級(jí)數(shù)求和的方法及應(yīng)用

1、內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)學(xué)院本科畢業(yè)論文級(jí)數(shù)求和的方法及應(yīng)用作 者：張男系 別：統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級(jí)：2010級(jí)學(xué) 號(hào)：102091104指導(dǎo)教師：陳濟(jì)和內(nèi) 容 提 要級(jí)數(shù),重要的數(shù)學(xué)工具。級(jí)數(shù)不但對(duì)數(shù)學(xué)本身意義非凡，還在其他學(xué)科和其他技術(shù)的研究方面起著相當(dāng)重要的作用。它與我們的生活息息相關(guān)，需要我們?nèi)⑵湔莆詹⒗?，我們也?yīng)該去挖掘出它更為廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，為我們的研究和學(xué)習(xí)奠定良好基礎(chǔ)。級(jí)數(shù)的理論和應(yīng)用中很重要的一部分內(nèi)容就是級(jí)數(shù)求和，它不但方法極為繁多，而且技巧性特別強(qiáng)，并且它在我國(guó)國(guó)內(nèi)大多數(shù)數(shù)學(xué)教材或者其他相關(guān)此類書籍中并沒有專門的板塊，如果想要更為深入的去理解級(jí)數(shù)求和的方法和掌

2、握級(jí)數(shù)求和的技巧，我們就需要去尋找國(guó)內(nèi)外有關(guān)的書籍來進(jìn)行內(nèi)容的提煉和總結(jié).此文章把常用的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)放在典型的例題中進(jìn)行了分析，通過對(duì)這些問題的討論和解決，向讀者展示了級(jí)數(shù)求和的常用方法并傳達(dá)了其基本思想，逐步找出級(jí)數(shù)求和的規(guī)律.首先，我運(yùn)用常用都是收斂論融匯在們要考例題和慮它的收面對(duì)級(jí)數(shù)的將方法斂性，然后方更求此文中的級(jí)數(shù)的，把理一起能級(jí)數(shù)的和.展示出來，讓學(xué)習(xí)者輕選題中松為明確法刻現(xiàn)其并深中的掌巧，發(fā)的握解題技規(guī)律，從而達(dá)到對(duì)級(jí)數(shù)理論的理解與合理應(yīng)用.關(guān)鍵詞：級(jí)數(shù)求和 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和 方法及應(yīng)用 summarySeries is a very important to

3、ol for the mathematical . Not content only the for summarize and mathematics books itself related, but refining also for in abroad other research look disciplines need to , we and other skills summation technologies summation play mastering a and very understanding important approach in-depth to rol

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7、nience talk , text topics in the clearly series are convergence of the examples and theories to displayed, draw achieve a together the can more and allow learners to easily grasp discover the profound problem-solving skills, the law so as to theoretical reasonable progression and application .目 錄一、級(jí)

8、數(shù)的分類及定義1（一）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)11.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念12.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性1（二）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)11.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念12.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性2 （三）三個(gè)重要級(jí)數(shù)2二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的方法3（一）據(jù)定義用極限法求和3（二）數(shù)學(xué)運(yùn)算巧求和31.等差數(shù)列求和（首尾相加法）32.等比數(shù)列求和（錯(cuò)位相減法）4 3.方程式法54. 裂項(xiàng)相消法5 5.蘊(yùn)含型展項(xiàng)消去法 7（三）根據(jù)冪級(jí)數(shù)理論求和（亞伯爾方法）71.逐項(xiàng)微分求和72.逐項(xiàng)積分求和8（四）三角級(jí)數(shù)求和（歐拉.棣莫弗）9（五）原級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為子序列求和11（六）原級(jí)數(shù)分解為子序列求和11（七）兩端逼近法12三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和13（一）利用傅里葉級(jí)數(shù)理論求

9、和13（二）逐項(xiàng)微分求和15（三）逐項(xiàng)積分求和16（四）將原級(jí)數(shù)分解轉(zhuǎn)化為已知級(jí)數(shù)再求和16（五）微分方程式法（并加以證明）16四、級(jí)數(shù)的應(yīng)用18（一）冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用18 1函數(shù)值的近似計(jì)算19 2. 定積分的近似計(jì)算19（二）泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用20 1.函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)202.近似計(jì)算213.極限計(jì)算214.級(jí)數(shù)與廣義積分的斂散性22（三）傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用22 1.數(shù)字信號(hào)處理22 2.聲音信號(hào)處理22 3.交流電中顯示波形225、 參考文獻(xiàn)246、 致謝25級(jí)數(shù)求和的方法及應(yīng)用一、級(jí)數(shù)的分類及定義（一）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其部分和的概念定義 1 設(shè)一數(shù)列個(gè)每一項(xiàng)數(shù)列，把的依達(dá)式次這個(gè)用“+”號(hào)

10、連來，則接起表 （1）叫做項(xiàng)無常數(shù)簡(jiǎn)級(jí)數(shù)，窮級(jí)者數(shù)項(xiàng)數(shù)或級(jí)數(shù)，其中叫做稱其為級(jí)數(shù)（1）的通項(xiàng).數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）一般可以寫作或.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的前n項(xiàng)和可以記做=， （2）它是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的第n個(gè)部分和，或者簡(jiǎn)稱其為部分和，此部分和數(shù)列記做.2.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性定義 2 如果和數(shù)級(jí)數(shù)（1）列在（即 ）處收的部分?jǐn)?，說級(jí)就可以數(shù)（1）收則級(jí)數(shù)斂，（1）的和為，記作或數(shù)）發(fā)散項(xiàng)（1的前級(jí)數(shù)提散數(shù)是是發(fā)列.（二）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其部分和函數(shù)列的概念定義 3 設(shè)是定義在數(shù)集上的一個(gè)函數(shù)列，表達(dá)式 （3）叫做定義在上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，可以記做、.稱=， （4） 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（3）的部分和函數(shù)列.2.

11、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性定義 4 若，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) （5）發(fā)斂，則可散或者收以說（3）在級(jí)數(shù)點(diǎn)處收斂，如發(fā)散或果（3）在E級(jí)數(shù)的某個(gè)子集D都可斂，則每上收點(diǎn)以數(shù)（3）在D上說級(jí)收斂.（3） 三個(gè)重要級(jí)數(shù)1.幾何級(jí)數(shù) 幾何級(jí)數(shù)也可以叫做等比級(jí)數(shù)，它的格式為： 公比是，。2.調(diào)和級(jí)數(shù) 3.p-級(jí)數(shù) 二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的方法（一）據(jù)定義用極限法求和由無窮級(jí)數(shù)的定義可以看出，無窮級(jí)數(shù)的部分和就是收斂無窮級(jí)數(shù)的和，就是.由于則有無限多個(gè)項(xiàng)數(shù)，所以想要求出級(jí)數(shù)的和則需要求其極限，就是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.例 1設(shè)，求級(jí)數(shù)的和.分析 要示出想要將它求出的和，只已部需的用分和知數(shù)和列已數(shù)部分知級(jí)和表來.解 因，則，于是.故原級(jí)數(shù)

12、的和 （二）數(shù)學(xué)運(yùn)算法巧求和我四則數(shù)列運(yùn)們可程中以、在解題利數(shù)的和的用等差比數(shù)這些和列的常數(shù)求見的公式，同時(shí)算結(jié)合以達(dá)到列等求過出級(jí)等目的.1.等差數(shù)列求和（首尾相加法）等差比較級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)是簡(jiǎn)單類型，比各項(xiàng)來較其得到差，然它的公后求出級(jí)運(yùn)用公式數(shù)和.，其中為首項(xiàng)，為公差 證明：，+得：因?yàn)榈炔罴?jí)數(shù)所以可得出“首尾相加法”這一方法，這種首尾數(shù)一項(xiàng)都是把的每逆次序放由各置后與項(xiàng)四級(jí)數(shù)則的的原運(yùn)算得出級(jí)數(shù)相類型的的結(jié)果是級(jí)同，于是的可以作易級(jí)數(shù)為一項(xiàng)簡(jiǎn)求和.例 2 求.解：，兩式相加得：，即：.故原級(jí)數(shù)的和 2.等比數(shù)列求和（錯(cuò)位相減法）等比級(jí)數(shù)用公式便這種簡(jiǎn)數(shù)類型是單的級(jí)找到然后利可其公比以求和.

13、當(dāng)=1，；當(dāng)1，其中為首項(xiàng)，為公比.證明：當(dāng)=1，易得，當(dāng)1， ， ，-得.便是“錯(cuò)位相減”的方法，這種方法在等差和等比的混合型級(jí)數(shù)中經(jīng)常用到，先乘以公比然后與四則運(yùn)算后稱為等差或等比級(jí)數(shù)的原基數(shù)求和.例3 計(jì)算.解： ， ，-得： ，=3.故原級(jí)數(shù)的和 3.方程式法經(jīng)過各種運(yùn)算能得到可以求出級(jí)數(shù)和的方程式，然后解方程便可求得級(jí)數(shù)的和.最主要的問題是需要準(zhǔn)確的建立方程，根據(jù)具體情況建立類型不同的方程，并準(zhǔn)確的解出方程，然后求出準(zhǔn)確的級(jí)數(shù)和.例4 計(jì)算，其中.解：記= 兩邊同時(shí)乘以得即：解此方程得：.(當(dāng)時(shí)).故原級(jí)數(shù)的和 4. 裂項(xiàng)相消法對(duì)分?jǐn)?shù)形式的級(jí)數(shù)求和，有一種好用的方法，就是先把各項(xiàng)拆分

14、然后再把各項(xiàng)連鎖消去，這樣也滿足多項(xiàng)乘積分母的形式.裂項(xiàng)一般形式：，此處.例 5 計(jì)算.解 由于而所以故原級(jí)數(shù)的和 .說明 （1）先拆再組合，求如此類的級(jí)數(shù)之和. = （2）.又如求的和.需要先利用有關(guān)公式將其轉(zhuǎn)化然后求和.此題公式： 5蘊(yùn)含型展項(xiàng)消去法這種級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)是有蘊(yùn)含關(guān)系的，分解級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，或者把它變?yōu)椴糠址质?，然后后把多?xiàng)展開會(huì)發(fā)現(xiàn)其中可以相互消除的部分項(xiàng)，達(dá)到化簡(jiǎn)級(jí)數(shù)求和的目的.例 6 計(jì)算.解：將各項(xiàng)展開可得： ，所以.故原級(jí)數(shù)的和 說明 ：有一些級(jí)數(shù)的通項(xiàng)里面可以發(fā)現(xiàn)分式根式，將它“有理化”.如計(jì)算.此級(jí)數(shù)含根式較多，將其分母有理化，我們便用此法求出這個(gè)級(jí)數(shù)的和的極限是1.

15、 （三）根據(jù)冪級(jí)數(shù)理論求和如果收，可斂得以出=，把化為，有常用方兩種法求：一是分積分求求和，一是逐逐項(xiàng)微項(xiàng)和.1.逐項(xiàng)微分求和，如果求和比較容易，簡(jiǎn)化為，用逐項(xiàng)微分法較好，如果，是n的多項(xiàng)式而且有n可以容易求得結(jié)果.例 7 求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.解 構(gòu)造冪級(jí)數(shù)，求得收斂半徑.收斂區(qū)間是.設(shè)它的和函數(shù)是，即.由冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)可導(dǎo)，有.，有.因?yàn)椋?即.令，有 2.逐項(xiàng)積分求和，是多項(xiàng)式則要分解為等式子.由Abel第二是冪意定理：若級(jí)數(shù)的收致收斂，則斂半徑在任間上的閉區(qū)都一冪級(jí)數(shù).計(jì)算的和，便求在內(nèi)的和函數(shù)，令然后求得極限，.例 8 計(jì)算解 因?yàn)槎氖諗堪霃绞?，并在收斂，讓，取極限于式子左右兩邊，則

16、.（四）三角級(jí)數(shù)求和對(duì)于此類問題，從數(shù)把三求復(fù)數(shù)由于復(fù)系角型數(shù)復(fù)數(shù)的級(jí)域上項(xiàng)級(jí)數(shù)為轉(zhuǎn)化數(shù)，又?jǐn)?shù)應(yīng)于此數(shù)項(xiàng)的實(shí)部化為級(jí)數(shù)我們想而式三將用公角級(jí)對(duì)級(jí)數(shù)，轉(zhuǎn)求原進(jìn)辦法而數(shù)和級(jí)和.歐拉公式 ： ，.棣莫弗公式：.設(shè)為復(fù)數(shù)，令，是實(shí)數(shù)有例 9 計(jì)算解 因?yàn)閺?fù)述級(jí)數(shù)，令，有而于是例 10 設(shè)，求.解：由于，令為復(fù)數(shù)，其中，其中，得：而另一方面=+取實(shí)部對(duì)應(yīng)原級(jí)數(shù)和即得：即：當(dāng)，且時(shí).故原級(jí)數(shù)的和 （五）原級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為子序列求和若的通項(xiàng)(當(dāng)時(shí))，的子序列 （是某個(gè)正整數(shù)），則. :當(dāng)通項(xiàng)沒打亂級(jí)數(shù)各項(xiàng)額次序得到了新的序列收斂，便用此法.例 11 計(jì)算.解：通項(xiàng)曲進(jìn)與零，便球的及先，用偶啦供式，其中為歐拉常數(shù)，

17、因此，對(duì)原級(jí)數(shù)， ，.故原級(jí)數(shù)的和 .（六）原級(jí)數(shù)分解為子序列求和若及書與二這都收聯(lián)，=；便看關(guān)于角的問題.例 12 計(jì)算：.解：據(jù)斂散性得出原來的級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的，和為.將分三類，按角的幅度：，.則：，所以：.故原級(jí)數(shù)的和 （七）兩端逼近法在此，在求極個(gè)級(jí)數(shù)類例題中限和數(shù)學(xué)時(shí)借用分析來求解極逼近限，此是運(yùn)用方法就兩個(gè)級(jí)數(shù)原級(jí)來逼近數(shù)，原便可中的方法級(jí)數(shù)和等于兩的和.例13 設(shè)為一給定的正整數(shù)，求.解：且時(shí)，且，所以，即故原級(jí)數(shù)的和 三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和（一）利用傅里葉級(jí)數(shù)理論求和通過構(gòu)，并通函數(shù)值就造函數(shù)過延求此函拓的方式數(shù)的展式，再由理求解能得到傅原級(jí)定立數(shù)和，要立葉找到傅收斂葉函數(shù).傅里葉

18、展開的基本方法：1.按系數(shù)公式計(jì)算系數(shù)其中.2.將算出的系數(shù)代入級(jí)數(shù).3.據(jù)收斂定理，判斷出可改=的范圍.如果上分段光滑，和函數(shù)例 14 設(shè)函數(shù)，.試求的值.解 將函展開成數(shù)在級(jí)上Fourier數(shù)，于是，因?yàn)樵趦?nèi)連續(xù)，所以由Parseval等式有所以說明 求此，類的和，我們可級(jí)數(shù)以在一定，把一些區(qū)的項(xiàng)域內(nèi)特殊變成的函數(shù)Fourier，進(jìn)級(jí)數(shù)而取或者來逐恰當(dāng)積分.例 15 計(jì)算，其中滿足.解：任意（0，1），記=，由韋爾思特拉思定理，由于級(jí)數(shù)收斂，所以原來級(jí)數(shù)在（ 0 ， 1 ）上一致收斂.，因?yàn)?，所以帶入上面式子可得?jí)數(shù)和為.（二）逐項(xiàng)微分求和根據(jù)冪級(jí)數(shù)，對(duì)原級(jí)數(shù)導(dǎo)收理級(jí)數(shù)逐項(xiàng)，求逐項(xiàng)求導(dǎo)后斂

19、半徑化不變?cè)瓰橐坏膬缧┮浊蠛图?jí)往回求原數(shù)，再積分而從和.先求的緊縮式，然后再利用積分公式：例 16 計(jì)算解 收它的斂半徑1，我們?cè)O(shè)出和函數(shù)為，也就是，有逐項(xiàng)微分有，對(duì)上式從到積分，得（三）逐項(xiàng)積分求和通出原級(jí)過級(jí)可求分收斂數(shù)逐徑不項(xiàng)積半變，對(duì)原理原逐項(xiàng)級(jí)數(shù)積為一分后化些求易的冪往回求級(jí)再導(dǎo)數(shù)和.例 17 計(jì)算.解：記，對(duì)其逐項(xiàng)積分得：=，其中， 所以=.（四）將原級(jí)數(shù)分解轉(zhuǎn)化為已知級(jí)數(shù)再求和把一些復(fù)雜的問題通過一系列分解化成我們知道的知識(shí)，便于求解。例 18 計(jì)算.解：記，利用的麥克勞林展式得：=.（五）微分方程式法類似于數(shù)想是為數(shù)思求方函數(shù)項(xiàng)求出項(xiàng)了冪或函級(jí)數(shù)和函數(shù)級(jí)數(shù)項(xiàng)的數(shù)，主建立級(jí)要起是

20、數(shù)級(jí)基的式數(shù)，通某個(gè)本的程和方過求解程級(jí)和.例19 計(jì)算.提示 收斂半徑，逐項(xiàng)微分得到 .解 設(shè)逐項(xiàng)微分所以，并且有.解此微分方程的初值問題得 .例20（證明）：若函數(shù)在上連續(xù)，令，則在上一致收斂于.證 1.（先證明該級(jí)數(shù)一致收斂）因在上連續(xù)，所以有界.即，使于上，由此知，由數(shù)學(xué)歸納法易證 .但在全數(shù)軸上成立，上一致收斂.所以在上絕對(duì)一致收斂.2.（證明和滿足微分方程）記原級(jí)數(shù)之和為. (1)次式兩端同時(shí)加以，再同時(shí)在上取積分得 . (2)由此求得 . (3)從(2)式可以看出 （4）在條件（4）下求解微分方程（3）可得 .未學(xué)過微分方程的讀者可以這樣來求解;設(shè)，則代入（3）式得，所以 . （

21、5）根據(jù)（4）式應(yīng)有故知代入（5）從而 .因此 .四、級(jí)數(shù)的應(yīng)用（一）冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用由于前此冪冪展開著級(jí)數(shù)的項(xiàng)是的部分，實(shí)個(gè)函和多式多是項(xiàng)式最的函數(shù)簡(jiǎn)單之一，用因逼近替級(jí)應(yīng)泛數(shù)代某數(shù)，而項(xiàng)際數(shù)上件由為項(xiàng)式創(chuàng)造.正是了條于原因這個(gè)，函數(shù)的函的多冪級(jí)數(shù)式有的用.1.函數(shù)值的近似計(jì)算利的函可冪級(jí)用函要求計(jì)數(shù)數(shù)可以近利個(gè)精確展開式似數(shù)值計(jì)算函，即式的在展開收上斂，以數(shù)值近用這似地級(jí)數(shù)按度算出來例 21計(jì)算常數(shù)，精確到小數(shù)第四位解利用，令，有為達(dá)到這個(gè)精確度，可觀察余項(xiàng)若取，則，故計(jì)算出2.定積分的近似計(jì)算利后的冪級(jí)可計(jì)這個(gè)冪級(jí)算級(jí)數(shù)就出定能展開函值，而且還些定成冪級(jí)數(shù)積分的，具積函數(shù)體地說近不僅積分似值

22、，如果被在積分?jǐn)?shù)的近似區(qū)間可以計(jì)算一上，那么把數(shù)逐算一些項(xiàng)積分，用積分用可以計(jì)數(shù)的近似值例 22 計(jì)算，精確到小數(shù)第四位解由于，因此用積分分，如果定義在處的積等函數(shù)值它在1，那初所數(shù)不能給間上連么分區(qū)續(xù)由于的原函不是積為廣義表示，因此過展來計(jì)需要通開式冪級(jí)數(shù)算利用正弦函數(shù)的展開式，兩邊同除以，得到再逐項(xiàng)積分這是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，其誤差，取，有，故冪學(xué)研法也可以被究的看做冪之一，被作為應(yīng)用到了實(shí)占有一變函數(shù)、數(shù)等眾多領(lǐng)域當(dāng)中.然而冪是分析合數(shù)學(xué)多組合恒等式基工程學(xué)礎(chǔ)內(nèi)之地，作為容中也席母復(fù)變函函數(shù)，由冪級(jí)數(shù)概念來的級(jí)數(shù)重的小級(jí)數(shù)在是許的來源.在電力中，冪級(jí)數(shù)則被稱為發(fā)展出變換.實(shí)點(diǎn)形式冪級(jí)數(shù)數(shù)組數(shù)

23、計(jì)數(shù)級(jí)數(shù)的一種.（二）泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用 泰勒以下三面：首先求個(gè)方導(dǎo)和的函分可行，因此求分?jǐn)?shù)積析這種相對(duì)和函數(shù)性體現(xiàn)泰階級(jí)似比較數(shù)在近容第二，一個(gè)解析延易.伸為一個(gè)定面上的一個(gè)開區(qū)域義在復(fù)平上的泰的重要勒級(jí)即利用，數(shù)通過解析數(shù)可被得，冪級(jí)延拓函數(shù)的到，并使求解得以進(jìn)復(fù)手法可行.第三勒逐項(xiàng)展開式一級(jí)數(shù)可以解決解來近似計(jì)用前算函值. 目決非數(shù)的線將非線化的一種有，泰勒性問題效工性問題線數(shù)，達(dá)到泰級(jí)近勒性具是似目的。1. 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)例 23 將展開成的冪級(jí)數(shù)解 , ， , ； , 而；,(). 所以 , .2.近似計(jì)算目前解決題線性問題的一種有工用泰具是，即利勒展泰勒級(jí)階數(shù)開式一近似，將效非線性問

24、化，達(dá)求解的到近似非線目的.例 24 求的近似值解 由，可以得到，此時(shí)誤差.例 25 計(jì)算定積分的近似值，求解 ,. 因此得到 ，由此得到 此時(shí)誤差3.極限計(jì)算例 26 計(jì)算 解 ，分部分可，寫出母小階是3階較高無數(shù)的窮分子開式，關(guān)于各泰上展勒級(jí)以略去：，4.級(jí)數(shù)與廣義積分的斂散性例 27 討論廣義積分的斂散性解 ，是暇點(diǎn)，由比較判別法可知：若，其中，則時(shí)，收斂；時(shí)，發(fā)散，.因?yàn)?，所以廣義積分發(fā)散（3） 傅里葉級(jí)數(shù)的應(yīng)用傅里我們把抽時(shí)候，提供學(xué)變了一種新的象事物析事物的且在換顯很多一角度比更接近事物為的本察、分里葉級(jí)到其對(duì)數(shù)不但會(huì)這上解決象數(shù)換前中生活中很多原葉變換空間中難質(zhì).傅觀以解決的問題就角度，而偶空間，還會(huì)把的抽進(jìn)行轉(zhuǎn)形.1.數(shù)字信號(hào)處理傅里變換,拉普拉等都是數(shù)字理需要的核,常見的數(shù)數(shù)和產(chǎn)品中換核心器件斯變換等DSP傅里葉就是信號(hào)處用這些速算函數(shù)一般都是心技術(shù)編寫的程碼葉級(jí)序.舉子的,z變個(gè)例就是你發(fā)方DSP就是用的程彩給對(duì)序,不對(duì)方接后寫過快法必收到以須經(jīng)傅里葉變些數(shù)換過這碼產(chǎn)的核心品中器件信這數(shù)編,比如.些函常見的快速.2.聲音信號(hào)處理可空間信號(hào)里葉窮的級(jí)變換續(xù)的信號(hào)，寫成后通過濾傅里葉舍