7.構(gòu)造和差積商函數(shù).巧解函數(shù)不等式題

1、高考數(shù)學(xué)1000個(gè)母題構(gòu)造和差積商函數(shù).巧解函數(shù)不等式題抽象函數(shù)不等式的一個(gè)母題 隨著微積分進(jìn)入高中數(shù)學(xué),在高考和競(jìng)賽中,流行著一類(lèi)試題:已知含有抽象函數(shù)f(x)和其導(dǎo)數(shù)(x)不等式,研究含有函數(shù)f(x)和(x)的不等式問(wèn)題:戓解不等式,戓判斷不等式恒成立;我們把此類(lèi)問(wèn)題抽象概括為如下母題:母題結(jié)構(gòu):己知函數(shù)f(x)滿足:G(f(x),(x)>0,研究不等式F(f(x),(x)>0(戓解不等式,戓不等式恒成立).解題程序:首先對(duì)不等式F(f(x),(x)>0進(jìn)行等價(jià)變形得g(x)>0,并逆向聯(lián)想求導(dǎo)法則,使得(x)=G(f(x),(x),由已知可得函數(shù)g(x)的單調(diào)性,

2、根據(jù)g(x)的單調(diào)性可迎刃解決不等式g(x)>0問(wèn)題. 1.構(gòu)造和差函數(shù) 子題類(lèi)型:(2011年遼寧高考試題)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(-1)=2,對(duì)任意xR,(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為 .分析:由f(x)>2x+4f(x)-(2x+4)>0,可構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-(2x+4),由已知可得函數(shù)F(x)的單調(diào)性,由此解決問(wèn)題.解析:F(x)=f(x)-(2x+4),則F(-1)=0,且(x)=(x)-2>0F(x)在R上單調(diào)遞增;所以,f(x)>2x+4F(x)>0F(x)>F(-1)x>-1.點(diǎn)評(píng):通過(guò)構(gòu)造和

3、差函數(shù)可得如下結(jié)論:若定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),g(x)滿足:f(a)=g(a),且(x)>(x),則不等式f(x)>g(x)的解集為x|x>a,不等式f(x)<g(x)的解集為x|x<a. 2.構(gòu)造積函數(shù) 子題類(lèi)型:(2009年天津高考試題)己知函數(shù)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為(x),且2f(x)+x(x)>x2.,下面的不等式在R上恒成立的是( )(A)f(x)>0 (B)f(x)<0 (C)f(x)>x (D)f(x)<x分析:由2f(x)+x(x)>x2(*);當(dāng)x>0時(shí),(*)2xf(x)+x2(x)-x3>0

4、;當(dāng)x<0時(shí),(*)2xf(x)+x2(x)-x3<0;注意到:(x2f(x)=2xf(x)+x2(x),故考慮構(gòu)造函數(shù)F(x)=x2f(x)-x4.解析:令F(x)=x2f(x)-x4,則F(0)=0,(x)=2xf(x)+x2(x)-x3;當(dāng)x>0時(shí),(x)>0F(x)在(0,+)內(nèi)遞增F(x)>F(0)x2f(x)-x4>0f(x)>x2>0當(dāng)x<0時(shí),(x)<0F(x)在(-,0)內(nèi)遞減F(x)>F(0)x2f(x)-x4>0f(x)>x2>0;當(dāng)x=0時(shí),由(*)f(0)>0.綜上,f(x)&g

5、t;0.故選(A).點(diǎn)評(píng):通過(guò)構(gòu)造積函數(shù)可得如下結(jié)論:若定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),g(x)滿足:f(a)=0或g(a)=0,且(x)g(x)+f(x)(x)>0,則不等式f(x)g(x)>0的解集為x|x>a,不等式f(x)g(x)<0的解集為x|x<a;進(jìn)一步可得:若定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),g(x),h(x)滿足:f(a)g(a)=h(a),且(x)g(x)+f(x)(x)>(x),則當(dāng)x>a時(shí),f(x)g(x)>h(x),當(dāng)x<a時(shí),f(x)g(x)<h(x). 3.構(gòu)造商函數(shù) 子題類(lèi)型:(原創(chuàng)題)己知f(x)是定義在R上的可導(dǎo)

6、奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),x(x)<f(x);若|b|f(|a|)>|a|f(|b|)(ab0),則( )(A)a>b (B)a<b (C)a2>b2 (D)a2<b2分析:由ab0,所以,|b|f(|a|)>|a|f(|b|),故考慮構(gòu)造函數(shù)F(x)=,并研究函數(shù)F(x)在(0,+)內(nèi)的單調(diào)性.解析:令F(x)=,則F(x)是偶函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),(x)=<0F(x)在(-,0)內(nèi)遞減F(x)在(0,+)內(nèi)遞增;所以,|b|f(|a|)>|a|f(|b|)F(|a|)>F(|b|)|a|>|b|a2>b2.故選(

7、C).點(diǎn)評(píng):通過(guò)構(gòu)造商函數(shù)可得如下結(jié)論:若定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),g(x)滿足:(x)g(x)-f(x)(x)>0,則F(x)=在(-,+)上單調(diào)遞增;進(jìn)一步可得:若f(a)=0,g(a)0,不等式f(x)g(x)>0的解集為x|x>a,不等式f(x)g(x)<0的解集為x|x<a. 4.子題系列:1.(2015年福建高考試題)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=-1,其導(dǎo)函數(shù)(x)滿足(x)>k>1,則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是( )(A)f()< (B)f()> (C)f()< (D)f()>2.(2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)

8、賽陜西預(yù)賽試題)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=1,且對(duì)任意的xR,都有(x)<.則不等式f(log2x)>的解集為 .3.(2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北預(yù)賽試題)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)=2,且對(duì)任意的xR,都有(x)<.則不等式f(log2x)>的解集為 .4.(2004年湖南高考試題)設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù).當(dāng)x<0時(shí),(x)g(x)+f(x)(x)>0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是( )(A)(-3,0)(3,+) (B)(-3,0)(0,3) (C)(-,-3)(3,

9、+) (D)(-,-3)(0,3)5.(原創(chuàng)題)設(shè)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),且滿足x(x)+3f(x)<0,則( )(A)對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,f(log4x)<8f(log2x) (B)存在正實(shí)數(shù)x,f(log4x)=8f(log2x)(C)對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,f(log4x)>8f(log2x) (D)以上三種情況均不正確6.(2007年陜西高考試題)f(x)是定義在(0,+)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足x(x)+f(x)0.對(duì)任意正數(shù)a、b,若a<b,則必有( )(A)af(b)bf(a) (B)bf(a)af(b) (C)af(a)f(b) (D)bf(b)f(a)7.

10、(2015年課標(biāo)高考試題)設(shè)函數(shù)(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí),x(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )(A)(-,-1)(0,1) (B)(-1,0)(1,+) (C)(-,-1)(-1,0) (D)(0,1)(1,+)8.(原創(chuàng)題)設(shè)f(x)是定義在(0,)(,)上的關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)的可導(dǎo)函數(shù),且對(duì)任意x(0,)(,),(x)tanx<f(x),則使得f(x)<2f()sinx成立的x的取值范圍是 . 4.子題詳解:1.解:令F(x)=f(x)-kx+1,則F(0)=f(0)+1=0,且(x)=(

11、x)-k>0F(x)在R上單調(diào)遞增;由k>1>0F()>F(0)f()-+1>0f()>-1f()>.故選(C).2.解:令F(x)=-f(x),則F(1)=0,且(x)=-(x)>0F(x)在R上單調(diào)遞增;所以,f(log2x)>F(log2x)<0F(log2x)<F(1)log2x<1x(0,2).3.解:令F(x)=(x+3)-f(x)F(1)=0,且(x)=-(x)>0;所以,f(log2x)>x(0,2).4.解:令F(x)=f(x)g(x),則F(x)是奇函數(shù),F(3)=0,且當(dāng)x<0時(shí),(

12、x)=(x)g(x)+f(x)(x)>0F(x)在(-,0)內(nèi)遞增F(x)在(0,+)內(nèi)遞增;當(dāng)x(-,0)時(shí),f(x)g(x)<0F(x)<F(-3)x<-3;當(dāng)x(0,+)時(shí),f(x)g(x)<0F(x)<F(3)0<x<3.故選(D).5.解:令F(x)=x3f(x),則(x)=x3(x)+3x2f(x)=x2x(x)+3f(x)0F(x)在R上遞減;由x(x)+3f(x)<0f(0)<0,所以,當(dāng)x=1時(shí),f(log4x)>8f(log2x)f(0)>8f(0)f(0)<成立;當(dāng)0<x<1時(shí),lo

13、g2x<0,所以,f(log4x)>8f(log2x)(log2x)3f(log4x)<(log2x)3f(log2x)F(log4x)<F(log2x)log4x>log2x0<x<1;當(dāng)x>1時(shí),log2x>0,所以,f(log4x)>8f(log2x)(log2x)3f(log4x)>(log2x)3f(log2x)F(log4x)>F(log2x)log4x<log2xx>1.故選(C).6.解:由x(x)+f(x)0x(x)-f(x);令F(x)=,則(x)=0F(x)在(0,+)上不增;又由a<bF(a)F(b)af(b)bf(a).故選(A).7.解:令g(x)=,則(x)=;因當(dāng)x>0時(shí),x(x)-f(x)<0當(dāng)x>0時(shí),(x)<0g(x)在(0,+)上遞減;又因f(x)是奇函數(shù)g(x)是偶函數(shù)g(x)在(-,0)上遞增,且g(-1)=g(1)=0;當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0g(x)>0x(0,1);當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0g(x)<0x(-,-1).故選(A).8.解:令F(x)=,則(