軌跡方程的求法

1、難點(diǎn)22 軌跡方程的求法求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).難點(diǎn)磁場()已知A、B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù),求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線.案例探究例1如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程

2、.命題意圖：本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方程，屬級(jí)題目.知識(shí)依托：利用平面幾何的基本知識(shí)和兩點(diǎn)間的距離公式建立線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.錯(cuò)解分析：欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實(shí)質(zhì)，很難解決此題.技巧與方法：對某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程.解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR|.又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所

3、以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng).設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程.例2設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線 y2=4px(p0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OAOB，OMAB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.(2000年北京、安徽春招)命題意圖：本題主要考查“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程，屬級(jí)題目.知識(shí)依托：直線與拋物線的位置關(guān)系.錯(cuò)解分析：當(dāng)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2

4、,y2)時(shí)，注意對“x1=x2”的討論.技巧與方法：將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y用其他相關(guān)的量表示出來，然后再消掉這些量，從而就建立了關(guān)于x、y的關(guān)系.解法一：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依題意，有得(y1y2)(y1+y2)=4p(x1x2)若x1x2,則有×,得y12·y22=16p2x1x2代入上式有y1y2=16p2代入，得代入，得所以即4pxy12=y(y1+y2)y12y1y2、代入上式，得x2+y24px=0(x0)當(dāng)x1=x2時(shí)，ABx軸，易得M(4p,0)仍滿足方程.故點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)它表示以(2p,0)為圓心，以2

5、p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).解法二：設(shè)M(x,y)，直線AB的方程為y=kx+b由OMAB，得k=由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb4p)x+b2=0所以x1x2=,消x,得ky24py+4pb=0所以y1y2=，由OAOB，得y1y2=x1x2所以=,b=4kp故y=kx+b=k(x4p),用k=代入，得x2+y24px=0(x0)故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).例3某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2 cm和一個(gè)直徑為1 cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測一個(gè)直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合

6、適的同號(hào)標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？命題意圖：本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程，及將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，屬級(jí)題目.知識(shí)依托：圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點(diǎn).錯(cuò)解分析：正確理解題意及正確地將此實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是順利解答此題的關(guān)鍵.技巧與方法：研究所給圓柱的截面，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，找到動(dòng)圓圓心的軌跡方程.解：設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與O相內(nèi)切，與A、B相外切.建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)P的半徑為r,則|PA|+|PO|=1+r+1.5r=2.5點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)，長軸長2.5的橢圓上，其方程為=1 同理P也在以O(shè)

7、、B為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓上，其方程為(x)2+y2=1 由、可解得，r=故所求圓柱的直徑為 cm.錦囊妙計(jì)求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法.(1)直接法 直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.(2)定義法 若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求.(3)相關(guān)點(diǎn)法 根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.(4)參數(shù)法 若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完

8、備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是( )A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線2.()設(shè)A1、A2是橢圓=1的長軸兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為( )A.B.C.D.二、填空題3.()ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B(,0),C(,0)，且滿足條件sinCsinB=sinA,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為_.4.()高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如

9、果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_.三、解答題5.()已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6，O切直線l于點(diǎn)A，又過B、C作O異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程.6.()雙曲線=1的實(shí)軸為A1A2，點(diǎn)P是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q與A2Q的交點(diǎn)為Q，求Q點(diǎn)的軌跡方程.7.()已知雙曲線=1(m0,n0)的頂點(diǎn)為A1、A2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)P、Q.(1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)M的軌跡方程；(2)當(dāng)mn時(shí)，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率

10、.8.()已知橢圓=1(ab0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，F(xiàn)1PF2的外角平分線為l，點(diǎn)F2關(guān)于l的對稱點(diǎn)為Q，F(xiàn)2Q交l于點(diǎn)R.(1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取得最大值時(shí)，求k的值.參考答案難點(diǎn)磁場解：建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a,則A(a,0）,B(a,0).設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點(diǎn).則由題設(shè)，得=,坐標(biāo)代入，得=,化簡得(12)x2+(12)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0(1)當(dāng)=1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x=0，點(diǎn)M的

11、軌跡是直線(y軸).(2)當(dāng)1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0.點(diǎn)M的軌跡是以(，0）為圓心，為半徑的圓.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F1的距離等于定長2a,故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓.答案：A2.解析：設(shè)交點(diǎn)P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共線，A2、P2、P共線，解得x0=答案：C二、3.解析：由sinCsinB=sinA,得cb=a,應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長為,故方程為.答案：4.解析：

12、設(shè)P(x,y），依題意有,化簡得P點(diǎn)軌跡方程為4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4y285x+100=0三、5.解：設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切O于D、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為=1(y0)6.解：設(shè)P(x0,y0）(x±

13、;a),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).由條件而點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線上，b2x02a2y02=a2b2.即b2(x2)a2()2=a2b2化簡得Q點(diǎn)的軌跡方程為：a2x2b2y2=a4(x±a).7.解：(1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),又有A1(m,0),A2(m,0),則A1P的方程為：y=A2Q的方程為：y=×得：y2=又因點(diǎn)P在雙曲線上，故代入并整理得=1.此即為M的軌跡方程.(2)當(dāng)mn時(shí)，M的軌跡方程是橢圓.()當(dāng)mn時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0)，準(zhǔn)線方程為x=±,離心率e=；()當(dāng)mn時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±),準(zhǔn)線方程為y=±,離心率e=.8.解：(1)點(diǎn)F2關(guān)于l的對稱點(diǎn)為Q，連接PQ，F(xiàn)2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因?yàn)閘為F1PF2外角的平分線，故點(diǎn)F1、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=