定積分的概念

1、新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)預(yù)習(xí)回答 什么叫連續(xù)函數(shù)？ 什么叫曲邊梯形？ 如何求曲邊梯形的面積？新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積矩形面積和與和與曲邊梯形面積曲邊梯形面積的關(guān)系的關(guān)系新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積矩形面積和與和與曲邊梯形面積曲邊梯形面積的關(guān)系的關(guān)系新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積矩形面積和與和與曲邊梯

2、形面積曲邊梯形面積的關(guān)系的關(guān)系新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積矩形面積和與和與曲邊梯形面積曲邊梯形面積的關(guān)系的關(guān)系新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積矩形面積和與和與曲邊梯形面積曲邊梯形面積的關(guān)系的關(guān)系新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積矩形面積和與和與曲邊梯形面積曲邊梯形面積的關(guān)系的關(guān)系新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀

3、察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積矩形面積和與和與曲邊梯形面積曲邊梯形面積的關(guān)系的關(guān)系新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積矩形面積和與和與曲邊梯形面積曲邊梯形面積的關(guān)系的關(guān)系新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積矩形面積和與和與曲邊梯形面積曲邊梯形面積的關(guān)系的關(guān)系新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積矩形面積和與和與曲邊梯形面積曲邊梯形面積的關(guān)系的關(guān)系新寧一中

4、高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積矩形面積和與和與曲邊梯形面積曲邊梯形面積的關(guān)系的關(guān)系新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積矩形面積和與和與曲邊梯形面積曲邊梯形面積的關(guān)系的關(guān)系新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積矩形面積和與和與曲邊梯形面積曲邊梯形面積的關(guān)系的關(guān)系新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形

5、面積矩形面積和與和與曲邊梯形面積曲邊梯形面積的關(guān)系的關(guān)系新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)求曲線求曲線y y=f f( (x x) )對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的方法對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的方法 (2)(2)取近似求和取近似求和: :任取任取 i i xxi-1i-1, , x xi i ，第，第i i個(gè)小曲邊梯形的面積個(gè)小曲邊梯形的面積用高為用高為f( f( i i) )而寬為而寬為x x的小矩的小矩形面積形面積 f( f( i i) ) x x近似之近似之. .xiy=f(x)x yObaxi+1ix (1)分割分割: : 在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b 上等間隔地插入上等間隔地插入n-1n-1個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn), ,

6、將它等分成將它等分成n n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間: : 每個(gè)小區(qū)間寬度每個(gè)小區(qū)間寬度x x 11211,iina xx xxxxb.nab 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) (3)(3)取極限取極限: :，所求曲邊所求曲邊梯形的面積梯形的面積S S為為 取取n n個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯形面積個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯形面積S S的近似值：的近似值：求曲線求曲線y y=f f( (x x) )對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的方法對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的方法 xiy=f(x)x yObaxi+1ix niixfS1.)( niinxfS1.)(lim新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)一、定積分的定義一、定積分的定義

7、從求曲邊梯形面積從求曲邊梯形面積S S的過(guò)程中可以看出的過(guò)程中可以看出, , 通通過(guò)過(guò)“四步曲四步曲”: : 分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取極限取極限新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)badxxf,)().( fnablimdx)x( fin1iban 即即如果當(dāng)如果當(dāng)n n時(shí)，時(shí)，S S 的無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，的無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)， 這個(gè)常數(shù)為函數(shù)這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, ba, b上的定積分，上的定積分，記作記作新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)定積分的定義定積分的定義： 定積分的相關(guān)名稱：定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號(hào)，叫做積分號(hào)， f(x) f(x) 叫做被積函

8、數(shù)，叫做被積函數(shù)， f(x)dxf(x)dx 叫做被積表達(dá)式，叫做被積表達(dá)式， x x 叫做積分變量，叫做積分變量， a a 叫做積分下限，叫做積分下限， b b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b a, b 叫做積分區(qū)間。叫做積分區(qū)間。Oabxy)(xfy ).( fnablimdx)x( fin1iban 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分下限積分下限積分上限積分上限).( fnablimdx)x( fin1iban 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 按定積分的定義，有按定積分的定義，有 (1) (1) 由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線y=f(

9、x) (f(x)y=f(x) (f(x) 0) 0) ，直線，直線x=ax=a、x=bx=b及及x x軸所圍成的曲邊梯形的面積為軸所圍成的曲邊梯形的面積為 (2) (2) 設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度v=v(t)v=v(t)，則此物體在時(shí)，則此物體在時(shí)間區(qū)間間區(qū)間a, ba, b內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s s為為定積分的定義定積分的定義： badxxfS.)( badttvs.)().( fnablimdx)x( fin1iban 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)1x yOf(x)=x213S 根據(jù)定積分的定義，右邊根據(jù)定積分的定義，右邊圖形的面積為圖形的面積為.31)(10210 dxx

10、dxxfS新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) (1) (1) 定積分是一個(gè)數(shù)值定積分是一個(gè)數(shù)值, , 它只與被積函數(shù)及積它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān)，即分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān)，即說(shuō)明：說(shuō)明： bababaduufdttfdxxf.)()()(2) (2) 定義中區(qū)間的分法和定義中區(qū)間的分法和 i i的取法是任意的的取法是任意的. . baabdxxfdxxf.)()()3( badxxfba. 0)(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)特別地，特別地，新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué).,1103的值的值計(jì)算計(jì)算利用定積分的定義利用定積分的定義例例dxx .3xxf 令令解解 .11)

11、, 2 , 1(,11 , 0,11 , 0)1(nninixninininn 每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間等等分分成成把把區(qū)區(qū)間間分分點(diǎn)點(diǎn)上上等等間間隔隔地地插插入入在在區(qū)區(qū)間間分分割割新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) xnifSdxxfnininini 110, 2 , 1)2(則則取取近似代替、作和近似代替、作和 nnini131 .,1103的值的值計(jì)算計(jì)算利用定積分的定義利用定積分的定義例例dxx niin1341 2241411 nnn.11412 n.411141limlim)3(2103 nSdxxnnn取極限取極限新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)二、定

12、積分的幾何意義：二、定積分的幾何意義：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 .)()(0)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積軸所圍成的軸所圍成的與與、示由示由在幾何上表在幾何上表時(shí)，積分時(shí)，積分當(dāng)當(dāng)xbxaxxfydxxfxfba 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 當(dāng)當(dāng)f(x)f(x) 0 0時(shí)，由時(shí)，由y y f (x)f (x)、x x a a、x x b b 與與 x x 軸軸所圍成的曲邊梯形位于所圍成的曲邊梯形位于 x x 軸的下方，軸的下方，x yOdxxfSba)( ab yf (x) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)

13、dxf (x)dx。 Sdxxfba)( .)(Sdxxfba 在在幾幾何何上上積積分分dxxfba)( .的的負(fù)負(fù)值值表表示示上上述述曲曲邊邊梯梯形形面面積積新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)ab yf (x)Ox y( )yg x 根據(jù)定積分的幾何意義根據(jù)定積分的幾何意義, ,如何用定積分表如何用定積分表示圖中陰影部分的面積示圖中陰影部分的面積? ?ab yf (x)Ox y1()baSfx dx( )yg x2( )baSg x dx探究探究: :.)()(21dxxgdxxfSSSbaba 新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)三三. . 定積分的基本性質(zhì)定積分

14、的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 1. dxxgxfba )()( babadxxgdxxf)()(性質(zhì)性質(zhì)2. 2. badxxkf)( badxxfk)(新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性可加性 bccabadxxfdxxfdxxf)()()( 性質(zhì)性質(zhì)3. 3. 2121)()()()( ccbccabadxxfdxxfdxxfdxxfOx yab yf (x)新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) 性質(zhì)性質(zhì) 3 3 不論不論a a，b b，c c的相對(duì)位置如何都有的相對(duì)位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。

15、f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxbcf (x)dx。 cOx y bccabadxxfdxxfdxxf)()()(新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)小小 結(jié)結(jié)1、求曲邊梯形面積、求曲邊梯形面積分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取極限取極限2、定積分定義、定積分定義3、定積分幾何意義、定積分幾何意義4、定積分計(jì)算性質(zhì)、定積分計(jì)算性質(zhì)新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué)作業(yè)., 1102的值計(jì)算利用定積分的定義dxx新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué).dt)5t(,2202 計(jì)算計(jì)算利用定積分的定義利用定積分的定義例例. 5t) t ( f2 令令解解 .n2n)1i (2ni 2x),n, 2 , 1i (ni 2,n)1i (2n2 , 0,1n2 , 0)1( 每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間等等分分成成把把區(qū)區(qū)間間分分點(diǎn)點(diǎn)上上等等間間隔隔地地插插入入在在區(qū)區(qū)間間分分割割新寧一中高二數(shù)學(xué)新寧一中高二數(shù)學(xué) xni 2fSdt) t ( f,n, 2 , 1ini 2)2(n1in20i 則則取取近似代替、作和近似代替、作和n25)ni 2(2n1i n1i23in810)1n2)(1n(n61n8103 .dt)5t(,2202 計(jì)算計(jì)算利用定積分的定義利用定積分的定義例例)n12)(n11(3410 新寧一