線性規(guī)劃應(yīng)用題.

1、線性規(guī)劃應(yīng)用題1某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A 原料 3噸、B 原料 2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料 1噸、B原料 3噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5 萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3 萬(wàn)元， 該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A 原料不超過(guò) 13 噸，B 原料不超過(guò) 18噸，求該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)。解析：設(shè)甲、乙種兩種產(chǎn)品各需生產(chǎn)x 、 y 噸，可使利潤(rùn) z 最大，故本題即3 xy13已知約束條件2 x3 y18z5 x3 y 的最大x0，求目標(biāo)函數(shù)y0x3151227 。值，可求出最優(yōu)解為y，故 zmax42. 某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B 兩類產(chǎn)品 ,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)

2、品5件和 B類產(chǎn)品 10 件 ,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A 類產(chǎn)品 6 件和 B 類產(chǎn)品 20 件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為 200 元 ,設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300 元 ,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn) A 類產(chǎn)品 50件,B 類產(chǎn)品 140件,求所需租賃費(fèi)的最少值 .【解析】 :設(shè)甲種設(shè)備需要生產(chǎn)x 天 , 乙種設(shè)備需要生產(chǎn) y 天 , 該公司所需租賃費(fèi)為z 元 ,則z 200x300y ，甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B 兩類產(chǎn)品的情況為下表所示:產(chǎn)品A 類產(chǎn)品B 類產(chǎn)品租賃費(fèi)設(shè)備(件 )( 50)(件)( 140)(元 )甲設(shè)備510200乙設(shè)備6203005x6y50x610y則滿足的關(guān)系為 10x20 y1

3、40即:5, .2 yx0, y0x14x0, y0,當(dāng) z200x300 y 對(duì)應(yīng)的直線過(guò)兩直線x6 y10作出不等式表示的平面區(qū)域5的交點(diǎn)x2 y 14(4,5) 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z200x300 y 取得最低為2300 元 . .答案 :23003. 某人上午 7 時(shí)，乘摩托艇以勻速 v n mi le/h（ 4 v 20）從 A 港出發(fā)到距 50 n mi le 的 B港去，然后乘汽車以勻速w km/h （ 30w 100）自 B 港向距 300 km 的 C 市駛?cè)?應(yīng)該在同一天下午4 至 9 點(diǎn)到達(dá) C 市 設(shè)乘汽車、摩托艇去所需要的時(shí)間分別是x h、 y h（ 1）作圖表示滿足上述條

4、件的x、y 范圍；（ 2）如果已知所需的經(jīng)費(fèi) p=100+3×（ 5 x） +2×（ 8 y）（元），那么 v、w 分別是多少時(shí)走得最經(jīng)濟(jì) ?此時(shí)需花費(fèi)多少元 ?分析：由 p=100+3 ×（ 5x） +2 ×（ 8 y）可知影響花費(fèi)的是3x+2y 的取值范圍解：（ 1）依題意得 v= 50 ， w= 300 ， 4v 20， 30 w100yx 3 x 10， 5 y 25y2214由于乘汽車、摩托艇所需的時(shí)間和x+y 應(yīng)在9 至 14 個(gè)小時(shí)之間，9即 9x+y 142.5x，y）的存在范圍是圖因此，滿足的點(diǎn)（O39 10 14 x中陰影部分（包括邊

5、界）（ 2） p=100+3 ·（ 5 x）+2·（ 8y）， 3x+2y=131 p設(shè) 131 p=k，那么當(dāng) k 最大時(shí)， p 最小 在通過(guò)圖中的陰影部分區(qū)域（包括邊界）且斜率為 3 的直線 3x+2y=k 中，使 k 值最大的直線必通過(guò)點(diǎn)（ 10，4），即當(dāng) x=10，y=4 時(shí)， p 最小2此時(shí)， v=12 5， w=30 ， p 的最小值為93 元點(diǎn)評(píng)：線性規(guī)劃問(wèn)題首先要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出表達(dá)約束條件的不等式然后分析要求量的幾何意義4. 某公司計(jì)劃在今年內(nèi)同時(shí)出售變頻空調(diào)機(jī)和智能洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況（

6、如資金、勞動(dòng)力）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤(rùn)達(dá)到最大已知對(duì)這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動(dòng)力，通過(guò)調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：(表中單位 :百元 )單位產(chǎn)品所需資金資金空調(diào)機(jī)月資金供應(yīng)量洗衣機(jī)成本3020300勞動(dòng)力 : 工資510110單位利潤(rùn)68試問(wèn)：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)是多少?解：設(shè)空調(diào)機(jī)、洗衣機(jī)的月供應(yīng)量分別是x、 y 臺(tái)，總利潤(rùn)是 P，則 P=6x+8y，由題意有30x+20y 300， 5x+10y110，x 0， y0， x、 y 均為整數(shù)由圖知直線 y= 3x+1P 過(guò) M（ 4，9）時(shí)，縱截距最大 這48時(shí) P 也

7、取最大值 Pmax =6× 4+8× 9=96（百元）故當(dāng)月供應(yīng)量為空調(diào)機(jī)4 臺(tái)，洗衣機(jī)9 臺(tái)時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)9600 元5.某礦山車隊(duì)有4 輛載重量為10 t 的甲型卡車和7 輛載重量為6 t 的乙型卡車，有9 名駕駛員 此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360 t 礦石至冶煉廠已知甲型卡車每輛每天可往返6 次，乙型卡車每輛每天可往返8 次 甲型卡車每輛每天的成本費(fèi)為252 元，乙型卡車每輛每天的成本費(fèi)為160 元 問(wèn)每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊(duì)所花成本費(fèi)最低?分析：弄清題意，明確與運(yùn)輸成本有關(guān)的變量的各型車的輛數(shù)，找出它們的約束條件，列出目標(biāo)函數(shù)，用圖解法求其整數(shù)最優(yōu)解解：設(shè)

8、每天派出甲型車x 輛、乙型車y 輛，車隊(duì)所花成本費(fèi)為z 元，那么xy 9y106x6 8 y 360x4, xN7y7, yN5x+4y=30z=252x+160y，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖x+y =9作出直線 l 0： 252x+160y=0，把直線 l 向右上方平移，使其經(jīng)過(guò)可行域上的整點(diǎn)， 且使在 y 軸上的截距最小觀察圖形， 可見(jiàn)當(dāng)直線 252x+160y=to4x經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 2， 5）時(shí)，滿足上述要求此時(shí)， z=252 x+160 y 取得最小值，即x=2， y=5 時(shí)， zmin=252× 2+160 ×5=1304答：每天派出甲型車 2 輛，

9、乙型車5 輛，車隊(duì)所用成本費(fèi)最低解題回顧 : 用圖解法解線性規(guī)劃題時(shí)，求整數(shù)最優(yōu)解是個(gè)難點(diǎn)，對(duì)作圖精度要求較高，平行直線系 f（ x， y）=t 的斜率要畫(huà)準(zhǔn)，可行域內(nèi)的整點(diǎn)要找準(zhǔn)，最好使用“網(wǎng)點(diǎn)法”先作出可行域中的各整點(diǎn)6. 某?；锸抽L(zhǎng)期以面粉和大米為主食，面食每100 g 含蛋白質(zhì)6 個(gè)單位，含淀粉4 個(gè)單位，售價(jià) 0 5 元，米食每 100 g 含蛋白質(zhì)3 個(gè)單位， 含淀粉 7 個(gè)單位， 售價(jià) 0 4 元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒盒飯至少有8 個(gè)單位的蛋白質(zhì)和 10 個(gè)單位的淀粉，問(wèn)應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費(fèi)用最少?解：設(shè)每盒盒飯需要面食x（百克），米食 y（百克），所需費(fèi)用為 S

10、=05x+0 4y，且 x、 y 滿足6x+3y 8， 4x+7 y 10， x 0，y 0，由圖可知，直線y= 5x+5S過(guò) A（13， 14 ）時(shí)，縱截距5S 最小，即 S 最小4215152故每盒盒飯為面食13 百克，米食 14 百克時(shí)既科學(xué)又費(fèi)用最少15157. 配制 A、B 兩種藥劑， 需要甲、 乙兩種原料， 已知配一劑 A 種藥需甲料 3 mg，乙料 5 mg；配一劑 B 種藥需甲料 5 mg ，乙料 4 mg 今有甲料 20 mg ，乙料 25 mg ，若 A、B 兩種藥至少各配一劑，問(wèn)共有多少種配制方法 ?解：設(shè) A、 B 兩種藥分別配 x、y 劑（ x、 yN ），則x 1，

11、y 1， 3x+5 y 20， 5x+4y 25上述不等式組的解集是以直線 x=1 ，y=1， 3x+5y=20 及 5x+4y=25 為邊界所圍成的區(qū)域，這個(gè)區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)為（ 1，1）、（1，2）、（ 1，3）、（ 2，1）、（ 2，2）、（ 3，1）、（ 3，2）、（4， 1）所以，在至少各配一劑的情況下，共有8 種不同的配制方法8. 要將兩種大小不同的鋼板截成 A 、B、C 三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表：塊數(shù)規(guī)格ABC種類第一種鋼板121第二種鋼板113每張鋼板的面積為： 第一種 1m2，第二種 2 m2，今需要 A 、B、C 三種規(guī)格的成品各12、15、 27 塊，問(wèn)各截這兩種鋼板多少?gòu)?，可得所需的三種規(guī)格成品，且使所用鋼板面積最?。拷猓涸O(shè)需截第一種鋼板x 張，第二種鋼板y 張，所用鋼板面積為z m2，則有：xy122 xy15x 2y ，x3 y， z27x0,