應(yīng)用建模1創(chuàng)新

1、應(yīng)用數(shù)學(xué)教師：姜全德電話677972辦公室：行政樓2309（數(shù)學(xué)教研室）你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型“航行問(wèn)題航行問(wèn)題”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小時(shí)答：船速每小時(shí)20千米千米/ /小時(shí)小時(shí). .甲乙兩地相距甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行枨?，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，小時(shí)，從乙到甲逆水航行需從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船的速度是多少小時(shí)，問(wèn)船的速度是多少?x =20y =5求解求解航行問(wèn)題航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出

2、簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號(hào)表示有關(guān)量（用符號(hào)表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以 時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；）； 回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20千米千米/小時(shí)）。小時(shí)）。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和和數(shù)學(xué)建模（數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)對(duì)于一個(gè)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象現(xiàn)實(shí)對(duì)象，

3、為了一個(gè)，為了一個(gè)特定目的特定目的，根據(jù)其根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律內(nèi)在規(guī)律，作出必要的，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模建模1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展； 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，越來(lái)越受到人

4、們的重視。越來(lái)越受到人們的重視。 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地； 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具； 數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)辟了許多處女地。數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)辟了許多處女地。數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計(jì)分析與設(shè)計(jì) 預(yù)報(bào)與決策預(yù)報(bào)與決策 控制與優(yōu)化控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼如虎添翼1.3 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析問(wèn)題分析模模

5、型型假假設(shè)設(shè)通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面曲面; 地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。只腳同時(shí)著地。模型構(gòu)成模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái) 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對(duì)稱性的對(duì)稱性xBADCOD C B A 用用 (對(duì)角線與對(duì)角線與x軸的夾

6、角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著地距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù)四個(gè)距離四個(gè)距離(四只腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( )兩個(gè)距離兩個(gè)距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形ABCD繞繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形正方形對(duì)稱性對(duì)稱性用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)對(duì)任意對(duì)任意 , f( ), g( )至少一個(gè)為至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連

7、續(xù)函數(shù) ; 對(duì)任意對(duì)任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型構(gòu)成模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地模型求解模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線，對(duì)角線AC和和BD互換?；Q。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 則則h(0)0和和h( /2) p2/n2 ，對(duì)，對(duì) 不公平不公平A p1/n1

8、 p2/n2=5公平分配方案應(yīng)公平分配方案應(yīng)使使 rA , rB 盡量小盡量小設(shè)設(shè)A, B已分別有已分別有n1, n2 席，若增加席，若增加1席，問(wèn)應(yīng)分給席，問(wèn)應(yīng)分給A, 還是還是B不妨設(shè)分配開(kāi)始時(shí)不妨設(shè)分配開(kāi)始時(shí) p1/n1 p2/n2 ，即對(duì)，即對(duì)A不公平不公平),(/21222211nnrnpnpnpA 對(duì)對(duì)A的相對(duì)不公平度的相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量類似地定義類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配, 即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2 ，定義，定義1）若）若 p

9、1/(n1+1) p2/n2 ， 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算應(yīng)計(jì)算rB(n1+1, n2)應(yīng)計(jì)算應(yīng)計(jì)算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 問(wèn)：?jiǎn)枺?p1/n1rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給則這席應(yīng)給 B當(dāng)當(dāng) rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 該席給該席給ArA, rB的定義的定義)1()1(11212222nnpnnp該席給該席給A否則否則, 該席給該席給B, 2 , 1,)1(2innpQiiii 定義定義該席給該席給Q值較大的一方值較大的一方推廣到推廣到m方方分配席位分配席位該

10、席給該席給Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法minnpQiiii,2 , 1,)1(2計(jì)算，三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21個(gè)席位個(gè)席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢席分配完畢甲系：甲系：p1=103, n1=10乙系：乙系：p2= 63, n2= 6丙系：丙系：p3= 34, n3= 3用用Q值方法分配值方法分配第第20席和第席和第21席席第第20席席3 .964334, 5 .947663, 4 .961110103232221QQQ第第21席席3221, 4 .801211103QQQ同上同上Q3最大，第最大，第21席給丙系席給丙系

11、甲系甲系1111席，乙系席，乙系6 6席，丙系席，丙系4 4席席Q值方法值方法分配結(jié)果分配結(jié)果公平嗎？公平嗎？Q1最大，第最大，第20席給甲系席給甲系進(jìn)一步的討論進(jìn)一步的討論Q值方法比值方法比“比例加慣例比例加慣例”方法更公平嗎？方法更公平嗎？席位分配的理想化準(zhǔn)則席位分配的理想化準(zhǔn)則已知已知: m方人數(shù)分別為方人數(shù)分別為 p1, p2, , pm, 記總?cè)藬?shù)為記總?cè)藬?shù)為 P= p1+p2+pm, 待分配的總席位為待分配的總席位為N。設(shè)理想情況下設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為方分配的席位分別為n1,n2, , nm (自然應(yīng)有自然應(yīng)有n1+n2+nm=N)，記記qi=Npi /P, i=1,2, , m, ni 應(yīng)是應(yīng)是 N和和 p1, , pm 的函數(shù)，即的函數(shù)，即ni = ni (N, p1, , pm )若若qi 均為整數(shù)，顯然應(yīng)均為整數(shù)，顯然應(yīng) ni=qi qi=Npi /P不全為整數(shù)時(shí)，不全為整數(shù)時(shí)，ni 應(yīng)滿足的準(zhǔn)則：應(yīng)滿足的準(zhǔn)則：記記 qi =floor(qi) 向向 qi方向取整；方向取整； qi+ =ceil(qi) 向向 qi方向取整方向取整.1) qi ni qi+