線性方程組解的理論

1、第三章 線性方程組解的理論引言在第一章§1中，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了解線性方程組的(Gauss)消元法，本章對此作進(jìn)一步討論，闡述線性方程組解的理論這一理論，又依賴于n維列(行)向量空間Fn的子空間的結(jié)構(gòu)，其解可用20世紀(jì)五十年代迅速發(fā)展起來的矩陣廣義逆來表示因此，本章也闡述Fn中向量的線性相關(guān)性，并點(diǎn)述矩陣廣義逆的片斷內(nèi)容§1 n維列(行)向量張成的向量空間教學(xué)目的 通過教學(xué)，使學(xué)生理解n維列(行)向量空間Fn及其子空間的基本概念教學(xué)內(nèi)容在這里，我們把數(shù)域F上的n×1(1×n)矩陣， (1)叫做F上的n維列(行)向量，統(tǒng)稱為n維向量，叫做的第i個(gè)分量本節(jié)將要

2、闡述由這樣向量張成的向量空間1.1 向量空間記 (2)中向量的相等，向量的加法，數(shù)域F上數(shù)k與中向量的數(shù)乘延用矩陣的規(guī)定顯然，并且滿足1)； 2)；3)存在分量全為零的向量,叫做零向量，使得；4)記，叫做的負(fù)向量，使得；5)； 6)；7)； 8)，這里，因此，稱為數(shù)域F上的n維列(行)向量空間由2)，記，并且由5)有=由4)，記，因而對于，向量方程有唯一的解至于數(shù)乘，設(shè)，易見，當(dāng)且僅當(dāng)或請注意，的元素，只指列向量或行向量中的一種，切不可混裝由于列、行的“對偶性”，我們在闡述中只對一種情形討論(請同學(xué)們根據(jù)上下文注意區(qū)分)對于另者，同學(xué)們不難看出其結(jié)論也正確談到數(shù)域F，一般情況也沒專指；其中R、

3、C，分別叫做n維實(shí)向量空間、復(fù)向量空間，由于R的正性、C的代數(shù)封閉性，有時(shí)應(yīng)在特殊性上給予關(guān)注設(shè)，其分量為，則 ，這里是第一章§4例2所述的n維標(biāo)準(zhǔn)單位列向量所說的n維，實(shí)質(zhì)上是刻畫的一個(gè)度量，將在§3中闡明我們現(xiàn)在興趣的是這個(gè)表達(dá)式的形式本身，將它一般化，引入定義1 設(shè)若存在ÎF，使得， (3)則稱可以由線性表示，或是的一個(gè)線性組合；此時(shí)，又稱為其線性表示(線性組合)系數(shù)易見線性組合有如下性質(zhì)性質(zhì)1(當(dāng)然可線性表示) 設(shè)，那么1)的零向量可以由線性表示；2)可以由線性表示；3)可以由線性表示 性質(zhì)2(線性組合的延伸性) 設(shè).若是的一個(gè)線性組合，則也是的線性組合

4、性質(zhì)3(線性組合的傳遞性) 設(shè).若是的線性組合，且每個(gè)()都可以由線性表示，則也是的一個(gè)線性組合證 由性質(zhì)3的條件與定義1知道；,其中,()于是，取,則，且有 在(3)中，設(shè), , , , ， (4)則由定義1易見命題3.1.1 設(shè)如(4)所示，則可以由 線性表示的充分且必要條件是線性方程組 (5)相容(有解)，這里(5)的系數(shù)矩陣 在(5)中，若，則稱這樣的線性方程組為齊次線性方程組；否則，稱之為非齊次線性方程組命題3.1.1與性質(zhì)1之1)表明，任一個(gè)齊次線性方程組都是相容的(顯然有)例1 設(shè), , , , ，問是的線性組合嗎?若是，求其線性組合系數(shù)解 解線性方程組,對它的增廣矩陣進(jìn)行行的初

5、等變換：因此，可以由線性表示，且其線性表示系數(shù)為 , 將線性表示式(3)張開，我們來闡述1.2 的線性子空間定義2 設(shè)ÆW，如果滿足以下條件：1)，都有；2)，都有，那么稱W是的一個(gè)線性子空間，簡稱為子空間在定義2中，1)表明W對于向量加法是封閉的；2)表明W對于數(shù)量乘法也是封閉的此時(shí)，易見W滿足所具有的8個(gè)性質(zhì)：1)8)因此，它是F上的向量空間例2 W = 是的子空間，叫做的零子空間，也簡記作0也是的子空間這兩個(gè)子空間通常叫做的平凡子空間例3 設(shè)，則容易驗(yàn)證W是的子空間例4 設(shè)W是R中經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的平面，則W是R的一個(gè)子空間反之，若W是不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的平面，則它關(guān)于向量的加法還是數(shù)

6、量乘法皆不封閉，因而此W不是R的子空間我們來看一類重要的子空間：例5 設(shè)，記令, (6)則易見R(A)是的子空間，叫做A的列空間若用表示A的n個(gè)行向量，則 是的子空間，叫做A的行空間設(shè)若，則W是的子空間，叫做由張成(生成)的的子空間，記作用矩陣列空間的語言，命題3.1.1可述為命題3.1.2 如命題3.1.1所設(shè)，則線性方程組(5)有解的充分且必要條件是 例6 設(shè)，令若，則因此，故N(A)是的一個(gè)子空間，叫做A的零空間，這個(gè)空間就是齊次線性方程組AX=0的解空間，其結(jié)構(gòu)我們將在§4中闡述最后考慮張成同一個(gè)子空間情形向量組之間的關(guān)系，我們引入定義3 設(shè),若ÎL ，即中的每一個(gè)向量都可以由線性表示，簡稱向量組可經(jīng)向量組線性表示；又若向量組也可經(jīng)向量組線性表示，則稱向量組與等價(jià)注意到線性組合的傳遞性，易見命題3.1.3 設(shè),則與等價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)它們張成同一個(gè)子空間，即L =