中考?jí)狠S題目代數(shù)幾何綜合第部分

1、.代幾綜合點(diǎn)睛提分4、動(dòng)點(diǎn)與平行四邊形問(wèn)題兵法：1利用對(duì)邊平行，進(jìn)行分類(lèi)討論，然后畫(huà)出要求的點(diǎn) 2利用全等或銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)【例1】 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（4，0），B（0，4），C（2，0）三點(diǎn)（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，AMB的面積為S求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值（3）若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線(xiàn)yx上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)xyOBCMA【解析】 （1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為yax 2bxc（a0），則有 解得拋物線(xiàn)的解析式

2、為yx 2x4 （2）過(guò)點(diǎn)M作MDx軸于點(diǎn)D，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m 2m4）xyOBCMAD則ADm4，MDm 2m4S SAMDS梯形DMBO SABO(m4)(m 2m4)(m 2m44)(m)×4×4m 24m（4m0）即S m 24m(m2)24S 最大值4（3）滿(mǎn)足題意的Q點(diǎn)的坐標(biāo)有四個(gè)，分別是：（4，4），（4，4）（2，2），（2，2）【例2】 如圖，已知拋物線(xiàn)yax 2bxc（a0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q（2，1），且與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），點(diǎn)P是該拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線(xiàn)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A不重合），過(guò)點(diǎn)P作PD

3、y軸，交AC于點(diǎn)D（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)ADP是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在題（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線(xiàn)上，問(wèn)是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由C(0,3)OABxyDPQ(2,-1)【解析】 （1）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為Q（2，1），設(shè)ya(x2)21將C（0，3）代入上式，得3a(02)21a1 該拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為y(x2)21即yx 24x3 （2）如圖1，有兩種情況：OABxyDPQ(2,-1)(P1)(P2)D1D2H圖1當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合令y0，得x 24x30，解得x11，x

4、23 4分點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，B（1，0），A（3，0）5分P1（1，0）6分當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)OAOC，AOC90°，OAD245°當(dāng)D2AP290°時(shí)，OAP245°，AO平分D2AP2又P2D2y軸，P2D2AO，P2、D2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)設(shè)直線(xiàn)AC的函數(shù)關(guān)系式為ykxb，將A（3，0），C（0，3）代入得： 解得yx3D2在yx3上，P2在yx 24x3上設(shè)D2（x，x3），P2（x，x 24x3）(x3)(x 24x3)0，即x 25x60解得x12，x23（舍去）當(dāng)x2時(shí)，yx 24x32 24×231P2的坐標(biāo)為P2（2，1）（即為拋物

5、線(xiàn)頂點(diǎn)）9分P點(diǎn)坐標(biāo)為P1（1，0），P2（2，1）10分（3）由題（2）知，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（1，0）時(shí)，不能構(gòu)成平行四邊形當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P2（2，1）（即頂點(diǎn)Q）時(shí)如圖2，平移直線(xiàn)AP交x軸于點(diǎn)E，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)FC(0,3)OABxyDPQ(2,-1)圖2F1F2E2(P2)E1當(dāng)APFE時(shí)，四邊形APEF是平行四邊形P（2，1），可令F（x，1）x 24x31，解得x12，x22故存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為：F1（2，1），F(xiàn)2（2，1）【例3】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（1，0），B（3，0），C（0，1）三點(diǎn)（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)

6、Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，要使以點(diǎn)Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)xyOBCA【解析】 設(shè)該拋物線(xiàn)的表達(dá)式為yax 2bxc，根據(jù)題意，得 解得 所求拋物線(xiàn)的表達(dá)式為yx 2x1（2）當(dāng)AB為邊時(shí)，只要PQAB，且PQAB4即可又知點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或4，這時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)當(dāng)x4時(shí)，y；當(dāng)x4時(shí)，y7xyOBCAP1P3Q3Q1P2Q2P1（4，），P2（4，7）當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，只要線(xiàn)段PQ與線(xiàn)段AB互相平分即可又知點(diǎn)Q在y軸上，且線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，這時(shí)，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)當(dāng)x2時(shí)，y1P3（2，1）綜上，

7、滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有三個(gè)，其坐標(biāo)分別為：P1（4，），P2（4，7），P3（2，1）【例4】 已知拋物線(xiàn)yx 2bxc交y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)A關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B（3，4），直線(xiàn)yx與拋物線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為C，連結(jié)OB（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）如圖（1），點(diǎn)P在射線(xiàn)OC上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)BP，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，OBP的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖（2），點(diǎn)P在直線(xiàn)OC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，試問(wèn)點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在以O(shè)、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的情況，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由xyOABCP圖（1）xyOABC圖（2）xyOABC備

8、用圖【解析】 （1）B（3，4），點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，A（0，4）xyOABCPD圖（1）把A（0，4）、B（3，4）代入yx 2bxc得： 拋物線(xiàn)的解析式為yx 23x4 （2）如圖（1），連結(jié)AB，作PDy軸，則D（0，x）S梯形ABPD ( x3 )(x4 )x 2x6SAOB ×3×46，SDOP ×x×xx 2xyOB圖（2）P2P3P1Q1P4Q2Q3(Q4)yS梯形ABPDSAOBSDOP x （3）平移線(xiàn)段OB，使點(diǎn)B落在直線(xiàn)yx上，落點(diǎn)為P，點(diǎn)O落在拋物線(xiàn)上，落點(diǎn)為Q，則四邊形OBPQ為平行四邊形設(shè)P（x，x），O（0，0

9、），B（3，4）Q（x3，x4）點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上，x4( x3 )23( x3 )4整理得：4x 237x400，解得：x8或xP1（8，2），P2（，）平移線(xiàn)段OB，使點(diǎn)O落在直線(xiàn)yx上，落點(diǎn)為P，點(diǎn)B落在拋物線(xiàn)上，落點(diǎn)為Q，則四邊形OBQP為平行四邊形設(shè)P（x，x），O（0，0），B（3，4），Q（x3，x4）點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上，x4( x3 )23( x3 )4整理得：4x 211x0，解得：x0（舍去）或xP3（，）平移線(xiàn)段OP3，使點(diǎn)P3與點(diǎn)O重合，則點(diǎn)O落在直線(xiàn)yx上點(diǎn)P4處，四邊形OPBQ為平行四邊形P4（，）綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有4個(gè)，分別是：P1（8，2），P2（，），P3（，

10、），P4（，）【例5】 如圖，拋物線(xiàn)交x軸于點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（4，0），交y軸于點(diǎn)C（0，4）（1）求拋物線(xiàn)的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若直線(xiàn)yx交拋物線(xiàn)于M，N兩點(diǎn)，交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)E，連接BC，EB，EC試判斷EBC的形狀，并加以證明；（3）設(shè)P為直線(xiàn)MN上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PFED交直線(xiàn)MN下方的拋物線(xiàn)于點(diǎn)F問(wèn)：在直線(xiàn)MN上是否存在點(diǎn)P，使得以P、E、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P及相應(yīng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】 （1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為yax 2bxc（a0）點(diǎn)A、B、C均在此拋物線(xiàn)上 所求的拋物線(xiàn)的解析式為yx 2x4 ，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)

11、為（1，）（2）EBC的形狀為等腰三角形 證明：（法一）直線(xiàn)MN的函數(shù)解析式為yxON是BOC的平分線(xiàn) B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，4）COBO4MN是BC的垂直平分線(xiàn) CEBE即ECB是等腰三角形 PF（法二）直線(xiàn)MN的函數(shù)解析式為yxON是BOC的平分線(xiàn)COEBOE B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，4）COBO4又OEOECOEBOE CEBE即ECB是等腰三角形 （法三）點(diǎn)E是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x1和直線(xiàn)yx的交點(diǎn)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）利用勾股定理可求得CE，BECEBE 即ECB是等腰三角形 （3）解：存在 PFED要使以P、E、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，只要使

12、PFED點(diǎn)E是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x1和直線(xiàn)yx的交點(diǎn)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）ED1() 點(diǎn)P是直線(xiàn)yx上的動(dòng)點(diǎn)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（k，k）則直線(xiàn)PF的函數(shù)解析式為xk點(diǎn)F是拋物線(xiàn)和直線(xiàn)PF的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為（k，k 2k4）PFk(k 2k4)k 24 k 24k±1 當(dāng)k1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），F(xiàn)的坐標(biāo)為（1，）此時(shí)PF與ED重合，不存在以P、F、D、E為頂點(diǎn)的平行四邊形當(dāng)k1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），F(xiàn)的坐標(biāo)為（1，）此時(shí)，四邊形PFDE是平行四邊形5、動(dòng)點(diǎn)與梯形問(wèn)題兵法：1利用對(duì)邊平行，進(jìn)行分類(lèi)討論，然后畫(huà)出要求的點(diǎn) 2利用一次函數(shù)與二次函數(shù)聯(lián)立求交點(diǎn)坐標(biāo)【例1】 在平面直角坐標(biāo)系

13、xOy中，拋物線(xiàn)的解析式是yx 21，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A，B在拋物線(xiàn)上，AB與y軸交于點(diǎn)M，已知點(diǎn)Q（x，y）在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)P（t，0）在x軸上（1）寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）當(dāng)四邊形CMQP是以MQ，PC為腰的梯形時(shí)求t關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；當(dāng)梯形CMQP的兩底的長(zhǎng)度之比為1 : 2時(shí)，求t的值xyOBCA11PQM【解析】 （1）OABC是平行四邊形，ABOC，且ABOC4A，B在拋物線(xiàn)上，y軸是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，A，B的橫坐標(biāo)分別是2和2代入yx 21，得A（2，2），B（2，2）M（0，2）（2）過(guò)點(diǎn)Q作QHx軸于H，連接CM則QHy，PHx

14、t由PHQCOM，得：，即tx2yQ（x，y）在拋物線(xiàn)yx 21上tx 2x2 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，梯形不存在，此時(shí)，t4，解得x1±當(dāng)Q與B或A重合時(shí)，四邊形為平行四邊形，此時(shí)，x±2x的取值范圍是x1±且x±2的所有實(shí)數(shù)分兩種情況討論：）當(dāng)CMPQ時(shí)，則點(diǎn)P在線(xiàn)段OC上CMPQ，CM2PQ，點(diǎn)M縱坐標(biāo)為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的2倍即22(x 21)，解得x0t×02022 ）當(dāng)CMPQ時(shí)，則點(diǎn)P在OC的延長(zhǎng)線(xiàn)上CMPQ，CMPQ，點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為點(diǎn)M縱坐標(biāo)的2倍即x 212×2，解得：x± 當(dāng)x時(shí)，得t×()228當(dāng)x時(shí)，得t

15、×()228【例2】 如圖，在菱形ABCD中，AB2cm，BAD60°，E為CD邊中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AC方向以每秒cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿DB方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒（1）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示OP的長(zhǎng)度；若記四邊形PBEQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；（2）顯然，當(dāng)x0時(shí)，四邊形PBEQ即梯形ABED，請(qǐng)問(wèn)，當(dāng)P在線(xiàn)段AC的其他位置時(shí)，以P，B，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為梯形？若能，求出所有滿(mǎn)足條件的x的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由OEACQ

16、DBP【解析】 （1）由題意得BAO30°，ACBDAB2，OBOD1，OAOCOPx 如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EHBD于H，則EH為COD的中位線(xiàn)EHOC，DQx，BQ2xOEACQDBH圖1PySBPQ SBEQ (2x)(x)x 2x （2）能成為梯形，分三種情況：）如圖2，當(dāng)PQBE時(shí)，PQODBE30°圖2OEACQDBHPtan30°即，x此時(shí)PB不平行QE，x時(shí)，四邊形PBEQ為梯形）如圖3，當(dāng)PEBQ時(shí)，P為OC中點(diǎn)AP，即x，x此時(shí)，BQ2xPE，x時(shí)，四邊形PEQB為梯形）如圖4，當(dāng)QEBP時(shí)，QEHBPO，x1（x0舍去）此時(shí)，BQ不平行于PE，x1

17、時(shí)，四邊形PEQB為梯形綜上所述，當(dāng)x或或1時(shí)，以P，B，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形圖3OEACQDBHP圖4OEACQDBHP【例3】 如圖1，直線(xiàn)AB交x軸于點(diǎn)A（2，0），交拋物線(xiàn)yax 2于點(diǎn)B（1，），點(diǎn)C到OAB各頂點(diǎn)的距離相等，直線(xiàn)AC交y軸于點(diǎn)D（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）當(dāng)x0時(shí)，在直線(xiàn)OC和拋物線(xiàn)上是否分別存在點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使四邊形DOPQ是特殊的梯形？若存在，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；（3）如圖2，拋物線(xiàn)的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)不變當(dāng)x0時(shí)，在直線(xiàn)ykx（0k1）和拋物線(xiàn)上是否分別存在點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使四邊形DOPQ是以O(shè)D為底的等腰梯形？若存在，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若

18、不存在，說(shuō)明理由OABxyCD圖1OxyD圖2【解析】 （1）拋物線(xiàn)yax 2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，），a×1 2，a拋物線(xiàn)的解析式為yx 2（2）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為yk1xb1，它過(guò)點(diǎn)A（2，0），B（1，） 解得yx又點(diǎn)C到OAB各頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)C是OAB三邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)如圖1，連結(jié)BC并延長(zhǎng)交OA于A，則BEOA，OEAE點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）在RtOEC中，CEOE·tan30°，C（1，）設(shè)直線(xiàn)OC的解析式為yk2x，則k2×1，k2yx設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為yk3xb3，則 解得yx直線(xiàn)AC交y軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D（0，），OD當(dāng)ODPQ時(shí)，

19、DQOP時(shí)，四邊形DOPQ為等腰梯形（如圖1）OABxyCD圖1E由題意得，OCD為等邊三角形，CDOCODQ是直線(xiàn)AD與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)由xx 2，解得x11（舍去），x2當(dāng)x時(shí)，x 2點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）OABxyCD圖2當(dāng)x時(shí)，x點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）ODQ90°時(shí)，四邊形DOPQ為直角梯形（如圖2）過(guò)點(diǎn)D（0，）且平行x軸的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Qx 2，解得x1（舍去），x2點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）把x代入直線(xiàn)yx中，得y點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）當(dāng)DQOP時(shí)，ODPQ時(shí)，四邊形DOPQ為等腰梯形（如圖1）過(guò)點(diǎn)D（0，）且平行于OC的直線(xiàn)為x，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Qxx 2，解得x1（舍去），x21把x1代入y

20、x 2中，得y點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，）（與點(diǎn)B重合）又OCD為等邊三角形，DOCBPO60°設(shè)過(guò)點(diǎn)Q（1，）且平行于AD的直線(xiàn)為yxb，交OC于點(diǎn)P，則byxxx，解得x2把x2代入yx中，得y點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）OPQ90°時(shí)，四邊形DOPQ為直角梯形由以上解法知，點(diǎn)Q的坐標(biāo)（1，）（與點(diǎn)B重合），過(guò)B與OC垂直的直線(xiàn)為AB，設(shè)OC與AB的交點(diǎn)為P則 解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）綜上所述：當(dāng)P1（，），Q1（，）和P2（2，），Q2（1，）（與點(diǎn)B重合）時(shí)，四邊形DOPQ為等腰梯形；當(dāng)P3（，），Q3（，）和P4（，），Q4（1，）（與點(diǎn)B重合）時(shí)，四邊形DOPQ為直角梯形OxyD

21、圖3GQHP（3）設(shè)OD的中點(diǎn)為G，則G（0，）如圖3，過(guò)點(diǎn)G作GHy軸，交直線(xiàn)ykx于點(diǎn)H，連結(jié)DH，則H（，）設(shè)直線(xiàn)DH的解析式為yk4xb4，則解得直線(xiàn)DH的解析式為ykx直線(xiàn)DH與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)Q，x 2kx解得x1（舍去），x2點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）【例4】 如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，AB4，OB2，拋物線(xiàn)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)D一動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)P同時(shí)停止（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）若拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與AB交于點(diǎn)E，與x軸

22、交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，四邊形POQE是等腰梯形？OAByCxD【解析】 （1）四邊形ABCO是平行四邊形，OCAB4A（4，2），B（0，2），C（4，0），拋物線(xiàn)yax 2bxc過(guò)點(diǎn)B，c2 由題意，有 解得 所求拋物線(xiàn)的解析式為yx 2x2 OAByCxDEPFQ（2）將拋物線(xiàn)的解析式配方，得y(x2)2拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x2 D（8，0），E（2，2），F(xiàn)（2，0）欲使四邊形POQE為等腰梯形，則有OPQE，即BPFQt63t，即t 【例5】 如圖，二次函數(shù)yx 2pxq（p0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，1)，ABC的面積為（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；（

23、2）過(guò)y軸上的一點(diǎn)M(0，m)作y軸的垂線(xiàn)，若該垂線(xiàn)與ABC的外接圓有公共點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形ACBD為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由OACxyB【解析】 （1）二次函數(shù)yx 2pxq的圖象與y軸交于點(diǎn)C(0，1)102p×0q，q1yx 2px1 設(shè)點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，且x1x2則x1、x2是方程x 2px10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根方法一：由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2p，x1x21ABC的面積為，AB·OC即(x2x1)，x2x1(x2x1)2，即(x2x1)24x1x2(p)24，解得p±

24、;p0，p 所求二次函數(shù)的關(guān)系式為yx 2x1 方法二：由求根公式得x1，x2ABx2x1ABC的面積為，即(x2x1)，解得p±p0，p所求二次函數(shù)的關(guān)系式為yx 2x1（2）令x 2x10，解得x1，x22A(，0)，B(2，0) 如圖1，在RtAOC中，AC 2OA 2OC 2()212OACxyBy y圖1在RtBOC中，BC 2OB 2OC 222125AB，AC 2BC 25AB 2ABC是直角三角形 ABC的外接圓的圓心是斜邊AB的中點(diǎn)ABC的外接圓的半徑rAB垂線(xiàn)與ABC的外接圓有公共點(diǎn)m（3）存在 若ADBC，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0，x02x01)(x00)過(guò)點(diǎn)D作D

25、Ex軸于E，如圖2方法一：OACxyB圖2ED在RtAED中，tanDAE在RtBOC中，tanCBODAECBO，tanDAEtanCBO，即4x028x050解得x0或x0x00，x0，x02x01()2×1D(，)AD 2AE2DE 2()2()2BC 2當(dāng)ADBC時(shí)，在該二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)D(，)，使四邊形ACBD為直角梯形方法二：OACxyB圖3DF在RtAED與RtBOC中DAECBO，RtAEDRtBOC，即以下同方法一若ACBD，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0，x02x01)(x00)過(guò)點(diǎn)D作DFx軸于F，如圖3在RtDFB中，tanDBF在RtCOA中，tanCAO2DB

26、FCAO，tanDBFtanCAO2，即2x02x0100解得x0或x02x00，x0，x02x01()2×()19D(，9)BDAC，當(dāng)ACBD時(shí)，在該二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)D(，9)，使四邊形ACBD為直角梯形綜上所述，在該二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)D，使四邊形ACBD為直角梯形，并且點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)或(，9) 6、動(dòng)點(diǎn)與其他四邊形【例1】 在直角梯形OABC中，CBOA，ÐCOA90°，CB3，OA6，BA分別以O(shè)A、OC邊所在直線(xiàn)為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）已知D、E分別為線(xiàn)段OC、OB上的點(diǎn)，OD5，OE2EB，直線(xiàn)

27、DE交x軸于點(diǎn)F求直線(xiàn)DE的解析式；（3）點(diǎn)M是（2）中直線(xiàn)DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)N，使以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由EOyxCBAFD圖1備用圖EOyxCBAFD【解析】 如圖1，作BHx軸于點(diǎn)H，則四邊形OHBC為矩形OHCB3 AHOAOH633，在RtABH中，BH6 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6）（2）如圖1，作EGx軸于點(diǎn)G，則EGBHOEGOBH OE2EBOyxCBEAFMNGHPD圖1，OG2，EG4點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4）又設(shè)直線(xiàn)DE的解析式為ykxb則 解得k，b5直線(xiàn)DE的解析式為yx5 （3）存

28、在如圖1，當(dāng)ODDMMNNO5時(shí)，四邊形ODMN為菱形作MPy軸于點(diǎn)P，則MPx軸，MPDFOD，又當(dāng)y0時(shí)，x50，解得x10F點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），OF10在RtODF中，F(xiàn)D，MP，PD點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，5）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）OyxCBEAFMNP圖2如圖2，當(dāng)ODDNNMMO5時(shí)，四邊形ODNM為菱形延長(zhǎng)NM交x軸于點(diǎn)P，則MPx軸點(diǎn)M在直線(xiàn)yx5上，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a5）在RtOPM中，OP 2PM 2OM 2，a 2( a5 )25 2解得a14，a20（舍去），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，3）yxCBEAFMND圖3P點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，8）如圖3，當(dāng)OMMDDNNO時(shí)，四邊形OMDN為菱

29、形連接NM，交OD于點(diǎn)P，則NM與OD互相垂直平分yM yN OP，xM 5xM 5，xN xM 5點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5，）綜上所述，x軸上方的點(diǎn)N有三個(gè)，分別為N1（，），N2（4，8），N3（5，）【例2】 如圖，ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD6，若OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x 27x120的兩個(gè)根，且OAOB（1）求sinABC的值（2）若E為x軸上的點(diǎn)，且SAOE ，求經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)的直線(xiàn)的解析式，并判斷AOE與DAO是否相似？（3）若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線(xiàn)AB上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由x

30、yADBOC【解析】 （1）解方程x 27x120，得x13，x24OAOB，OA4，OB3 在RtAOB中，AB5sinABC （2）點(diǎn)E在x軸上，SAOE ，OA·OE，即×4OE，OEE（，0）或E（，0）由已知可知D（6，4）設(shè)經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)的直線(xiàn)的解析式為ykxb當(dāng)E（，0）時(shí)，有 解得當(dāng)E（，0）時(shí)，有 解得經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)的直線(xiàn)的解析式為y或y 在AOE中，AOE90°，OA4，OE在DAO中，DAO90°，OA4，AD6AOEDAO （3）存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，點(diǎn)F的坐標(biāo)分別為：F1（3，8），F(xiàn)2（3，0），F(xiàn)

31、3（，），F(xiàn)4（，）10分）當(dāng)AC為菱形的邊長(zhǎng)時(shí)，有三種情形：如圖1，當(dāng)點(diǎn)F1在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且ACCDDF1F1A時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，四邊形ACMF1為菱形，易知此時(shí)點(diǎn)F1的坐標(biāo)為F1（3，8）；如圖2，當(dāng)點(diǎn)F2與點(diǎn)B重合，且ACCMMF2F2A時(shí)，四邊形ACMF2為菱形，此時(shí)點(diǎn)F2的坐標(biāo)為F2（3，0）；如圖3，當(dāng)ACCF3F3MMA時(shí)，四邊形ACF3M為菱形由已知可求得直線(xiàn)AB的解析式為，設(shè)點(diǎn)F3的坐標(biāo)為（x，）CF32AC232422525，解得x10（即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)），x2（即點(diǎn)F3的橫坐標(biāo)）點(diǎn)F3的縱坐標(biāo)為：，F(xiàn)3（，）當(dāng)AC為菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，設(shè)AC與F4M相交于點(diǎn)N，F(xiàn)4M交y

32、軸于點(diǎn)G，如圖4由已知可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，2）RtANGRtAOC，即，AGOG，G（0，）設(shè)直線(xiàn)F4M的解析式為，則，解得，直線(xiàn)F4M的解析式為xyABOC圖1D(M)F1xyADB(F2)OCM圖2聯(lián)立，解得，F(xiàn)4（，）xyADOCM圖4BF4NGxyADBOCMF3圖3【例3】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAOBRtCDA，且A（1，0）、B（0，2），拋物線(xiàn)yax 2ax2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）在拋物線(xiàn)（對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)）上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使四邊形ABPQ是正方形，若存在，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由CBADOxy【解析】 （1）由RtAOBRtCDA，得

33、OD213，CD1C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，1a(3)2a(3)2a 拋物線(xiàn)的解析式為yx 2x2 （2）在拋物線(xiàn)（對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)）上存在點(diǎn)P、Q，使四邊形ABPQ是正方形CBADOxyPEQG方法一：以AB為邊在AB的右側(cè)作正方形ABPQ，過(guò)P作PEOB于E，QGx軸于G，可證PBEAQGBAOPEAGBO2，BEQGAO1 8分P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）由（1）拋物線(xiàn)yx 2x2當(dāng)x2時(shí)，y1；當(dāng)x1時(shí)，y1P、Q在拋物線(xiàn)上故在拋物線(xiàn)（對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)）上存在點(diǎn)P（2，1）、Q（1，1），使四邊形ABPQ是正方形（2）方法二：延長(zhǎng)CA交拋物線(xiàn)于Q，過(guò)B作BPCA交拋物線(xiàn)

34、于P，連結(jié)PQ，設(shè)直線(xiàn)CA、BP的解析式分別為yk1xb1、yk2xb2A（1，0），C（3，1），CA的解析式為yx同理可得BP的解析式為yx2 解方程組 得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），同理得P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）由勾股定理得AQBPAB，又BAQ90°，四邊形ABPQ是正方形故在拋物線(xiàn)（對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)）上存在點(diǎn)P（2，1）、Q（1，1），使四邊形ABPQ是正方形方法三：將線(xiàn)段CA沿CA方向平移至AQC（3，1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A（1，0），A（1，0）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Q（1，1）；再將線(xiàn)段AQ沿AB方向平移至BP，同理可得P（2，1）BAC90°，ABAC，四邊形ABPQ是正方形 由（1）拋物線(xiàn)yx 2x2當(dāng)x2時(shí)，y1；當(dāng)x1時(shí)，y1P、Q在拋物線(xiàn)上故在拋物線(xiàn)（對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)）上存在點(diǎn)P（2，1）、Q（1，1），使四邊形ABPQ是正方形【例4】 已知點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D是某個(gè)函數(shù)圖像上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點(diǎn)依次排列）為正方形時(shí)，稱(chēng)這個(gè)正方形為此函數(shù)圖像的伴侶正方形例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)yx1圖像的其中一個(gè)伴侶正方形（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)yx1，求它的圖像的所有伴侶正方形的邊長(zhǎng)；（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)y（k0），它的圖像的伴侶正方形為ABCD，點(diǎn)D