古典概型及幾何概型

1、.概率(古典概型與幾何概型)【教學(xué)目標】1.了解隨機事件的含義，了解頻率與概率的區(qū)別2.理解古典概型，掌握其概率計算公式，會求一些隨機事件發(fā)生的概率3.了解幾何概型的意義及其概率的計算方法，會計算簡單幾何概型的概率【教學(xué)重點】對概率含義的正確理解及其在實際中的應(yīng)用；古典概型與幾何概型【教學(xué)難點】無限過渡到有限，實際背景轉(zhuǎn)化為長度、面積、體積等的問題【知識點梳理】1.隨機事件1必然事件：在一定條件下，必然會發(fā)生的事件叫做必然事件。2不可能事件：在一定條件下，肯定不會發(fā)生的事件叫做不可能事件3隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機事件。2.頻率與概率的關(guān)系概率是頻率的穩(wěn)定值，頻

2、率是概率的近似值.3.概率的根本性質(zhì)1隨機事件A的概率：.2必然事件的概率為1.3不可能事件的概率為0.4如果事件A與事件B互斥，那么.5如果事件A與事件B互為對立事件，那么，即.4.古典概型1特點：有限性，等可能性.2概率公式：.5.幾何概型1特點：無限性，等可能性.2概率公式：.古典概型題型一 隨機事件及概率例1某市地鐵全線共有四個車站，甲、乙兩個同時在地鐵第1號車站(首車站)乘車。假設(shè)每人自第2號車站開場，在每個車站下車是等可能的。約定用有序數(shù)對表示“甲在x號車站下車，乙在y號車站下車。1用有序數(shù)對把甲、乙兩人下車的所有可能的結(jié)果列舉出來；2求甲、乙兩人同在第3號車站下車的概率；3求甲、

3、乙兩人同在第4號車站下車的概率變式1 同時擲兩顆骰子一次1“點數(shù)之和是13是什么事件.其概率是多少.2“點數(shù)之和在213X圍之內(nèi)是什么事件.其概率是多少.3“點數(shù)之和是7是什么事件.其概率是多少.題型二 互斥事件與對立事件例題1：每一萬X有獎明信片中，有一等獎5X，二等獎10X，三等獎100X。某人買了1X，設(shè)事件A“這X明信片獲一等獎，事件B“這X明信片獲二等獎，事件C“這X明信片獲三等獎，事件D“這X明信片未獲獎，事件E“這X明信片獲獎，那么在這些事件中1 與事件D互斥的有哪些事件.2 與事件D對立的有哪些事件.3 與事件A+B對立的有哪些事件.4 與事件互斥的有哪些事件.例題2：某商場有

4、獎銷售中，購滿100元商品得一X獎券，多購多得，每1000X獎券為一個開獎單位。設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個。設(shè)1X獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C，求：1X獎券的中獎概率；1X獎券不中特等獎或一等獎的概率。變式2：對立事件求概率某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數(shù)及其概率如下：醫(yī)生人數(shù)012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04求：派出醫(yī)生至多是2人的概率；派出醫(yī)生至少是2人的概率變式：2021XX，理投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上為事件A，“骰子向上的點數(shù)是3為事件B，那么事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是 A.

5、 B. C. D.題型三 簡單事件的古典概型例題3：無放回抽取、擲骰子、有放回抽取、排隊問題的古典概型袋中裝有6個形狀完全一樣的小球，其中4個白球，2個紅球，從袋中任意取出兩球，求以下事件的概率A：取出的兩球都是白球；B：取出的兩球一個是白球，另一個是紅球變式3 同時拋擲兩枚骰子(1)求“點數(shù)之和為6的概率；(2)求“至少有一個5點或6點的概率題型四 與統(tǒng)計相結(jié)合的古典概型例題4 (2021·XX卷)設(shè)平面向量，其中1請列出有序數(shù)組的所有可能結(jié)果；2記“使得成立的為事件A，求事件A發(fā)生的概率2(此題總分值12分)(08·XX文)某初級中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級男、女生人

6、數(shù)如下表：初一年級初二年級初三年級女生373xy男生377370z在全校學(xué)生中隨機抽取1名，抽到初二年級女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在初三年級抽取多少名.(3)y245，z245，求初三年級中女生比男生多的概率3(此題總分值12分)某中學(xué)團委組織了“弘揚奧運精神，愛我中華的知識競賽，從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(均為整數(shù))分成六段40,50)，50,60)，90,100后畫出如下局部頻率分布直方圖觀察圖形給出的信息，答復(fù)以下問題：(1)求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；(2)估計這次考試的及格率(60分及以上為

7、及格)和平均分；(3)從成績是40,50)和90,100的學(xué)生中選兩人，求他們在同一分數(shù)段的概率幾何概型題型一 與長度有關(guān)的幾何概型概率問題例題1：在區(qū)間1,3上任取一數(shù)，那么這個數(shù)大于等于1.5的概率 A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75變式1：2021XX卷理在區(qū)間-1,2上隨機取一個數(shù)，那么的概率為 .題型二 與面積有關(guān)的幾何概型概率問題例題2：如果所示，在一個邊長為的矩形內(nèi)畫一個梯形，梯形上、下底分別為與，高為。向該矩形內(nèi)隨機投一點，那么所投的點落在梯形內(nèi)部的概率為變式2：(2021·XX卷)如圖11，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點假設(shè)在矩形ABCD內(nèi)部隨機

8、取一個點Q，那么點Q取自ABE內(nèi)部的概率等于()圖11A.B.C. D.題型三 會面問題中的概率例3：兩人約定在20:00到21:00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去.如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在20:00至21:00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內(nèi)相見的概率.分析：兩人不管誰先到都要等40分鐘，即2/3小時,設(shè)兩人到的時間分別為x、y,那么當且僅當|x-y|2/3時，兩人才能見面，因而此問題轉(zhuǎn)化為面積性幾何概型，變式3：在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù)，那么這兩個實數(shù)之和小于的概率是題型四 與體積有關(guān)的幾何概型概率問題例題4：在400毫升自來水中有一個大腸桿菌,今從中隨機取

9、出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察,求發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率。變式4：2021XXXX一中期末正三棱錐的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點P，使得的概率是 A. B. C. D.【方法與技巧總結(jié)】1. 互斥事件與對立事件的關(guān)系：1對立一定互斥，互斥未必對立；2可將所求事件化為互斥事件A、B的和，再利用公式P(A+B)=P(A)+P(B)來求，也可通過對立事件公式來求P(A).2.古典概型與幾何概型古典概型1特點：有限性，等可能性.2概率公式：.幾何概型1特點：無限性，等可能性.2概率公式：課堂練習(xí)一、選擇題1從12個同類產(chǎn)品中(其中有10個正品，2個次品)，任意抽取3個，以下事件是必然事件的是(

10、)A3個都是正品B至少有一個是次品C3個都是次品D至少有一個是正品2給出關(guān)于滿足AB的非空集合A、B的四個命題：假設(shè)任取xA，那么xB是必然事件；假設(shè)任取xA，那么xB是不可能事件；假設(shè)任取xB，那么xA是隨機事件；假設(shè)任取xB，那么xA是必然事件其中正確的選項是命題有()A1個 B2個C3個 D4個34X卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，從這4X卡片中隨機抽取2X，那么取出的2X卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為()A.B.C. D.4(2021·威海模擬)一個袋子里裝有編號為1,2，12的12個一樣大小的小球，其中1到6號球是紅色球，其余為黑色球假設(shè)從中任意摸出一個球，記錄它的顏色和

11、后再放回袋子里，然后再摸出一個球，記錄它的顏色和，那么兩次摸出的球都是紅球，且至少有一個球的是偶數(shù)的概率是()A. B.C. D.5(2021·XX卷，理)盒子里共有大小一樣的3只白球，1只黑球假設(shè)從中隨機摸出兩只球，那么它們顏色不同的概率是_6.同時擲兩枚骰子,所得點數(shù)之和為5的概率為；點數(shù)之和大于9的概率為。7. 口袋里裝有兩個白球和兩個黑球，這四個球除顏色外完全一樣，四個人按順序依次從中摸出一球，試求“第二個人摸到白球的概率。92021XX文數(shù)在區(qū)間-1,2上隨即取一個數(shù)x，那么x0,1的概率為 。10取一根長度為4 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1 m

12、的概率是()A. B.C. D.112021XX卷文ABCD為長方形，AB2，BC1，O為AB的中點，在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為A B C D122021·榮成模擬設(shè)-11,-11,求關(guān)于的方程有實根的概率.【課后作業(yè)】1、在一個袋子中裝有分別標注數(shù)字1,2,3,4,5，的五個小球，這些小球除標注的數(shù)字外完全一樣現(xiàn)從中隨機取出2個小球，那么取出的小球標注的數(shù)字之和為3或6的概率是()A. B.C. D.2、將一枚骰子拋擲兩次，假設(shè)先后出現(xiàn)的點數(shù)分別為b，c，那么方程x2bxc0有實根的概率為()A.B.C.D.3、把一顆骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)

13、，并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b，向量m(a，b)，n(1,2)，那么向量m與向量n不共線的概率是()A.B.C. D.4、有兩個質(zhì)地均勻、大小一樣的正四面體玩具，每個玩具的各面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4.把兩個玩具各拋擲一次，斜向上的面所有數(shù)字之和能被5整除的概率為()A.B.C. D.5、假設(shè)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，那么出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為4的概率是_6、(09·)現(xiàn)有5根竹稈，它們的長度(單位：m)分別為2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，假設(shè)從中一次隨機抽取2根竹竿，那么它們的長度恰好

14、相差0.3 m的概率為_7、我國已經(jīng)正式參加WTO，包括汽車在內(nèi)的進口商品將最多五年內(nèi)把關(guān)稅全部降低到世貿(mào)組織所要求的水平，其中有21%的進口商品恰好5年關(guān)稅到達要求，18%的進口商品恰好4年到達要求，其余的進口商品將在3年或3年內(nèi)到達要求，求進口汽車在不超過4年的時間內(nèi)關(guān)稅到達要求的概率82021XX卷文點A為周長等于3的圓周上的一個定點，假設(shè)在該圓周上隨機取一點B，那么劣弧AB的長度小于1的概率為。9在長為10cm的線段AB上取一點G，并以AG為半徑作一個圓，求圓的面積介于36cm2 到64cm2 的概率10(2021·XX模擬)如下圖，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)

15、域，在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，那么陰影區(qū)域的面積為()A. B. C. D無法計算11送報人每天早上6：30至7：30之間把X師傅訂的報紙送到X師傅家，假設(shè)X師傅離開家去上班的時間在7：00至8：00之間，問：X師傅在離家前收到報紙的概率是多少.【參考答案】1、穩(wěn)固練習(xí)答案1.答案D解析在根本領(lǐng)件空間中，每一個事件中正品的個數(shù)可能是1,2,3，而不可能沒有2.答案C3.答案C解析從4X卡片中抽取2X的方法有6種，和為奇數(shù)的情況有4種，P.4、答案B解析據(jù)題意由于是有放回地抽取，故共有12×12144種取法，其中兩次取到紅球且至少有一次是偶數(shù)的情況共有6

16、15;63×327種可能，故其概率為.5.答案解析設(shè)3只白球為A，B，C,1只黑球為d，那么從中隨機摸出兩只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6種，其中兩只球顏色不同的有3種，故所求概率為.6答案：；7答案：把四人依次編號為甲、乙、丙、丁，把兩白球編上序號1、2，把兩黑球也編上序號1、2，于是四個人按順序依次從袋內(nèi)摸出一個球的所有可能結(jié)果，可用樹形圖直觀地表示出來如下：白2白1黑1黑2黑1黑2黑2黑2黑1黑1白1白1白1白1黑1黑2甲乙丙丁白1白2黑1黑2黑1黑2黑2黑2黑1黑1白2白2白2白2黑1黑2甲乙丙丁黑1白1白2黑2白2黑2黑2黑2白2白1白1白2白2白1白1

17、黑2甲乙丙丁黑2白1白2白2黑1黑1黑1白2黑1白1白1白2白2白1白1黑1甲乙丙丁從上面的樹形圖可以看出，試驗的所有可能結(jié)果數(shù)為24，第二人摸到白球的結(jié)果有12種，記“第二個人摸到白球為事件A，那么。8【答案】 9【解析】把繩子4等分，當剪斷點位于中間兩局部時，兩段繩子都不少于1 m，故所求概率為P.【答案】C10【解析】長方形面積為2,以O(shè)為圓心,1為半徑作圓,在矩形內(nèi)部的局部(半圓)面積為因此取到的點到O的距離小于1的概率為÷2，取到的點到O的距離大于1的概率為【答案】B11【解析】由題意知方程有實根滿足條件：-11，-11， 0，作平面區(qū)域如圖.由圖知陰影面積為1，總的事件對

18、應(yīng)面積為正方形的面積4，故概率為 .2、課后作業(yè)答案1、答案A解析從分別標注數(shù)字1,2,3,4,5的五個小球中隨機取出2個小球的根本領(lǐng)件數(shù)分別為：123,134,145,156,235,246,257,347,358,459共10種不同情形；而其和為3或6的共3種情形，故取出的小球標注的數(shù)字之和為3或6的概率是.2、答案A解析假設(shè)方程有實根，那么b24c0，當有序?qū)崝?shù)對(b，c)的取值為(6,6)，(6,5)，(6,1)，(5,6)，(5,5)，(5,1)，(4,4)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)時方程有實根，共19種情況，而(b，c)等可能的取值共有36種情況，所以，方程有實根的概率為P.3、答案B解析假設(shè)m與n共線，那么2ab0，而(a，b)的可能性情況為6×636個符合2ab的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三個故共線的概率是，從而不共線的概率是1.4、答案B解析“斜向上的所有數(shù)字之和能被5整除，等價于：兩個底面數(shù)字之和能被5整除，而兩底