高中數(shù)學(xué)概念總結(jié)(學(xué)業(yè)水平考試)(共18頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學(xué)概念總結(jié)（范圍：學(xué)業(yè)水平考試（前15部分）+ 期末考試（第16部分）第一部分 集合1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號(hào)的使用.2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法（數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖）.集合的性質(zhì)：任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為；空集是任何集合的子集，記為；空集是任何非空集合的真子集；n個(gè)元素的子集有2n個(gè)；真子集有2n-1個(gè)；非空真子集有2n2個(gè).3. 集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).第二部分 函數(shù)1. 函數(shù)三要素：定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域；（分段函數(shù)的值域（最值）、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論）2. 函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性

2、的定義：在區(qū)間上是增（減）函數(shù)當(dāng)時(shí)；單調(diào)性的判定：定義法：注意：一般要將式子化為幾個(gè)因式作積或作商的形式，以利于判斷符號(hào)；導(dǎo)數(shù)法（見導(dǎo)數(shù)部分）；復(fù)合函數(shù)法“同增異減”；圖像法。（注：證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。）3. 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；是奇函數(shù)；是偶函數(shù) ；奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，則；在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；4. 函數(shù)的周期性周期性的定義：對(duì)定義域內(nèi)的任意，若有 （其中為非零常數(shù)），則稱函數(shù)為周期函數(shù)，為它的一個(gè)周期。所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。5

3、. 指數(shù)式、對(duì)數(shù)式（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪: 若設(shè)a>0, （2）指對(duì)恒等式： b, 則有 （對(duì)數(shù)恒等式）（3）指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式及其推論 ( a > 0 , a ¹ 1 ) 換底公式： 推論：1° 2° 6基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)冪函數(shù)： （ ；指數(shù)函數(shù)：；對(duì)數(shù)函數(shù):；(4)常用函數(shù)：正比例函數(shù)：；反比例函數(shù)：；對(duì)勾函數(shù)；7二次函數(shù)：解析式：一般式：；頂點(diǎn)式：，為頂點(diǎn)；零點(diǎn)式： 。二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：開口方向；對(duì)稱軸；頂點(diǎn)坐標(biāo)是端點(diǎn)值；與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；判別式；兩根符號(hào)。二次函數(shù)問題解決方法：數(shù)形結(jié)合；分類討論。8函數(shù)圖象圖象作法

4、：描點(diǎn)法（注意三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖）圖象變換法導(dǎo)數(shù)法圖象變換： 平移變換：，左“+”右“-”； 上“+”下“-”； 伸縮變換：， （縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍；， （橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的倍； 對(duì)稱變換：； ； 翻轉(zhuǎn)變換：右不動(dòng)，右向左翻（在左側(cè)圖象去掉）；上不動(dòng)，下向上翻（|在下面無圖象）；9.（1）零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)0.那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn).（2）函數(shù)零點(diǎn)的求法：直接法（求的根）；圖象法；二分法. 第三部分 三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形1角度制與弧度制的互化：弧度，

5、弧度（2）弧長公式：（是圓心角的弧度數(shù)，>0）；扇形面積公式：；2.任意角的三角函數(shù)定義：角中邊上任意一點(diǎn)為，設(shè)則：三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦；3.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；4.誘導(dǎo)公式概括為：奇變偶不變，符號(hào)看象限。如：，=5兩角和與差的正弦、余弦、正切公式： 。6二倍角公式：；。7正、余弦定理正弦定理（是外接圓直徑）注：；。余弦定理：等三個(gè)；注：等三個(gè)。8。幾個(gè)公式:三角形面積公式：；內(nèi)切圓半徑r=；外接圓直徑2R=9. 三角函數(shù)； ； （2）三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是（3）三角函數(shù)的周期：函數(shù)y=Asi

6、n(x+)和y=Acos(x+)的最小正周期為；y=Atan(x+)最小正周期為。（沒有特別要求或說明，三角函數(shù)的周期即指其最小正周期。）（4）三角函數(shù)的對(duì)稱性： y=sinx的圖象關(guān)于直線x=k+(kZ)成軸對(duì)稱圖形，關(guān)于點(diǎn)(k,0) (kZ)中心對(duì)稱。y=cosx圖象關(guān)于直線x=k (kZ)成軸對(duì)稱圖形，關(guān)于點(diǎn)(k+,0) (kZ)中心對(duì)稱。y=tanx圖象關(guān)于點(diǎn)x=k+(kZ)中心對(duì)稱。（5）函數(shù)的最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對(duì)稱軸是直線。第四部分 立體幾何1三視圖與直觀圖：畫三視圖要求：主視圖與俯視圖長對(duì)正；主視圖與左視圖高平齊；左視圖與俯視圖寬相等。

7、斜二測畫法畫水平放置幾何體的直觀圖的要領(lǐng)。2表（側(cè)）面積與體積公式：柱體：，錐體：，球體：。球的表面積：。3位置關(guān)系的證明（主要方法）：向量法。直線與直線平行：公理4；線面平行的性質(zhì)定理；面面平行的性質(zhì)定理。直線與平面平行：線面平行的判定定理；面面平行線面平行。平面與平面平行：面面平行的判定定理及推論；垂直于同一直線的兩平面平行。直線與平面垂直：直線與平面垂直的判定定理；面面垂直的性質(zhì)定理。平面與平面垂直：定義-兩平面所成二面角為直角；面面垂直的判定定理。4.求角： 異面直線所成角的求法：平移法：平移直線，構(gòu)造三角形；補(bǔ)形法：補(bǔ)成正方體、平行六面體、長方體等，發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系。注：還可

8、用向量法，轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量的夾角。直線與平面所成的角：直接法（利用線面角定義）；先求斜線上的點(diǎn)到平面距離h，與斜線段長度作比，得sin。注：還可用向量法，轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。二面角的求法：定義法：在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），作出平面角，再求解；三垂線法：由一個(gè)半面內(nèi)一點(diǎn)作（或找）到另一個(gè)半平面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；射影法：利用面積射影公式：,其中為平面角的大小；注：還可用向量法，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)班平面法向量的夾角。5. 有關(guān)距離的計(jì)算: 七個(gè)距離：包括點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到面的距離(重點(diǎn))、兩條平行直線的距離、異面直線的距離、直線與平行平面

9、的距離、兩個(gè)平行平面之間的距離。點(diǎn)到面的距離:直接法等體積法向量法：。6結(jié)論： 長方體從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為a，b，c，則體對(duì)角線長為，全面積為2ab+2bc+2ca，體積V=abc。（2）球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長.（3）正四面體的性質(zhì)：設(shè)棱長為，則正四面體的： 高：；對(duì)棱間距離：；相鄰兩面所成角余弦值：；內(nèi)切球半徑：；外接球半徑：；第五部分 直線與圓1直線方程點(diǎn)斜式： ；斜截式： ；截距式： ；兩點(diǎn)式： ；一般式：，（A，B不全為0）。2求解線性規(guī)劃問題的步驟是：（1

10、）列約束條件；（2）作可行域，寫目標(biāo)函數(shù)；（3）確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。3兩條直線的位置關(guān)系：直線方程 平行的充要條件 垂直的充要條件 備注 有斜率 且 不可寫成 （驗(yàn)證） 分式4直線系直線方程 平行直線系 垂直直線系 相交直線系 5幾個(gè)公式設(shè)A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），ABC的重心G：（）；點(diǎn)P（x0,y0）到直線Ax+By+C=0的距離：；兩條平行線Ax+By+C1=0與 Ax+By+C2=0的距離是；6圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程： ； 。一般方程： （注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓A=C0且B=0且D2+E24AF>0；7點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

11、：（主要掌握幾何法）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：（表示點(diǎn)到圓心的距離）點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)在圓外。直線與圓的位置關(guān)系：（表示圓心到直線的距離）相切；相交；相離。圓與圓的位置關(guān)系：（表示圓心距，表示兩圓半徑，且）相離；外切；相交；內(nèi)切；內(nèi)含。8與圓有關(guān)的結(jié)論：過圓x2+y2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2；過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；以A(x1，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程：(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0。第六部分 圓錐曲線1定義：橢圓：；雙曲線：；

12、拋物線：略2結(jié)論 通徑（最短弦）：橢圓、雙曲線：；拋物線：2p。過兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為： （同時(shí)大于0時(shí)表示橢圓，時(shí)表示雙曲線）；3直線與圓錐曲線問題解法：直接法（通法）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解。注意以下問題：聯(lián)立的關(guān)于“”還是關(guān)于“”的一元二次方程？直線斜率不存在時(shí)考慮了嗎？判別式驗(yàn)證了嗎？設(shè)而不求（點(diǎn)差法）：-處理弦中點(diǎn)問題步驟：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得；解決問題。（3）弦長公式：；注：焦點(diǎn)弦長：拋物線：x1+x2+p=；4求軌跡的常用方法：（1）定義法：利用圓錐曲線的定義； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法）；

13、待定系數(shù)法；（5）參數(shù)法；（6）交軌法。第七部分 平面向量設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則： ab(b0)a=b （x1y2x2y1=0； ab(a、b0)a·b=0x1x2+y1y2=0 .a·b=|a|b|cos<a,b>=x2+y1y2； |a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影；a·b的幾何意義：a·b等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘積。cos<a,b>=三點(diǎn)共線的充要條件P，A，B三點(diǎn)共線； 第八

14、部分 數(shù)列1定義：等差數(shù)列 ；等比數(shù)列 ；2等差、等比數(shù)列性質(zhì) 等差數(shù)列 等比數(shù)列通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和 性質(zhì) an=am+ (nm)d, an=amqn-m; m+n=p+q時(shí)am+an=ap+aq m+n=p+q時(shí)aman=apaq 成AP 成GP 成AP, 成GP,S1 (n=1)SnSn-1 (n2)3數(shù)列通項(xiàng)的求法：an=分析法；定義法（利用AP,GP的定義）；公式法：累加法（；疊乘法（型）；構(gòu)造法（型）；（6）數(shù)學(xué)歸納法。注：當(dāng)遇到時(shí)，要分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果是分段形式。4前項(xiàng)和的求法：拆、并、裂項(xiàng)法；倒序相加法；錯(cuò)位相減法。5等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法： ；利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

15、。 第九部分 不等式1均值不等式：注意：一正二定三相等；變形：。2極值定理：已知都是正數(shù)，則有：(1)如果積是定值，那么當(dāng)時(shí)和有最小值；(2)如果和是定值，那么當(dāng)時(shí)積有最大值.2解一元二次不等式: :若,則對(duì)于解集不是全集或空集時(shí),對(duì)應(yīng)的解集為“大兩邊，小中間”.如:當(dāng),；.3.含有絕對(duì)值的不等式：當(dāng)時(shí)，有：； 或.4.分式不等式：（1）； （2）；（3） ； （4）.5.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式 (1)當(dāng)時(shí),；.(2)當(dāng)時(shí),；6不等式的性質(zhì)：；; ；（6）。7不等式等證明（主要）方法：比較法：作差或作比；綜合法；分析法。 第十部分 復(fù)數(shù)1概念：z=a+biRb=0 (a,bR)z= z20；z

16、=a+bi是虛數(shù)b0(a,bR)；z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b0(a,bR)z0（z0）z2<0；a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,dR)；2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算：設(shè)z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,dR)，則：（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i； z1.z2 = (a+bi)·(c+di)（ac-bd）+ (ad+bc)i；z1÷z2 = (z20) ;3幾個(gè)重要的結(jié)論：；性質(zhì)：T=4；（6） 以3為周期，且；=0；（7）。第十一部分 概率1事件的關(guān)系：事件B包含事件A：

17、事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，記作；事件A與事件B相等：若，則事件A與B相等，記作A=B；并（和）事件：某事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或B發(fā)生，記作（或）；并（積）事件：某事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且B發(fā)生，記作（或） ；事件A與事件B互斥：若為不可能事件（），則事件A與互斥；（6）對(duì)立事件：為不可能事件，為必然事件，則A與B互為對(duì)立事件。2概率公式：互斥事件（有一個(gè)發(fā)生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；古典概型：；幾何概型： ；第十二部分 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例1抽樣方法簡單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N，通過逐個(gè)不放回的方法從中抽取一個(gè)容量為n的樣本，且每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等

18、，就稱這種抽樣為簡單隨機(jī)抽樣。注：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為；常用的簡單隨機(jī)抽樣方法有：抽簽法；隨機(jī)數(shù)法。系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，可將總體均衡的分成幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一個(gè)部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統(tǒng)抽樣。注：步驟：編號(hào)；分段；在第一段采用簡單隨機(jī)抽樣方法確定其時(shí)個(gè)體編號(hào)；按預(yù)先制定的規(guī)則抽取樣本。分層抽樣：當(dāng)已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時(shí)，為使樣本更充分的反映總體的情況，將總體分成幾部分，然后按照各部分占總體的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。注：每個(gè)部分所抽取的樣本個(gè)體數(shù)=該部分個(gè)體數(shù)2頻率分布直方圖：用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱為

19、頻率分布直方圖。直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率除以組距的商， (而不是頻率)，橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小，小矩形的面積表示頻率。3. 莖葉圖.當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù)，即第二個(gè)有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊像植物莖上長出來的葉子，這種表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖。4.總體特征數(shù)的估計(jì)：樣本平均數(shù)；樣本方差 ；樣本標(biāo)準(zhǔn)差= ； 第十三部分 算法初步1程序框圖：又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來表示算法的圖形2. 框圖的常用符號(hào)3.算法的基本邏輯結(jié)構(gòu) 順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。注：循環(huán)結(jié)構(gòu)分為：當(dāng)型（while型）

20、先判斷條件，再執(zhí)行循環(huán)體；直到型（until型）先執(zhí)行一次循環(huán)體，再判斷條件。2基本算法語句：輸入語句： INPUT “提示內(nèi)容”；變量 ；輸出語句：PRINT “提示內(nèi)容”；表達(dá)式 賦值語句： 變量=表達(dá)式條件語句： IF 條件 THEN IF 條件 THEN 語句體 語句體1 END IF ELSE 語句體2 END IF循環(huán)語句：當(dāng)型： 直到型: WHILE 條件 DO 循環(huán)體 循環(huán)體 WEND LOOP UNTIL 條件3算法案例：輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損法-求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)；秦九韶算法-求多項(xiàng)式的值；進(jìn)位制-各進(jìn)制數(shù)之間的互化。 第十四部分 常用邏輯用語與推理證明1 四種命題：原

21、命題：若p則q； 逆命題：若q則p；否命題：若p則q；逆否命題：若q則p注：原命題與逆否命題等價(jià)；逆命題與否命題等價(jià)。2充要條件的判斷：（1）定義法-正、反方向推理；（2）利用集合間的包含關(guān)系：例如：若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；3邏輯連接詞：且(and) ：命題形式 pq； p q pq pq p或（or）：命題形式 pq； 真 真 真 真 假非（not）：命題形式p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真4全稱量詞與存在量詞全稱量詞-“所有的”、“任意一個(gè)”等，用表示； 全稱命題p：； 全稱命題p的否定p：。存在量詞-“存在

22、一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等，用表示； 特稱命題p：； 特稱命題p的否定p：；第十五部分 推理與證明1推理：合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，在進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們稱為合情推理。歸納推理：由某類食物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者有個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。注：歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理。類比推理：由兩類對(duì)象具有類似和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，稱為類比推理，簡稱類比。注：類比推理是特殊到特殊的推理。演繹推理：從一

23、般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理叫演繹推理。注：演繹推理是由一般到特殊的推理。“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般結(jié)論；小前提-所研究的特殊情況；結(jié) 論-根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況得出的判斷。二證明直接證明綜合法一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因?qū)Чā７治龇ㄒ话愕?，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等），這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。2間接證明-反證法一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫