常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

1、設(shè)有數(shù)列un:u1, u2, , un, , 則稱(chēng)表達(dá)示nnnuuuu211為一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為級(jí)數(shù). 其中， un稱(chēng)為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng).若級(jí)數(shù)1nnu的每一個(gè)項(xiàng)un均為常數(shù)，則稱(chēng)該級(jí)數(shù)為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；若級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)均為同一個(gè)變量的函數(shù)un = un(x), 則稱(chēng)級(jí)數(shù))(1xunn為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).例例1. 下列各式均為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)； 214121211nnn; 211nnn; ) 1(1111) 1(111nnn. cos2cos1coscos1nnn例例2. 下列各式均為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),) 1(1) 1(112111nnnnnxxxx.Rx,22100nnnnnxaxaxaaxa. 1|x,sin

2、2sinsinsin1nxxxnxn.Rx無(wú)窮級(jí)數(shù)1nnu的前n項(xiàng)之和：,211nnkknuuuuS稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和.若SSnnlim存在，則稱(chēng)級(jí)數(shù)1nnu收斂，S稱(chēng)為級(jí)數(shù)的和：.1Sunn若nnSlim不存在(包括為)，則稱(chēng)級(jí)數(shù)1nnu發(fā)散.例例3. 討論等比級(jí)數(shù)的斂散性.11nnar解解：等比級(jí)數(shù)的部分和為：.1)1 (1111rrarraraarSnnnkkn當(dāng)公比 | r |1時(shí)，.1)1 (limlimrraSnnnn當(dāng)公比 r =1時(shí)，naSnnnlimlim當(dāng)公比 r = 1時(shí)，Sn=a, n為奇數(shù)0, n為偶數(shù), 故不存在.nnSlim 綜上所述，當(dāng)公比| r |1時(shí), 等比級(jí)

3、數(shù)收斂；當(dāng)公比| r |1時(shí)，等比級(jí)數(shù)發(fā)散.例例4. 討論級(jí)數(shù)的斂散性.1) 12)(12(1nnn解：解：12112121) 12)(12(1nnnn1211212171512151312131121 nnSn121121n而21121121limlimnSnnn故，即該級(jí)數(shù)收斂.21) 12)(12(11nnn收斂級(jí)數(shù)稱(chēng)為收斂級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，記為1nnu的和S與其部分和Sn的差SSn1nmmnnuSSr顯然. 0limnnr：若級(jí)數(shù)1nnu收斂，則必有. 0limnnu 設(shè)SSSunnnnlim ,1則)(limlim1nnnnnSSu1limlimnnnnSS0SS例例5. 判別的斂散性.1

4、11) 1(nnnn解解：由于, 11) 1(lim|lim1nnunnnn故該級(jí)數(shù)發(fā)散., 0limnnu例例6. 證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的.11nn證證 調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和有：， 11S，211122 SS，221212114131211224 SS328SS 2312121211817161514131211由數(shù)學(xué)歸納法，得，212kSk k=0, 1, 2, 而21limlim2kSkkk故 nnSlim不存在，即調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散. 若c0為常數(shù)，則1nnu與1nncu有相同的斂散性，且.11nnnnuccu證證1nnu的部分和為，nkknuS11nncu的部分和為,11nnkknkkncSuc

5、cuS故nnnnnnSccSSlimlimlim從而同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.11nnnnuccu若收斂，與11nnnnvu其和分別為S1和S2，則級(jí)數(shù),)(1也收斂nnnvu且.)(21111SSvuvunnnnnnn證證1)(nnnvu的部分和為：)()()()(22111nnnkkknvuvuvuvuSnnnnSSvvvuuu212121)()(故212121limlim)(limlimSSSSSSSnnnnnnnnn即 級(jí)數(shù)1)(nnnvu收斂，且.)(21111SSvuvunnnnnnn例例7. 因?yàn)榈缺燃?jí)數(shù)收斂，與113121nnnn所以級(jí)數(shù).31211也收斂nnn例例8. 問(wèn)題(1)

6、一個(gè)收斂級(jí)數(shù)與一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)的和是收斂的還是發(fā)散的？答：是發(fā)散的.問(wèn)題(2) 兩個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)之和是收斂的還是發(fā)散的？答：不一定. 在一個(gè)級(jí)數(shù)的前面加上或者去掉有限項(xiàng)后，所得到的新的級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)的斂散性相同. (但對(duì)收斂級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，它的和將改變.)證證 設(shè)級(jí)數(shù)1nnu的部分和為Sn,去掉級(jí)數(shù)的前面m項(xiàng)后得到的級(jí)數(shù)1mkku的部分和為S k:kmmmkuuuS21)( )(212121mkmmmmuuuuuuuuumkmSS由于Sm當(dāng)m固定時(shí)為一常數(shù)，所以mkmkkkSSSlimlim故 級(jí)數(shù)1nnu與級(jí)數(shù).1有相同的斂散性mkku 對(duì)收斂的級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得到的新級(jí)數(shù)仍然收斂，且其和不變.例例9. 考

7、慮一下幾個(gè)問(wèn)題：(1) 收斂的級(jí)數(shù)去掉括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂嗎？答：不一定.(2) 發(fā)散的級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)是否仍發(fā)散？答：不一定發(fā)散.(3) 如果加括號(hào)后的級(jí)數(shù)仍發(fā)散，原級(jí)數(shù)是否也發(fā)散？答：原級(jí)數(shù)也發(fā)散.：若級(jí)數(shù)它的部分和數(shù)列收斂 1nnu：正項(xiàng)級(jí)數(shù)), , 2 , 1( 01nuunnn滿(mǎn)足Sn有界.則稱(chēng)之為正項(xiàng)級(jí)數(shù).例例10. 級(jí)數(shù)是否收斂？1121nn解解：該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，又有nn21121(n=1, 2, ),故 當(dāng)n1時(shí)，有1211211211212112111nnnkknkknS即其部分和數(shù)列Sn有界，從而，級(jí)數(shù).1211收斂nn設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù),11nnnnvu 和且0 un

8、 vn (n=1, 2, ) 若1nnv收斂，則1nnu收斂.若1nnu發(fā)散，則1nnv發(fā)散.證證 記,1nkknuS,1nkknvG 0 un vn (n=1, 2, ) 0 Sn Gn1111. nnnnnnnnvGvSu發(fā)斂也無(wú)界，故級(jí)數(shù)分和的部無(wú)界，從而發(fā)散，則其部分和若1111. nnnnnnnnuSuGv收斂也有界，故級(jí)數(shù)分和的部有界，從而收斂，則其部分和若例例11. 判斷級(jí)數(shù)13sin2nnnx的斂散性. (0 x0)的斂散性.解解：當(dāng)p1時(shí)，P一級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù)，11nn它是發(fā)散的.當(dāng)0p1, 按1, 2, 22, 23, , 2n, 項(xiàng)對(duì)P一級(jí)數(shù)加括號(hào)，不影響其斂散性：pppp

9、ppppnpn1519181 7151413121111而12121213121ppppp211214141414141ppppppppp715141ppp15191813112181818181ppppp 于是，P一級(jí)數(shù)加括號(hào)后生成的級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)均小于以1211pr為公比的等比級(jí)數(shù)的相應(yīng)項(xiàng)，故此時(shí)P一級(jí)數(shù)收斂. 綜上所述，當(dāng)p1, P一級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)p1時(shí)，P一級(jí)數(shù)發(fā)散.;, 2 , 1(011nvvunnnnn為兩個(gè)正項(xiàng)數(shù)，且和設(shè)或從某一項(xiàng)N開(kāi)始). 若，則nnnvulim(1) 00為常數(shù))解解：因?yàn)?11lim22nann(即=1為常數(shù))又11nn是調(diào)和級(jí)數(shù)，它是發(fā)散的，故原級(jí)數(shù)1221

10、nan發(fā)散.例例14. 判別級(jí)數(shù)1)cos1(nnx的斂散性，其中, x0為常數(shù).解解：由于，212lim1cos1lim22222xnnxnnxnn)0( 02 2xx即而121nn是n=2的P一級(jí)數(shù)，它是收斂的，故原級(jí)數(shù).)cos1(1收斂nnx設(shè)1nnu為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，極限存在，則nnnuu1lim(1) 1 (包括= )時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3) = 1 時(shí)，不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性.例例15. 判別級(jí)數(shù)1!1nnnx的斂散性，其中，x0為常數(shù).解解：記，則!nxunn01lim! ) 1(limlim11nxnxnxuunnnnnnn即 =01，故該級(jí)數(shù)收斂.例例16. 判別級(jí)數(shù)122nnnx

11、的斂散性，其中，x0為常數(shù).解解：記，則22nxunn2222222)1(21) 1(lim) 1(limlimxnxnnxnxuunnnnnnn即 =x2, 由達(dá)朗貝爾判別法.當(dāng)0|x|1時(shí)，1時(shí)，1, 級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng) | x |=1 時(shí)，=1, 但原級(jí)數(shù)緊時(shí)為.112122nnnnnx這是 n = 2 的 P 一級(jí)數(shù)，是收斂的. 綜上所述，當(dāng) 0 1 時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散.設(shè)1nnu為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，極限存在，則nnnulim(1) 1 (包括= )時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3) =1時(shí)，不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性.例例17. 判別級(jí)數(shù)的斂散性，其中, x 0 為常數(shù).1nnnx解解：記，則nnnxu0limlim

12、limnxnxunnnnnnn即 = 0 0, a0為常數(shù).解解：記，則nnaxuaxaxaxunnnnnnnlimlimlim即，由柯西根值判別法ax當(dāng)xa時(shí)，當(dāng)0 xa時(shí)，.1，級(jí)數(shù)發(fā)散ax.1，級(jí)數(shù)收斂ax當(dāng) x = a 時(shí)，=1, 但，11limlimlimnaxnnnnaxu故原級(jí)數(shù)發(fā)散. 綜上所述，當(dāng) 0 xa 時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂. 當(dāng) x a時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是各項(xiàng)正負(fù)相間的一種級(jí)數(shù)，它的一般形式為nnuuuuu14321) 1(或nnuuuuu) 1(4321其中，un0 (n=1, 2, )(萊布尼茲判別法) 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)11) 1(nnnu滿(mǎn)足條件(1) (2) unun

13、+1 (n=1, 2, ) 則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且其和S的值小于u1.0limnnu(級(jí)數(shù)收斂的必要條件) 例例19. 討論級(jí)數(shù)1( 1)nnn的斂散性.解解：這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，nun1又，01limlimnunnn，1111nnunnu由萊布尼茲判別法，該級(jí)數(shù)是收斂.例例20.判斷級(jí)數(shù)判斷級(jí)數(shù) 收斂？如果收斂，是條件收斂收斂？如果收斂，是條件收斂 還是絕對(duì)收斂？還是絕對(duì)收斂？ 1( 1)lnnnnn 解：此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因?yàn)榻猓捍思?jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因?yàn)?, 而而 發(fā)散發(fā)散,11lnnnn 11nn 原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂. 因?yàn)橐驗(yàn)?為交錯(cuò)級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù), 由萊布尼玆定理由萊布尼玆定理

14、1( 1)lnnnnn 由比較審斂法知由比較審斂法知 發(fā)散發(fā)散11( 1)1lnlnnnnnnnn 1( )10 (1)fxxx 111(1)ln(1)ln(1)nnuunnnnn 所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂。 所以所以 在在 上單增，即上單增，即 單減單減 ，( )f x(1,)1lnxx 故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 單減，單減，1n 1lnnn lnln1limlimlim0nxxnxnxx 11limlimlnln1nnnnnnn 0 ( )ln(0)f xxxx令令(1) 級(jí)數(shù)的絕對(duì)斂和條件收斂：若級(jí)數(shù)收斂， |1nnu是絕則稱(chēng)原級(jí)數(shù) |1nn

15、u對(duì)收斂的；若級(jí)數(shù). 1是條件收斂的則稱(chēng)原級(jí)數(shù)nnu但級(jí)數(shù)收斂， 1nnu發(fā)散， |1nnu若收斂， |1nnu. 1收斂必則nnu(即絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必定收斂)證證： un |un|2|0nnnuuu收斂，已知 | 1nnu收斂，故 )| ( 1nnnuu從而. |)| (11收斂nnnnnnuuuu(達(dá)朗貝爾判別法) 設(shè)有級(jí)數(shù).1nnu若存在，則|lim1nnnuu(1) 1 (包括= )時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3) =1時(shí)，不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性.例例21. 判別級(jí)數(shù)125sinnnn的斂散性.解：解：2215sin|nnnun由P一級(jí)數(shù)的斂散性，收斂，121nn收斂，故 |1nnu即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.例例22. 判別11nnnxx的斂散性，其中，x1為常數(shù).解解：記nnnxxu1| )1 (| )1 (|lim|lim111nnnnnnnnxxxxuu1| , 11| , |1lim11xxxxxxnnn當(dāng)|x|1時(shí)，=|x|1時(shí)，=1, 此時(shí)不能判斷其斂散性.由達(dá)朗貝爾判別法：但|x|1時(shí)，011lim|lim