2019年高考數(shù)學(xué)(理)命題熱點(diǎn)全覆蓋專(zhuān)題08+含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題解題規(guī)律

1、專(zhuān)題08含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題解題規(guī)律知識(shí)點(diǎn) 根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(C)=(C為常數(shù))；(x)'=(x2)丄 (x)=(2)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(xn)=(sin x)=(cos x)'=(ax)=;/(ex)=(ln x)(log ax)5 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么 (1)f(x) ±(x)= (2)f(x) g(x)=6 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y = f(u)和u = g(x),如杲通過(guò)變量u, y可以表示成x的函數(shù)，那么稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)(函數(shù)y= f(u) 和u = g(x)的復(fù)合函數(shù)為y= f( g(x) 解法二由.一得丄2m x,、1 一 工一21n

2、xS國(guó)=，那么，由于11單調(diào)遞減且h1 0,所以0,1時(shí)g x單調(diào)遞增,1, 時(shí)g x單調(diào)遞減0, 上有且只有一個(gè)解等價(jià)于。故m點(diǎn)睛：對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其 中參數(shù)范圍從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱(chēng)性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖 象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等.二構(gòu)造函數(shù)例2.函數(shù) f+皿卜匚Jl.1討論3)的單調(diào)性;內(nèi)為增函數(shù)；宵門(mén)在區(qū)間2當(dāng)狀一葉應(yīng)為兩個(gè)不相等的正數(shù)，證明:【答案】1-時(shí)， 在區(qū)間| 內(nèi)為增函數(shù)；匕空時(shí)， 在區(qū)間(尋+円 內(nèi)為減函數(shù)；2見(jiàn)解析.【解析】求出廠(>),

3、分兩種種情況討論?的范圍，在定義域內(nèi)，分別令尸而三1)求得匚的范圍，可得函數(shù)巫)增區(qū)間，求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；2設(shè)，原不等式等價(jià)于1 xl xl>2牝巧+ 14，那么原不等式也等價(jià)于即仙亡專(zhuān)1) JiW = /nx + 1設(shè)4r+ 1，利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)， m W：，從而可得結(jié)論.【詳解】 函®好的定義域?yàn)?勿，尸 三+盤(pán)=浮假設(shè)応> o, r(X=> o,貝加在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);f 3 > o, HO在區(qū)間(0-寸內(nèi)為増函假設(shè)“5 令廣二號(hào)=o,得y = -；> o.jj冏"0-予時(shí),f () <在區(qū)間-亍+G內(nèi)為迪1

4、3散2當(dāng)"時(shí)，=不妨設(shè)卜1 A叼A q匡氫時(shí)，4加戈+ 2 >0+ 1那么原不等式也等價(jià)于即恒成立.F面證明當(dāng)令= i一=±>c，那么-故機(jī)工在區(qū)間d + s：內(nèi)為增函數(shù)，機(jī)*)aa仃上q,即所以不等式證明問(wèn)題是近年高考【點(diǎn)睛】此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的證明，屬于難題 命題的熱點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等主要方法有兩個(gè)，一是比擬簡(jiǎn)單的不等式證明，不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可；二是較為綜合的不等式證明，要觀察不等式特點(diǎn)，結(jié)合已解 答的問(wèn)題把要證的不等式變形，并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡(jiǎn)或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)

5、證明練習(xí)1函數(shù)f (' r j =工一 jinx1證明：fx有兩個(gè)零點(diǎn);21，假設(shè)XoR使得'，試比擬與2xo的大小.【答案】1見(jiàn)解析；2見(jiàn)解析.【解析】上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的最值情況確定零點(diǎn)個(gè)數(shù);由,(比#、31 2J(2-0a仕十0，令t1)函數(shù)hf fr) = : f (j)(1)在0,3上單調(diào)遞減，在3,ka-p<0A(r)>h(l) = 0碼)1,上單調(diào)遞增，又工在1, 上是增函數(shù)， x0廠，即2x01據(jù)題知-1，求導(dǎo)得：_x 0，有 x 3 ;令 f x0，得0 x 3，所以f x在0,3上單調(diào)遞減，在 3, 上單調(diào)遞增,.-I i，有 f 110 ;令

6、 x e2，有-'在1,3和3,e各有1個(gè)零點(diǎn) f x有兩個(gè)零點(diǎn).I 3(ln0_lii©28 +盯6Sin1 2 J+Q口-0aa-fl，而鳳“ =nr+"(t > 1)>0(1 + r)函數(shù)h t在1,上單調(diào)遞增，故'那么a a+fif 國(guó)=1-一又在1,上是增函數(shù)，Xo三極值點(diǎn)偏移<0，即 2xo2例3函數(shù)(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k R) (1)討論函數(shù)代©的單調(diào)性;當(dāng)函數(shù)乙蘭有兩個(gè)零點(diǎn)二上時(shí)，證明:jq + xt>-21求導(dǎo)數(shù)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)的單調(diào)性。2根據(jù)題意將證明 卜劭叫八二的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，即證

7、【答案】1見(jiàn)解析；2見(jiàn)解析."如宀2匕1)，構(gòu)造函數(shù)斡I)，利用函數(shù)仝的單調(diào)性證明即可。試題解析:1解:【解析】此題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題。當(dāng)fc>0時(shí)，令QX= O，解得X =- 1 +陽(yáng),當(dāng)時(shí)，F(xiàn) ，-'上單調(diào)遞減;當(dāng)U-十冷 + *：時(shí)，；I，一 1單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)， J恒成立,函數(shù)r °在R上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在 -納-1 + l戚上單調(diào)遞減，在-1 + 1眥43上單調(diào)遞增。2證明， 在R上單調(diào)遞增.:當(dāng)“二 時(shí)，由1知函數(shù)單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)。所以二-設(shè)函數(shù)丿*的兩個(gè)零點(diǎn)為一 ，e*41 =貝兩十蕊護(hù)41 = ft

8、珥十2:.兩+2 y瑪-+2 ? 0 j廚一環(huán)=In 土耳 那么Zi +2?解得?-rXj + .x7 + 4所以要證X?(i+l)hi只需證設(shè)?hnS “ lhf亠一?(+ 1)MC或0 = (£+l>i- 2(t-1)細(xì)= hf + -Ci-Fl)-2 = h +1,設(shè)'單調(diào)遞增,加ffl 二血！十-1滬° 二衛(wèi)® 設(shè)'''''所以所以門(mén)“在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以-,練習(xí)1函數(shù)1討論兇的單調(diào)性;f(jc) =- x + alnjc2存在兩個(gè)極值點(diǎn)求；的取值范圍-(a - l)x-x,假設(shè)加巧+ 9億"

9、;巧+ <:,【答案】1見(jiàn)解析;2【解析】1對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求得單調(diào)區(qū)間心+心:A-.；-斗書(shū)變形為工 1 + x22將，利用韋達(dá)將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)，求得最值,即可得到的取值范圍.【詳解】f (巧=-'14-Jfa " - O.Y + a一 p (耳 > »)fl - Ja1 -4g«+ daUUP a-a" - 4o > 0，即|c<0或心4時(shí)，令Hx = 0|,得r -cx -4上或ii當(dāng)«2-4c<0,即i乞口冬巾時(shí)，何冬0, f£在® + G上單調(diào)遞減;i當(dāng)上

10、，臣單調(diào)遞增；在當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),和上fX<°, H躬單調(diào)遞減;m 4-4ct/W加單調(diào)遞減.上f約o, f刃單調(diào)遞增.1 z9W =，那么目(jr j = julnx + jf* ajr2，且由1可知,右+ gr2=訶g +噸+妗冷卜色*對(duì)=a/n(r|X2) + b + x2)S - + =a!nci - -t2令/1(a)=-,-,貝 V'因?yàn)?，所以，所以 在I 上單調(diào)遞減，那么 逬“沁:哄刮，即列;打心川-乙.因?yàn)槌诫m如+ M對(duì)空4 +理)，即，所以，即；的取值范圍為-：心；和m【點(diǎn)睛】此題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值的關(guān)系，以及函數(shù)的能成立的問(wèn)題，培養(yǎng)

11、學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，運(yùn)算能力，屬于難題.四多變量問(wèn)題例4.函數(shù)乙宀0 x ，呦3)応+ 扔m R求f X的單調(diào)區(qū)間;求證：1是g X的唯一極小值點(diǎn);川假設(shè)存在a, b 0,，滿(mǎn)足“：，求m的取值范圍只需寫(xiě)出結(jié)論【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為0 , f x的單調(diào)遞減區(qū)間為，42見(jiàn)解析3【解析】 試題分析：I求出f' x , f ' x 0求得X的范圍，可得函數(shù) f X增區(qū)間,g'(x) = Lnx 2 +1，又可證得X的范圍，可得函數(shù) fx的減區(qū)間；n先求得咒 X 0，可得g' 1 + 1明無(wú)在定義域內(nèi)遞增，即可證明 1是g(x)的唯一極小值點(diǎn)；川令兩函數(shù)的值域有交集即

12、試題解析：I 因?yàn)?T3因?yàn)镺x ，所以x 34當(dāng)x變化時(shí)，f' X , f x的變化情況如下:x0,34343J4f ' x0f x/極大值故f x的單調(diào)遞增區(qū)間為0, , f x的單調(diào)遞減區(qū)間為 44l(IJ)證明：v = f.v-/. g'| x =ltix- + 1 (> 0X設(shè)舟(XJ = yQr) = lnx-丄十1,那么 ffg =丄十X >0XJ x X*故苕T H在® +巧是單調(diào)遞增函數(shù),7 V gl)二0,故方程叭工)二0只有唯一實(shí)根X二1當(dāng)x變化時(shí)，g' x ， g x的變化情況如下：x0,111,g' x0g

13、 x極小值/故g x在x 1時(shí)取得極小值g 1 m，即1是g x的唯一極小值點(diǎn)3川m e4五與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)問(wèn)題f(x = anx-xcQsx例5函數(shù)x 0假設(shè)a 1，求函數(shù)f x的極大值；(2)假設(shè)【答案】1 2k 1； 2 1,0,時(shí)，恒有f x 0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2【解析】1當(dāng)a 1時(shí)，“11 一猶吩，對(duì)其求導(dǎo)八刃二，判斷導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系，故而可得其極值;2對(duì)f x求導(dǎo)，八皆 W燈遲曲冰,當(dāng)a 1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，不等式成立;時(shí)，對(duì)其進(jìn)行二次求導(dǎo)，可得''x0恒成立，f ' x單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得f ' x有唯一零，即f x 0不恒成

14、立;點(diǎn)xo，進(jìn)而可得當(dāng)x0,xo時(shí)，f x單調(diào)遞減，且x單調(diào)試題解析：1a 1時(shí)， *-，當(dāng)_ -', kN 時(shí)，f x遞增,唄申+嘰(泊如，k n時(shí)，f'x 0 , fx單調(diào)遞減，所以，當(dāng)x=(2fr+l) tl時(shí),f x取得極大值 2k 1, k N .2/'(x) =cosx+xsinx = (a 1 -FxtanrJ cosx10,即a 1時(shí)，f' x 0,所以f x單調(diào)遞增，所以1 時(shí) /"*X)=-1)siiLV+sitLY-Fxtoir =(2 -a)吐nx+xc心贏 > 0所以f'x單調(diào)遞增,“)=+,"->

15、;0,所以f' x有唯一零點(diǎn)，記為x0，當(dāng)x 0,x0時(shí),f ' x 0, f x單調(diào)遞減，且，即f x 0不恒成立；綜上所述，a的取值范圍是1,練習(xí)/(工)-fir cos2x+ ft1函數(shù)的-圖象在點(diǎn)處的切線方程為y 5x 4(1)求a,b的值求函數(shù)f x在 ， 值域.4 2【答案】13,1 ; 2-【解析】1求得f x的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由切線的方程可得a,b的方程組，解方程即可得到所求；2求得f x的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)丁/jt =3jtcos2r+ 4的單調(diào)性，禾U用單調(diào)性即可得到函數(shù)f x在一，一值域.4 2V f fx)= ax-c<is2xb,

16、 /'I x)+ 2jm2x(o試題解析:14''為，又7T717TjT 7T 5/T jT?COS 1P 4244° ,解得 a 3,b1.構(gòu)造函數(shù)求參數(shù)六-函數(shù) f-上遞2例6.7C+ =47?T7T171一 一CQS 7T+ h 1244函數(shù)f X在設(shè)函數(shù)' - :-1當(dāng)a 1時(shí)，求函數(shù)g x的極值;2設(shè)1_ '，對(duì)任意-求實(shí)數(shù)b的取值范圍I答案】1：如亠沁無(wú)極大值；刃b旦2g i a I = x2lnx-l【解析】1當(dāng)a 1時(shí)，-，定義域?yàn)?0,，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得嘰“胡滬"，函數(shù)沒(méi)有極大值.尸術(shù)-戸七I < 0戸坷+

17、珂鞏七亠花<2由Gjt -Ftxl+x，構(gòu)造函數(shù)，那么G x在0,2上單調(diào)遞減，分類(lèi)討論可得:當(dāng)x1,2 時(shí)，b272當(dāng)x0,1 時(shí)，,b0，綜上，由得：b272x-211時(shí)，八川"，定義域?yàn)?,，0,2時(shí)，單調(diào)遞減,2,時(shí),"沁環(huán)單調(diào)遞增,x的遞減區(qū)間是 0,2，遞增區(qū)間是 2,-gx o =2 = 1-21112一 '2 一無(wú)極大值.<0F對(duì)-戸比門(mén)小鞏舛+珂-尸孔+巴2由 " 設(shè)_一一，那么G x在0,2上單調(diào)遞減,當(dāng)x 1,2時(shí)，廠，G(jc| =lnx-b十工C?(h) = x-hlx所以bN忙4 1+(x+l) =r+3+3 + -

18、整理：甘工二衛(wèi)工十3-丄>0，那么'在1,2上恒成立,h2=b> 所以h x在1,2上單調(diào)遞增，所以h x最大值是-當(dāng)0,1 時(shí)，一 "-，所以G (習(xí)=-lnx+十 dc= &(乂)二r +1 <0竟+1工+整理:住也1 + 工十1'“丄bm (jc)二T +jc設(shè)L-w1 x'l 2x+l -h-L >0，那么在0,1上恒成立,所以m x在0,1上單調(diào)遞增，所以 m x最大值是'一一,綜上，由得：b .2練習(xí)1函數(shù)山：護(hù)r臚詔在處的切線斜率為-a - 1.1假設(shè)函數(shù)f幻在R上單調(diào)，求實(shí)數(shù)b的最大值；2當(dāng)2時(shí)，假設(shè)存在

19、不等的片訃0.豐8使得IgTEHb-呵，求實(shí)數(shù)匡的取值范圍.【答案】11； 2位+_11【解析】1先根據(jù)切線的斜率求出°，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)，得到h 討工恒成立，求出b的最大值.2轉(zhuǎn)化 為存在不等的"宀叫+ 3,且冋 <乞使得fE - fg 丁坊-心初二叫肓心-瞰】，進(jìn)而得到k> 0.【詳解】1函數(shù)/W =ex-ar2 -bj在=1處的切線斜率為 2口-也三旦-鳥(niǎo)-1II因?yàn)楹瘮?shù) 在上單調(diào)故mwh寸或站"十心在用上恒成立.*11<苜顯然即；i "'在上不恒成立.可知在F ：；*；：上單減，I:#拓單增故.，所以實(shí)數(shù)的最大值為1.2當(dāng)

20、"- i時(shí)，由1知函數(shù)日在 '上單調(diào)遞增 不妨設(shè)吋込使得I伽躅別巧二可一 即為存在不等的 匸三，且使得區(qū)七)-乞 g -切 W%)二 % 疙 /V J 二 5其否認(rèn)為：任意勺，都有厲-也 血】二切即：函數(shù)由1知：.;二-即a(Z = fCx) - kx - ex - -jr2 -(Ar + 1U ,在QZ)上單調(diào)遞增所以假設(shè)存在不等的和G宀心、'：詡使得jLr S' jL®實(shí)數(shù)的取值范圍為I 【點(diǎn)睛】此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題和最值,考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的存在性問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力七討論參數(shù)求參數(shù)例7.

21、函數(shù)力=曲+-1十+1-應(yīng)1尤-1,貞對(duì)=1茴+/e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)當(dāng)a 1時(shí)，求函數(shù)f x在點(diǎn)0, f 0處的切線方程;假設(shè)函數(shù) g x有兩個(gè)零點(diǎn)，試求 a的取值范圍;川當(dāng)x 0時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1) y x 1 (2)0, 3a|-x,g-l【解析】 試題分析：1根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到f 01,根據(jù)這兩點(diǎn)可以寫(xiě)出切線方程。2對(duì)函數(shù)g x進(jìn)行單調(diào)性的研究，分a0,三種情況討論單調(diào)性，研究函數(shù)的圖像變換趨勢(shì)，得到參數(shù)方位。3原不等式等價(jià)于恒成立，對(duì)右側(cè)函數(shù)研究單調(diào)性得最值即可。解析:I當(dāng) a 1 時(shí)，- .f 0f 01.所以函數(shù)f x在點(diǎn)0, f 0處的切線方程為x 1

22、.1：酗S工的定義域h R ,由得工AI當(dāng)"0時(shí)囲數(shù)貞xHO-iK只有一個(gè)雰點(diǎn)$當(dāng)dr > 0 因?yàn)楹?quot;4 2d > 0 ,當(dāng)莖£ 込0呵，當(dāng)龍Ea+®時(shí)g'xQ.所以國(guó)數(shù)童在P®上單調(diào)逸減 在0衛(wèi)上單調(diào)通增 70U-l,百之因?yàn)閤 0，所以x 10, ex 1所以"，所以 "-"-l-Vl + 4a取，顯然x 0且g x00所以-幾肌曰：由零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)a 0時(shí)，由 一-，得x 0,或-：.1i)當(dāng)a，那么In 2a0當(dāng) x變化時(shí)，g x , g x變化情況如

23、下表:2注意到g01,所以函數(shù)g x至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意ii)當(dāng) a1，那么 ln 2a 0, g x 在 ,1，那么In 2a 0當(dāng)x變化時(shí)，g x2單調(diào)遞增，函數(shù) g x至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意,g x變化情況如下表:LiC-li)0C0.4O3) ,+0Qtr3r-1注意到當(dāng)假設(shè)a,g01所以函數(shù)g x至多有一個(gè)零點(diǎn)，不0gin卜初«0Jta4/-1x-V -1>0x-1+KO)低茸，那么0(忙)=«-2)，那么符合題意 綜上，a的取值范圍是 0,川當(dāng)1a< 一工一一+ 1=即令人 p(X)=er(X-l)-A：3+lX>0)當(dāng)x 0,1 n2時(shí)， x 0, x單調(diào)遞減;當(dāng).一缶二時(shí),x 0, x單調(diào)遞增00,10，所以，當(dāng)x 0,1時(shí),x 0,即卩 h x 0 ,所以所以h x單調(diào)遞增，所以以期工廣剖11"1，所以h x單調(diào)遞減；當(dāng)x 1,時(shí)，一 一 一 -,即h x 0,點(diǎn)睛：此題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查別離參數(shù)法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)1構(gòu)造差函數(shù)題