2014年高考橢圓綜合題做題技巧與方法總結(jié)（精編版）

1、2014 年高考橢圓綜合題做題技巧和方法總結(jié)知識(shí)點(diǎn)梳理：1. 橢圓定義：（1） ）第一定義：平面內(nèi)和兩個(gè)定點(diǎn)F1、 F2 的距離之和為常數(shù)2a( 2a| F2 F2|) 的動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡叫橢圓 , 其中兩個(gè)定點(diǎn) F1、 F2 叫橢圓的焦點(diǎn) .當(dāng) PF 1PF 22aF 1F 2時(shí),P 的軌跡為橢圓 ;當(dāng) PF 1PF 22aF 1F 2時(shí),P 的軌跡不存在 ;當(dāng) PF 1PF 22aF 1F 2時(shí),P 的軌跡為以F1、 F2 為端點(diǎn)的線段（2） ）橢圓的第二定義 : 平面內(nèi)到定點(diǎn) F 和定直線 l ( 定點(diǎn) F 不在定直線 l 上) 的距離之比是常數(shù) e( 0e1 ) 的點(diǎn)的軌跡為橢圓（利用

2、第二定義 , 可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化） .2. 橢圓的方程和幾何性質(zhì) :標(biāo)準(zhǔn)方程x 2y 2a 2b21( ab0)y 2x 2a 2b 21( ab0)性參數(shù)關(guān)質(zhì)系焦點(diǎn)焦距(c,0), (c,0)a 2b 2c22c(0, c), (0, c)范圍| x |a,| y |b| y |a, | x |b頂點(diǎn)(a,0), (a,0), (0,b), (0, b)(0,a), (0, a), (b,0), (b,0)對(duì)稱性關(guān)于 x 軸、y 軸和原點(diǎn)對(duì)稱離心率準(zhǔn)線a 2xc考點(diǎn) 1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程題型 1: 橢圓定義的運(yùn)用例 1 ec(0,1)aa 2yc橢圓有

3、這樣的光學(xué)性質(zhì)： 從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線， 經(jīng)橢圓反射后， 反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn) A、B 是它的焦點(diǎn)，長軸長為 2a，焦距為 2c，靜放在點(diǎn) A 的小球（小球的半徑不計(jì)） ，從點(diǎn) A 沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn) A 時(shí)，小球經(jīng)過的路程是A 4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能yPCDOxAB分析按小球的運(yùn)行路徑分三種情況:(1) ACA,此時(shí)小球經(jīng)過的路程為2(ac);(2) ABDBA, 此時(shí)小球經(jīng)過的路程為2(a+c);(3) APBQA 此時(shí)小球經(jīng)過的路程為4a,故選 D總結(jié)：考慮小球的運(yùn)行路徑要全面練習(xí)1. 短軸長

4、為5 ，離心率2e的橢圓兩焦點(diǎn)為 F1，F(xiàn)2，過 F1 作直線交橢圓于A、B3兩點(diǎn)，則 ABF2 的周長為（）A.3B.6C.12D.24 分析C.長半軸 a=3， ABF2 的周長為 4a=12x22. 已知 P 為 橢圓y21 上的一 點(diǎn)，M , N 分 別為圓 ( x3)2y21 和圓( x3)22516y24 上的點(diǎn)，則PMPN 的最小值為（）A 5B 7C13D 15 分析B.兩圓心C、D 恰為橢圓的焦點(diǎn)，小值為 10-1-2=7題型 2 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程| PC | PD |10 ， PMPN 的最 例 2 設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)和短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且

5、此焦點(diǎn)和長軸上較近的端點(diǎn)距離為42 4，求此橢圓方程 .【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)a,b,c 的式子“描述”出來2 分析 設(shè)橢圓的方程為xa2y1 或 x22b2b 22y1(ab a 20) ，則 ac a2bc4(2b 2c21) ，x2y2x 2y 2解之得： a42 ， b=c4.則所求的橢圓的方程為1 或1.32161632總結(jié)：準(zhǔn)確把握?qǐng)D形特征，正確轉(zhuǎn)化出參數(shù)警示易漏焦點(diǎn)在y 軸上的情況 練習(xí)：a, b, c的數(shù)量關(guān)系3. 如果方程x2+ky2 =2 表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是 . 分析(0,1).橢圓方程化為xy 22+22k=1.焦點(diǎn)在 y 軸上，則

6、2 >2，即 k<1.k又 k>0， 0<k<1.4. 已知方程x2 cosy2 sin1,(0,) , 討論方程表示的曲線的形狀 分析 當(dāng)(0,) 時(shí)， sin4cos，方程表示焦點(diǎn)在y 軸上的橢圓，當(dāng)時(shí)，4sincos，方程表示圓心在原點(diǎn)的圓，當(dāng)(,) 42時(shí)， sincos，方程表示焦點(diǎn)在x 軸上的橢圓5. 橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是3 ，求這個(gè)橢圓方程 .ac3a23a2cc3 分析考點(diǎn) 2 橢圓的幾何性質(zhì)，b3 ，所求方程為x2y2+129x 2=1 或9y 2+=1.12題型 1: 求橢

7、圓的離心率（或范圍） 例 3 在 ABC中，A300 ,|AB |2, S ABC3 若以 A，B 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn) C ，則該橢圓的離心率e【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率 分析S ABC1 | AB|2| AC |sin A3 ，| AC |23 ，| BC | AB |2| AC |22 | AB | AC | cosA2e| AB |231| AC | BC |總結(jié)：2322（1） ）離心率是刻畫橢圓“圓扁”程度的量，決定了橢圓的形狀；反之，形狀確定，離心率也隨之確定（2） ）只要列出 a、b、c 的齊次關(guān)系式，就能求出離心率（或范圍）（3） ）“焦點(diǎn)三角形”

8、應(yīng)給予足夠關(guān)注練習(xí)6. 如果一個(gè)橢圓的長軸長是短軸長的兩倍, 那么這個(gè)橢圓的離心率為A . 分析 選B5B .43C .22D . 122x2y27. 已知 m,n,m+n 成等差數(shù)列， m， n， mn 成等比數(shù)列，則橢圓1 的離心mn率為2n2mnm2x2y22 分析 由 n2m2nmn0，橢圓1的離心率為n4mn2題型 2: 橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用（范圍、對(duì)稱性等） 例 4 已知實(shí)數(shù)2x, y 滿足 x2y1,求 x2y2x 的最大值和最小值42【解題思路】把 x2y2x 看作 x 的函數(shù)x2y2分析由1 得 y221 x2 ,21 x22x2y24202x2x1 x2x221 ( x

9、221)23 , x22,2當(dāng) x1時(shí), x2練習(xí)y 2x 取得最小值3 ,當(dāng) x22 時(shí), x2y2x 取得最大值 6x2y29. 已知點(diǎn)A, B 是橢圓221 （ mmn0 ， n0 ）上兩點(diǎn) , 且 AOBO , 則= 分析由 AOBO 知點(diǎn)A,O, B 共線, 因橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ,12210. 如圖， 把橢圓 xy1的長軸 AB 分成 8 等份，過每個(gè)分點(diǎn)作 x 軸的垂線交橢圓的上半部分于焦點(diǎn)則2516P1 , P2 , P3, P4 , P5 , P6 , P7七個(gè)點(diǎn)， F 是橢圓的一個(gè)P1FP2FP3 FP4FP5 FP6 FP7 F 分析由橢圓的對(duì)稱性知：P1 FP7 FP2

10、FP6 FP3 FP5 F2a35考點(diǎn) 3 橢圓的最值問題x2y2 例5 橢 圓1 上 的點(diǎn) 到 直線l: xy90的 距離 的 最小 值為169 【解題思路】把動(dòng)點(diǎn)到直線的距離表示為某個(gè)變量的函數(shù) 分析 在橢圓上任取一點(diǎn)P, 設(shè) P( 4 cos,3 sin).那么點(diǎn) P 到直線 l的距離為：| 4cos3sin12 |2 | 5sin()9 |22.總結(jié)：12122也可以直接設(shè)點(diǎn) P( x, y) ，用 x 表示 y 后，把動(dòng)點(diǎn)到直線的距離表示為x 的函數(shù)，關(guān)鍵是要具有“函數(shù)思想” 練習(xí)：x2y211. 橢圓1的內(nèi)接矩形的面積的最大值為169 分析 設(shè)內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為( 4 cos,3

11、sin) ，矩形的面積 S48sincos24sin 224212. P 是橢圓 xa 22y1 上一點(diǎn)， b 2F1 、F2 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求| PF1 | PF2 | 的最大值和最小值 分析| PF1 | PF2 | PF1| (2a| PF1 |)(| PF1 |a)2a2 ,| PF | ac, ac1當(dāng)| PF1 |a 時(shí)， | PF1 | PF2| 取得最大值a 2 ，當(dāng)| PF1 |ac 時(shí)， | PF1 | PF2| 取得最小值 b2213. 已知點(diǎn) P 是橢圓 x4y21 上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，又A(2,0) 、 B(0,1) ，O 是原點(diǎn)，則四邊形 OAPB 的面積的最

12、大值是 分析設(shè) P(2 cos,sin),(0,) ，則2SOAPBS OPAS OPB1OAsin21OB2 cos2sincos2考點(diǎn) 4 橢圓的綜合使用題型：橢圓和向量、解三角形的交匯問題 例 6 已知橢圓 C 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) O ,一個(gè)長軸端點(diǎn)為0 ,1,短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線l 和 y 軸交于點(diǎn) P（0，m），和橢圓 C 交于相異兩點(diǎn) A、B，且 AP3 PB （1） ）求橢圓方程；（2） ）求 m 的取值范圍【解題思路】通過AP3PB ，溝通 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再利用判別式和根和系數(shù)關(guān)系得到一個(gè)關(guān)于m 的不等式 分 析 （ 1 ） 由 題 意 可 知 橢

13、 圓 C為 焦 點(diǎn) 在 y 軸 上 的 橢 圓 ， 可 設(shè)y 2C : a 22x1 (ab0) b2由條件知 a1且bc ，又有 a 2b 2c2 ，解得a1 , bc22故橢圓 C 的離心率為 ec2 ，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：2y 2x1a212（ 2）設(shè) l 和橢圓 C 交點(diǎn)為 A（ x1，y1），B（x2，y2）ykx m 2x2y2 1得（ k2 2） x22kmx（ m21） 0（ 2km）24（k2 2）（m21） 4（k22m2 2） >0 （* ）2kmm2 1x1 x2 k2 2 ， x1 x2 k2 2x1 x2 2x2 AP 3 PB x13x2 2x1x2 3x22km

14、m21消去 x2，得 3（x1 x2）24x1x20， 3（ 2）2 4 20整理得 4k2m22m2 k22 0k 2k 21122m2m24時(shí)，上式不成立； m24時(shí)， k22，22m24m 111因 3 k0k22>0， 1<m<或<m<14m 122容易驗(yàn)證 k2>2m22 成立，所以（ * ）成立11即所求 m 的取值范圍為（ 1， 2）（ 2，1）總結(jié)：橢圓和向量、 解三角形的交匯問題是高考熱點(diǎn)之一，應(yīng)充分重視向量的功能x2y2例 7橢圓221(ab ab0) 上一點(diǎn) P 向 x 軸引垂線 , 垂足恰為橢圓的左焦點(diǎn)uuuvuuuvF1 , A 為

15、橢圓的右頂點(diǎn)， B 是橢圓的上頂點(diǎn) , 且 ABOP(0) .、求該橢圓的離心率 .、若該橢圓的準(zhǔn)線方程是xuuuvuuuv25 ，求橢圓方程 . 分析、QABOP ，AB OP ， PF1O BOA,PF1FO1cPF1bc ，BOOAaa又 P(而a 2c, y)b 2c2a 2c2a 2PF1b 212c2ePF12 .2b，bc ,2a 2a 22、Q x225 為準(zhǔn)線方程，25ac25c ,2a由 bc25c2a10x2所求橢圓方程為y1 a2b2c2練習(xí)b2510514. 設(shè)過點(diǎn) Px, y的直線分別和 x 軸的正半軸和 y 軸的正半軸交于A 、 B 兩點(diǎn)，點(diǎn)Q 和點(diǎn) P 關(guān)于 y

16、 軸對(duì)稱， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若BP2PA，且 OQAB1，則 P點(diǎn)的軌跡方程是（）A. 3 x 223 y 21 x0, y0B.3 x 223 y 21 x0, y0C. 3x 23 y 221 x0, y0D. 3x23 y 221 x0, y0 分析AB(3 x,3y),OQ 2(x, y)3 x223 y21 ，選 A.15. 如圖，在 RtABC 中， CAB=90°， AB=2 ， AC=2 。一曲線 E 過點(diǎn) C，2動(dòng)點(diǎn) P 在曲線 E 上運(yùn)動(dòng)，且保持 |PA|+|PB|的值不變，直線l 經(jīng)過 A 和曲線 E交于 M、N 兩點(diǎn)。（1） ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E 的方

17、程；（2） ）設(shè)直線 l 的斜率為 k，若 MBN 為鈍角，求 k 的取值范圍。解：（1）以 AB 所在直線為 x 軸，AB 的中點(diǎn) O 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系， 則 A（ 1，0）， B（ 1， 0）由題設(shè)可得| PA| PB | CA | CB |2 222(2 ) 2223222222動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程為 xa 22y1(a b 2b0) ，則a2, c1.ba2c 212曲線 E 方程為 x2y 21（2）直線 MN 的方程為 yk( x1), 設(shè)M ( x1 , y1 ), 設(shè)M (x1 , y1, ), N ( x2 , y2 )yk( x1)由x 22y 22得(1 02k 2

18、) x24k 2 x2(k 21)08k 280方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根2xx4k, xx22( k1)1222 k 21212k 2BM(x11, y1 ), BN(x21, y2 )BMBN( x11)( x21)y1 y2( x11)( x21)k2 (x1)( x11)112(1k 2 ) x x(k 21)( x1x2 )1k(1k 2 )2( k 21)( k 21)(4k 2)1k 27k 2112k 212k 212 k 2 MBN 是鈍角BMBN07k 21即2012 k解得：7k7772又 M、B、N 三點(diǎn)不共線k0綜上所述， k 的取值范圍是 (課后作業(yè)7,0)77(0,)

19、71. 如圖所示 ,橢圓中心在原點(diǎn) ,F 是左焦點(diǎn) ,直線則橢圓的離心率為 ()AB1 和 BF 交于 D,且BDB190 ,A 312B 51C251D322 分析 B .bb()1acx22a 2c2ace5122. 設(shè) F1、F2 為橢圓+y =1 的兩焦點(diǎn)， P 在橢圓上， 當(dāng)F1PF24面積為 1 時(shí)， PF1PF2 的值為A、0B、1C、2D、3 分析 A .S F1 PF23 | yP |1 ，P 的縱坐標(biāo)為3 ，從而 P 的坐標(biāo)為3(26 ,3x23) ， PF13y2PF20，3. 橢圓3691 的一條弦被A(4, 2) 平分, 那么這條弦所在的直線方程是A x2 y0B.

20、2 xy100C. 2 xy20D. x2 y802 分析 D.x12y211 , x22y121 ,兩式相減得： xx24( y1y1y2y2 )0 ，36xx8, y9369y1y21y4 ，x1x21212x1x224. 在 ABC 中，A90o ， tan B3若以 A，B 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C ，則該4橢圓的離心率 e 分析 AB4 k, AC3k, BC5k, eAB1ACBC25. 已知 F1 , F2 為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) ,P 為橢圓上一點(diǎn) ,若PF1 F2 :PF2 F1 :F1 PF21 : 2 : 3 , 則此橢圓的離心率為 . 分析31 三角形三邊的比是 1 :3 : 2

21、 x2y 26. 在平面直角坐標(biāo)系中， 橢圓2a 2b21(ab0)的焦距為 2，以 O 為圓心， a為半徑的圓，過點(diǎn)a ,0 c作圓的兩切線互相垂直，則離心率e=a 22 分析c2ae2x 2y 27、已知橢圓2a1 ( ab2b 0)和過點(diǎn) A(2，0)， B(0，1)的直線 l 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) T，且橢圓的離心率 e3求橢圓方程2 分析 直線 l 的方程為： y1 x1222由已知ab3a2a24b2x 2由a 2y 221b得：(b21 a 2) x 2a2 xa2a 2b 20y1 x2a41( 4b 2a2 )( a 24a 2b 2 )0 ，即 a 244b 2由得： a 2

22、2，b 212x 2y 2故橢圓 E 方程為1212228. 已知 A、B 分別是橢圓 xy1 的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P(1,2 ）a2b 22在橢圓上，線段PB 和 y 軸的交點(diǎn) M 為線段 PB 的中點(diǎn)。（1） ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） ）點(diǎn) C 是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于ABC，求sin Asin Bsin C的值。 分析 （ 1）點(diǎn) M 是線段 PB 的中點(diǎn) OM 是 PAB 的中位線又OMc1AB PAAB11221解得a 222, b21,c1a2ba2b 2c22橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y 2 =1（2）點(diǎn) C 在橢圓上， A、B 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)CABACBC 2