāng)AP=時(shí)，ABC和APQ全等.2 .如圖，ABC 中，AB=AC=12cm,

24、 NB=NC, BC = 8cm,點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn).如 果點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA 上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為vcm/s,則當(dāng)ABPD與4CQP全等時(shí)， v的值為【提示：三角形中有兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角所對(duì)的邊相 等工3 . ABC 中，ZBAC=90° , AB=AC (Z ABC = Z ACB=4 5 ° ),點(diǎn) D 為直線 BC 上 一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B, C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連接CF.【方 法111(1)觀察猜想：如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，BC與CF的位置關(guān)系為；線段B

25、C, CD, CF之間的數(shù)量關(guān)系為 (將結(jié)論直接寫(xiě)在橫線上).數(shù)學(xué)思考：如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論，是否仍然成 立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明.類型二圖形變換4 .如圖甲，已知A, E, F, C在一條直線上，AE = CF,過(guò)E, F分別作DELAC, BF±AC,且 AB=CD,連接 BD.(1)試問(wèn)OE=OF嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；若ADEC沿AC方向平移到如圖乙的位置，其余條件不變，上述結(jié)論是否仍成 立？請(qǐng)說(shuō)明理由.5 .如圖，在 RtaABC 中，ZACB = 90° ,點(diǎn) D, F 分別在 AB, AC 上，CF=CB,連 接

26、CD,將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得CE,連接EF.(1)求證：BCDFCE；(2)若EFCD,求NBDC的度數(shù).A參考答案與解析1. 3 或 6 解析：:ABC 和全等，AB=PQ,有ABCgZQPA 或 ABCPQA.當(dāng)ABCQPA 時(shí)，則有 AP=BC = 3；當(dāng)ABCgZXPQA 時(shí)，則有 AP=AC = 6,當(dāng)AP=3或6時(shí)，/XABC和aAPQ全等，故答案為3或6.2. 2或3解析：當(dāng)BD=PC時(shí)，BPD與4CQP全等.,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，BD =；AB=6cm, A PC = 6cm, ABP = 8-6 = 2 (cm). 二點(diǎn) P 在線段 BC 上以 2

27、cm/s 的 乙速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為Is.1DBPgZkPCQ, .CQ=BP = 2cin, .,.v = 24-l = 2(cm/s);當(dāng) BD=CQ 時(shí)，ABDPAQCP. APB=PQ, NB=NCQP.又 VZB=ZC, r.ZC=ZCQP, r.PQ=PC, APB=PC. VBD = 6cm, BC = 8cm, PB = PC, r.QC = 6cm, ABP=4cm,，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 4 + 2 = 2 (s), I. v=6+2 = 3 (cm/s), 故答案為2或3.3. 解：(1)垂直BC=CD+CFCF_LBC成立;BC=CD+CF不成立,正確結(jié)論：CD=CF

28、+BC.證明如下:正方形 ADEF 中，AD=AF, ZDAF= ZBAC=90° , A ZBAD= ZCAF.fAD=AF,在ADAB 與aFAC 中， ZBAD=ZCAF, /. ADABAFAC(SAS), A ZABD= ZACF, Lab=AC,DB=CF. V ZACB=ZABC=45° , ：. ZABD = 180° -45° =135° ,，NBCF=ZACF- ZACB= ZABD- ZACB = 90° , r.CF±BC. VCD=DB+BC, DB=CF, A CD =CF+BC.4. 解：(1)

29、OE = OF.理由如下：VDE±AC, BF±AC, A ZDEC= ZBFA=90° . VAEAB=CD, =CF, AE+EF=CF+EF,即 AF=CE.在 RtZABF 和 RtZCDE 中，AF=CE,ZBFO=ZDEO, ARtAABFRtACDE (HL),，BF=DE.在BFO 和中，S ZB0F=ZD0E,Ibf=de,r.ABFOADEO(AAS), AOE = OF.(2)結(jié)論依然成立.理由如下：.AE=CF, AE-EF=CF-EF,，AF=CE.同(1) 可得BFOgADEO,，F(xiàn)O=EO,即結(jié)論依然成立.5. (1)證明:5將線段C

30、D繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得CE,CD=CE, NDCE = 90° . VZACB=90° , .ZBCD = 90° 一 NACD= NFCE.在4BCD 和4FCE 中， pB=CF,< NBCD=NFCE,CD=CE,r.ABCDAFCE(SAS).(2)解：由(1)可知 NDCE = 90° , ABCDAFCE, A ZBDC= ZE. VEF/7CD, A ZE = 180° 一 NDCE=90° , r.ZBDC = 90° .5、易錯(cuò)易混專題：等腰三角形中易漏解或多解的問(wèn)題易錯(cuò)歸納，各

31、個(gè)擊破類型一求長(zhǎng)度時(shí)忽略三邊關(guān)系1. 一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4, 8,則它的周長(zhǎng)為（）A. 12 B. 16 C. 20 D. 16 或 202 .學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)內(nèi)容后，張老師請(qǐng)同學(xué)們交流這樣一個(gè)問(wèn)題：”已知一 個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是12,其中一條邊長(zhǎng)為3,求另兩條邊的長(zhǎng)”.同學(xué)們經(jīng)過(guò) 片刻思考和交流后，小明同學(xué)舉手說(shuō)：“另兩條邊長(zhǎng)為3、6或4. 5、4.5. ”你 認(rèn)為小明的回答是否正確：，理由是.3 .已知等腰三角形中，一腰上的中線將三角形的周長(zhǎng)分成6cm和10cm兩部分, 求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)和底邊的長(zhǎng).類型二當(dāng)腰或底不明求角度時(shí)沒(méi)有分類討論4.已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40

32、76; ,則這個(gè)等腰三角形的頂角為（）A. 100°B, 40°C. 40° 或 100°D. 60°5.等腰三角形的一個(gè)外角等于100° ,則與這個(gè)外角不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù) 分別為（）A. 40° , 40° B. 80° , 20°C. 80° , 80° D. 50° , 50° 或 80° , 20°6.已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1 ： 4,則這個(gè)等腰三角形頂角的度 數(shù)為.類型三三角形的形狀不明時(shí)沒(méi)有分類討論7.等腰

33、三角形的一個(gè)角是50° ,則它一腰上的高與底邊的夾角是（）A. 25°B. 40°C. 25°或40° D.不能確定8 .在aABC中，AB=AC, AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到的銳角為 50° ,則NB等于.9 .如果兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)相等、面積也相等，那么我們把這兩個(gè)等腰三角 形稱為一對(duì)合同三角形.已知一對(duì)合同三角形的底角分別為X。和y° ,則 （用含x的代數(shù)式表示）.10 .已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20° ,求頂角的度數(shù).類型四 一邊確定，另兩邊不確定，求等腰三角形個(gè)數(shù)時(shí)

34、漏解11 .平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2, 2）、B（4, 0）.若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C,使AABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A. 5 B. 6 C. 7 D. 812.如圖，在4X5的點(diǎn)陣圖中，每?jī)蓚€(gè)橫向和縱向相鄰陣點(diǎn)的距離均為1,該 點(diǎn)陣圖中已有兩個(gè)陣點(diǎn)分別標(biāo)為A, B,請(qǐng)?jiān)诖它c(diǎn)陣圖中找一個(gè)陣點(diǎn)C,使得以點(diǎn) A, B, C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則符合條件的C點(diǎn)有 個(gè).R7-A / 參考答案與解析1 . C2 .不正確 沒(méi)考慮三角形三邊關(guān)系3.解：設(shè)腰長(zhǎng)為XCID,腰長(zhǎng)與腰長(zhǎng)的一半是6cm時(shí),解得x = 4,底邊長(zhǎng)= 10；X4 = 8(cm) . .4+4 = 8,，4c

35、m、4cm、8cm 不能組成三角形;1901 20腰長(zhǎng)與腰長(zhǎng)的一半是10cm時(shí)，x+-x = 10,解得x=»p 底邊長(zhǎng)=6- 乙O乙 Joonono=W（cm）, ；三角形的三邊長(zhǎng)為kcm、于cm、-cm,能組成三角形.綜上所述，三 OoO0ono角形的腰長(zhǎng)為Tcni，底邊長(zhǎng)為.cm. 0O4. C 5.D6. 120° 或 20°7.C 8. 70° 或 20°9 . x或90 x解析：.兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)相等、面積也相等，腰上的高 相等.當(dāng)這兩個(gè)三角形都是銳角或鈍角三角形時(shí)，y = x,當(dāng)兩個(gè)三角形一個(gè) 是銳角三角形，一個(gè)是鈍角三角形時(shí)

36、，y=90-x.故答案為x或90x.10 .解:此題要分情況討論：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，腰上的高在其外部.如 圖所示，得頂角NACB=ND+NDAC=90° +20° =110° ；當(dāng)?shù)妊切蔚捻?角是銳角時(shí)二 腰上的高在其內(nèi)部，如圖所示，故頂角NA=90° -ZABD = 90° -20° =70° .綜上所述，頂角的度數(shù)為110°或70°.11. A 12.56、解題技巧專題：等腰三角形中輔助線的作法形成精準(zhǔn)思維模式，快速解題類型一 利用“三線合一”作輔助線一、已知等腰作垂線(或中線、角平分線

37、)1 .如圖，在ABC 中，AB=AC, AEJ_BE 于點(diǎn) E,且 BE=；BC,若NEAB = 20° , 則 NBAC=.2 .如圖，在ABC中，AB=AC, D為BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE1.AB, DF±AC, 垂足分別為E, F.(1)求證:DE=DF：(2)若NA=90° ,圖中與DE相等的有哪些線段(不說(shuō)明理由)？D3 .如圖，ABC中，AC = 2AB, AD平分NBAC交BC于D, E是AD上一點(diǎn)，且EA =EC,求證：EB±AB.8二、構(gòu)造等腰三角形4 .如圖，ZABC的面積為lcm, AP垂直NABC的平分線BP于P,則PBC的面

38、積為 （）A. 0. 4cm2 B. 0. 5cm25 .如圖，已知aABC是等腰直角三角形，ZA=90° , BD平分NABC交AC于點(diǎn)D, CELBD.求證：BD = 2CE.類型二 巧用等腰直角三角形構(gòu)造全等6.如圖，在ABC 中，AC=BC, ZC=90° , D 是 AB 的中點(diǎn)，DE_LDF,點(diǎn) E, F 分別在AC, BC±,求證：DE=DF.類型三 等腰(邊)三角形中截長(zhǎng)補(bǔ)短或作平行線構(gòu)造全等7 .如圖，已知 AB=AC, ZA=108° , BD 平分NABC 交 AC 于 D,求證：BC=AB +CD.8 .如圖，過(guò)等邊aABC的邊A

39、B上一點(diǎn)P,作PE1AC于E, Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn), 且PA=CQ,連PQ交AC邊于D.(1)求證：PD=DQ；(2)若ABC的邊長(zhǎng)為1,求DE的長(zhǎng).參考答案與解析1. 40°2. (1)證明：如圖，連接 AD. AB=AC, D 是 BC 的中點(diǎn)，NEAD= NFAD. 乂VDE1AB, DF±AC, ADE=DF.(2)解：若NBAC = 90" ,圖中與DE相等的有線段DF, AE, AF, BE, CF.3. 證明：如圖，作 EF_LAC 于 F.EA=EC, AAF=FC=1aC. VAC = 2AB, .AF=AB. ：AD 平分NBAC, A ZB

40、AD= ZCAD. XVAE=AE, A AABEAAFE(SAS), AZABE=ZAFE = 90° . AEB1AB.5 .證明：如圖,延長(zhǎng)BA和CE交于點(diǎn)日:CEBD, NBEC=NBEM=90°.BD 平分NABC, A ZMBE=ZCBE. XVBE=BE, A ABMEABCE(ASA),，EM=EC=； MC.ABC 是等腰直角三角形，.NBAC=NMAC=90。，BA=AC, A ZABD+ ZBDA=90° . V ZBEC = 90° , /. ZACM+ZCDE = 90° . VZBDA=ZEDC, A ZABE =N

41、ACM乂TAB=AC, A AABDAACM(ASA), ADB=MC, ABD = 2CE.6 .證明：如圖，連接CD. .AC=BC, D是AB的中點(diǎn)，.CD平分NACB, CD±AB, AZCDB=90o . VZACB = 90° , A ZBCD= ZACD=45° , A ZB=180° -ZCDB -ZBCD=45° , A ZACD=ZB=ZBCD, .CD=BD. VED±DF, AZEDF=ZEDC + ZCDF=90° . XVZCDF+ZBDF=90° , A ZEDC= ZBDF,AECD

42、AFBD (ASA), ADE=DF.7 .證明：如圖，在線段BC上截取BE = BA,連接DE. BD平分NABC, JNABD = NEBD. 乂'BD=BD, A AABDAEBD (SAS), A ZBED= ZA=108° , A ZDEC = 180° -ZDEB=72° .又;AB=AC, ZA=108° , A ZACB= ZABC=X (180° -108° )=36° , A ZCDE= ZDEB- ZACB = 180° -36° =72° , AZCDE = ZD

43、EC, ACD=CE, ABC=BE+EC=AB+CD.8 .證明：如圖、過(guò) P 作 PFBC 交 AC 于點(diǎn) F,，NAFP=NACB, ZFPD=ZQ, NPFD=NQCD. :ABC 為等邊三角形,J NA= NACB = 60° , ZAFP = 60° , .APF 是等邊三角形，AP=PF. .AP=CQ,，PF=CQ, PFDgZQCD(ASA), ，PD=DQ.(2)解：:APF 是等邊三角形，PE±AC, AAE=EF. VAPFDAQCD, ACD=DF,DE=EF+DF=,AC.又.AC=1, ADE=1.7、模型構(gòu)建專題：共頂點(diǎn)的等腰三角形

44、明模型，悉結(jié)論類型一 共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形1 .如圖，已知ABC和4DBE均為等腰直角三角形.(1)求證:AD=CE；猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不垂直，則只要寫(xiě)出結(jié) 論，不用寫(xiě)理由.類型二共頂點(diǎn)的等邊三角形2 .如圖，等邊4ABC中，D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊，向上作等邊£口：, 連接AE.ADBC和aEAC會(huì)全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；試說(shuō)明AEBC的理由;(3)如圖，將中動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到邊BA的延長(zhǎng)線上，所作仍為等邊三角形，請(qǐng) 問(wèn)是否仍有AEBC?證明你的猜想.參考答案與解析1 . (1)證明：ABC和4DBE均為等腰直角三角形，AAB=BC, BD=BE,

45、 ZABC=ZDBE = 90° , A ZABC- ZDBC= ZDBE- ZDBC,即 NABD=NCBE, .,.ABDACBE(SAS), AAD=CE.解:垂直.理由如下:如圖，延長(zhǎng)AD分別交BC和CE于G和F. ABD且ACBE, A ZBAD= ZBCE. V ZBAD+ ZABC+ ZBGA= ZBCE+ ZAFC+ ZCGF= 180° ,ZBGA=ZCGF, A ZAFC =ZABC = 90° , AAD±CE.2 .解：(l)ADBC和AEAC全等.理由如下：;ABC和£!)為等邊三角形，.'.BC =AC, D

46、C=EC, ZACB=ZDCE = 60° , A ZACB-ZACD= ZDCE-ZACD,即 NBCD =ZACE, ADBCAEAC (SAS).(2) VADBCAEAC, /. ZEAC= ZB=60° . XV ZACB=60° , A ZEAC= ZACB, AEBC.(3)仍有AEBC.證明如下：VAABC, ZkEDC為等邊三角形，BC=AC, DC=CE, ZBCA=ZDCE = 60° , A ZBCA+ ZACD= ZDCE+ ZACD,即NBCD=NACE.在BC=AC, ZBCD=ZACE, .,.ADBCAEAC(SAS),

47、，NEAC=NB = CD=CE,60° . XV ZACB=60° , .ZEAC=ZACB, ：AEBC.8、類比歸納專題：證明線段相等的基本思路理?xiàng)l件、定思路，幾何證明也容易類型一 已知“邊的關(guān)系”或“邊角關(guān)系”用全等1 .如圖，已知 AB=AE, BC = ED, NB=NE, AFJ_CD, F 為垂足，求證: (1)AC=AD： CF=DF.2 .如圖，ZC = 90° , BC=AC, D、E 分另lj在 BC 和 AC 上，且 BD = CE, M 是 AB 的 中點(diǎn).求證：AMDE是等腰三角形.類型二 已知角度關(guān)系或線與線之間的位置關(guān)系用“等角對(duì)

48、等邊”3 .如圖，在ABC中，CE、CF分別平分NACB和4ACB的夕卜角NACG, EFBC交 AC于點(diǎn)D,求證：DE=DF.4 .如圖，在aABC中，ZACB = 2ZB, ZBAC的平分線AD交BC于D,過(guò)C作CN±AD 交AD于H,交AB于N.(1)求證：AN=AC；試判斷B與CD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.類型三 已知角平分線、垂直或垂直平分用相應(yīng)的性質(zhì)5 .如圖，ABC中，NCAB的平分線與BC的垂直平分線DG相交于D,過(guò)點(diǎn)D作 DE±AB, DF±AC,求證：BE = CF.6 .如圖，在ABC中，ZC = 90° , AD是/BAC的平分線，

49、DEJ_AB于E, F在AC 上，BD=DF.求證： (1)CF=EB： (2)AB=AF+2EB.參考答案與解析1 .證明：(1)在ABC 和AED 中，AB=AE, NB=NE, BC=ED, A AABCAAED, AAC=AD：(2)在 RtZXACF 和 RtZXADF 中,AC=AD, AF=AF, A AACFAADF, ACF=DF.2 .證明：連接 CM,則 BM=CM,且，NB= NMCE=45° ,，BM=AM=CM.在MBD 和中，BM=CM, ZB=ZMCE, BD = CE,ANIBDAMCE, ADM=EM, MDE是等腰三角形.3 .證明：VCE 是a

50、ABC 的角平分線，/. ZACE= ZBCE. VCF 為4ABC 外角 ZACG 的平分線，ZACF= ZGCF. VEF/7BC, NGCF= ZF, NBCE= ZCEF. A ZACE = NCEF, ZF=ZDCF, A CD=ED, CD=DF, ADE=DF.4 . (1)證明：VCN1AD, A ZAHN=ZAHC = 90° .乂TAD 平分NBAC, A ZNAH=NCAH. 乂 在4ANH 和ACH 中，ZAHN+ ZNAH+ ZANH= 180° , ZAHC+ZCAH+ ZACH=180° r. ZANH = ZACH, AAN=AC；

51、AN=AC,(2)解：BN=CD.理由如下：連接 ND.在42)和4ACD 中， NNAD = CAD, Lad=AD,A AANDAACD(SAS), ADN=DC, ZAND=ZACD. XV ZACB=2ZB, A ZAND= 2NB. 乂BND 中，ZAND=ZB+ZNDB, .ZB=ZNDB, ANB=ND, ABN=CD.5 .證明：連接 BD、CD. TAD 是NFAE 的平分線，DE±AB, DF±AC, /.DE=DF. VDG 是 BC 的垂直平分線，BD=CD.，RtZCDFgRtZiBDE.，BE=CF.6 .證明：(1),.,AD 是NBAC 的平

52、分線,DE±AB, DC±AC, ADE=DC. X VBD=DF,ARtACFDRtAEBD (HL). ACF=EB：(2)在 RtZXADC 和 RtZXADE 中，AD=AD, DC=DE, ARtAADCRtAADE, AAC =AE,.AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.9、解題技巧專題：乘法公式的靈活運(yùn)用計(jì)算技巧多，先觀察，再計(jì)算，事半功倍類型一利用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算1 .計(jì)算102X98的結(jié)果是()A. 9995 B. 9896 C. 9996 D. 99972 .計(jì)算 2015,-2014X2016 的結(jié)果是()A. 12 B.

53、 11 C. 0 D. 13 .計(jì)算：(l)5f=：(2) 298 X 302 =.4 .運(yùn)用公式簡(jiǎn)便計(jì)算:/、 12/、1000 1A. - B. - C. 1 D. 2 乙乙7.若 ab = l, ab = 2,則（a+b），的值為（）A. -9 B. 9 C. ±9 D. 38.已知x+'=5,那么的值為（）XXA. 10 B. 23 C. 25 D. 279.若m+n=l,則代數(shù)式n'+2n的值為1. 10.若 a+b = 3, ab = 2,則（ab）?=. 10-X39-： 氏）2522-248"5 .閱讀下列材料:某同學(xué)在計(jì)算3(4 + 1)

54、(4?+1)時(shí)，把3寫(xiě)成4-1后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用平方差 公式計(jì)算：3(4+1) (411.閱讀：已知 a+b=-4, ab = 3,求 a-+b的值.解：*/a+b4, ab 3,+1) = (4-1)(4 + 1)(42+1) = (43-1)(42+1)=16:-1.請(qǐng) 借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算下面式子的值：類型二 利用乘法公式的變式求值6 .若 ab=,且 £b，=；,則 a+b 的值為（）乙Aa + b= (a+b)" 2ab= (4)' 2X3 = 10.請(qǐng)你根據(jù)上述解題思路解答下面問(wèn)題：(1)已知 ab = - 3, ab = 2,求(a+b) (a，一

55、b")的值;(2)已知 a cb= 10, (ab)c = -12t 求(ab)+c”的值.參考答案與解析 1. C 2.D3 . (1)2601 (2)899964 .解：(D 原式Mko+mkojuM'_Eyuisgga原式=1000,(250 + 2)(250-2) 2lOOO_1000:_250:+2X250X2 + 2:- (250:-2X250X2 + 2:) 2000 °0°5 .解+即+如+3+呆2乂(1_41+蛆+3(1+款+2+6 . B 7.B 8.B 9. 1 10. 111.解：(1) Vab3, ab= - 2,(a+b) (a

56、-b') (a+b)"(ab) = (ab):+4ab (ab) = ( -3):+4X ( 2) X ( 3)=3.(2) Vacb= 10, (ab)c = 12,(ab):+c:= (ab) c:+2(ab)c= (-10)2+2X (-12)=76.10、解題技巧專題：選擇合適的方法因式分解學(xué)會(huì)選擇最優(yōu)方法類型一 一步(提公因式或套公式)分解因式1 .下列分解因式正確的是()A. mam= _m(a-1)B. a (x2+1)2-4x2.1= (aI)3C. a" 6a+9= (a 3)-D. a' + 3a+9 (a+3)-2 .分解因式：(1)

57、3xVx:y3 + 2x y ；(2)2(x+y)2 (y+x)3.類型二 兩步(先提后套或二次分解)分解因式3 .分解因式晟b-b:結(jié)果正確的是()A. b (a+b) (ab) B. b (ab)-C. b (a-b")D. b(a+b)-4 .分解因式:(1) 2a3+ 12a" - 18a;.類型三 特殊的因式分解法(分組分解法、十字相乘法、配方法)5 .閱讀下列材料并解答問(wèn)題：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解 法. 例如:am+an+bm+bn= (am+bm) + (an+bn) m(a+b) +n(a+b) (a+ b) (

58、m+n).試完成下面填空：x2-y:-2y-l=x2- (y:+2y+l)=試用上述方法分解因式：a22abac+be+b:.6 .閱讀與思考：將式子f一x6分解因式.這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)一6 二 2義(-3), 一次項(xiàng)系數(shù)一1=2+( 3),這個(gè)過(guò)程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解 二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫(xiě)在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫(xiě)在 十字交叉線的右上角和右下角；然后交義相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)， 如圖所示，這種分解二次三項(xiàng)式的方法叫“十字相乘法”.；X；1 x(-3)+l x2=-l請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察，分析理解后，解答下列問(wèn)題：(1)分解因式:(+7x18；【方法22】填空：若x'+px 8可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是7.閱讀：分解因式x'+2x3.解：原式=x'+2x+l-l-3= (x:+2x+l)-4= (x+l)3-4= (x+1 + 2) (x+1-2) (x+3) (x 1).上述因式分解的方法可以稱之為配方法.請(qǐng)?bào)w會(huì)配方法的特點(diǎn)，然后用配方法分 解因式：(1) x:4x + 3;(2)4x2+12x 7.參考答案與解析1 . C2 .解：(1)原式uxkCxy?y' + Zx)；(2