立體幾何小題專題歷年高考真題模擬題匯總解析

1、立體幾何一、年考試大綱二、新課標(biāo)全國(guó)卷命題分析三、典型高考試題講評(píng)2011年新課標(biāo)全國(guó)（1卷、2卷、3卷）理科數(shù)學(xué)分類匯編11立體幾何一、考試大綱1空間幾何體(1)認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu). (2)能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖,能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型,會(huì)用斜二側(cè)法畫(huà)出它們的直觀圖. (3)會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式. (4)會(huì)畫(huà)某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上,尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求). (5)了

2、解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式. 2點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 (1)理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義,并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理. 公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi). 公理2：過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面. 公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線. 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行. 定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ). (2)以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定

3、理. 理解以下判定定理. 如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行. 如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行,那么這兩個(gè)平面平行. 如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么該直線與此平面垂直. 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直. 理解以下性質(zhì)定理,并能夠證明. 如果一條直線與一個(gè)平面平行,那么經(jīng)過(guò)該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線和該直線平行. 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線相互平行. 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行. 如果兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直. 3能運(yùn)用公理、定

4、理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題. 4空間直角坐標(biāo)系 (1)了解空間直角坐標(biāo)系,會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置. (2)會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式. 二、新課標(biāo)全國(guó)卷命題分析立體幾何小題常考的題型包括：（1）球體；（2）多面體的三視圖、體積、表面積或角度，包括線線角、線面角以及面面角，要重視常見(jiàn)幾何體的三視圖、三視圖還原幾何體的常用方法、面積和體積的計(jì)算式以及點(diǎn)線面的位置關(guān)系等，也要注意提高空間想象能力與數(shù)學(xué)計(jì)算能力立體幾何解答題第1問(wèn)主要集中考查空間中直線、平面的位置關(guān)系的判斷，注重對(duì)公理、定理的考查，而第2問(wèn)多考查空間向量在空間立體幾何中的應(yīng)用，在證明與計(jì)算中一般要用到初

5、中平面幾何的重要定理，空間思維要求較高，運(yùn)算量較大，對(duì)學(xué)生的空間想象能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力要求較高在考查考生運(yùn)算求解能力的同時(shí)側(cè)重考查考生的空間想象能力和推理論證能力，給考生提供了從不同角度去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的可能，體現(xiàn)了立體幾何教學(xué)中課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)考生的知識(shí)要求和能力要求，提升了對(duì)考生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.本試題能準(zhǔn)確把握相關(guān)幾何元素之間的關(guān)系，把推理論證能力、空間想象能力等能力和向量運(yùn)算、二面角作圖、建立空間直角坐標(biāo)系等知識(shí)較好地融入試題中，使考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力得到了有效考查. 1. （2016·新課標(biāo)，14）、是兩個(gè)平面，m、n是兩條直線，有下

6、列四個(gè)命題：（1）如果mn，m，n，那么. （2）如果m，n，那么mn.（3）如果，m，那么m.  （4）如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有 . (填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào).)【答案】 解析：略.2. （2018·新課標(biāo)，9）在長(zhǎng)方體中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】C解析：法一：由幾何關(guān)系可知：，由余弦定理可知：解法二：坐標(biāo)法：由幾何關(guān)系可知：，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，立體幾何(小題）（解析版）3.(2018·新課標(biāo)全國(guó)卷理7) 某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

7、為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（ ）ABCD2【答案】B解析：當(dāng)路徑為線段MN時(shí)，長(zhǎng)度最短，故最短路徑的長(zhǎng)度為.4.(2018·新課標(biāo)，理12)已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）ABCD【答案】A解析：（直接法）平面符合題意，如圖（1）所示，例題中的平面可得面平移平移后的圖象如圖（1）所示，六邊形為該截面設(shè)，則有根據(jù)對(duì)稱性可知，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，易證所以為等邊三角形，同理為等邊三角形，所以當(dāng)時(shí)，【解法2】（特殊位置法）由題可知，截面應(yīng)與正方體體對(duì)角線垂直，

8、當(dāng)平面平移至截面為六邊形時(shí)，此時(shí)六邊形的周長(zhǎng)恒定不變，所以當(dāng)截面為正六邊形時(shí)，面積最大5.（2018·新課標(biāo)，9）在長(zhǎng)方體中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】C解析：法一：由幾何關(guān)系可知：，由余弦定理可知：解法二：坐標(biāo)法：由幾何關(guān)系可知：，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，解法三：補(bǔ)型法（以右補(bǔ)為例）：由幾何關(guān)系可知：，由余弦定理可得：.6.（2017·新課標(biāo)，10）已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A B C D【答案】 B 解析：解法一：在邊上分別取中點(diǎn)，并相互連接.由三角形中位線定理和平行線平移功能，異面直線和所成的夾角為或其補(bǔ)角，通過(guò)幾何

9、關(guān)系求得，利用余弦定理可求得異面直線和所成的夾角余弦值為.解法二：補(bǔ)形通過(guò)補(bǔ)形之后可知：或其補(bǔ)角為異面直線和所成的角，通過(guò)幾何關(guān)系可知：，由勾股定理或余弦定理可得異面直線和所成的夾角余弦值為.解法三：建系建立如左圖的空間直角坐標(biāo)系， ， 7.（2016·新課標(biāo)，11）平面過(guò)正方體的頂點(diǎn)，平面，平面 ，平面，則所成角的正弦值為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】 A 解析：如圖所示：，若設(shè)平面平面，則又平面平面，結(jié)合平面平面，故，同理可得：故、的所成角的大小與、所成角的大小相等，即的大小而（均為面對(duì)交線），因此，即故選A8.（2015·新課標(biāo)，6）九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為

10、豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛【答案】 B 解析：，圓錐底面半徑，米堆體積，堆放的米約有，選（B）.9.（2014·新課標(biāo)，11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90º，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BM與AN所成的角的余

11、弦值為（ ）ABCD【答案】 C 解析：取BC的中點(diǎn)P，連結(jié)NP、AP， M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，四邊形NMBP為平行四邊形，BM/PN，所求角的余弦值等于ANP的余弦值，不妨令BC=CA=CC1=2，則AN=AP=，NP=MB=， .【另解】如圖建立坐標(biāo)系，令A(yù)C=BC=C1C=2，則A(0, 2, 2)，B(2, 0, 2)，M(1, 1, 0)，N(0, 1, 0)， 10.（2013·新課標(biāo)，4）已知為異面直線，平面，平面.直線滿足，則（ ）A. / 且l / B.且C.與相交，且交線垂直于D.與相交，且交線平行于【答案】 D 解析：因?yàn)閙，lm，l，所以l.

12、同理可得l. 又因?yàn)閙，n為異面直線，所以與相交，且l平行于它們的交線故選D.11.（2018·新課標(biāo)，理16）已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)【答案】解析：由面積的關(guān)系可知：，由幾何關(guān)系可知：側(cè)面積，側(cè)面積12.（2017·新課標(biāo)，）16.，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；直線與所稱角的最小值為；直線與所稱角的最小值為；其中正確的是_.（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)）【答案】 解析：由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫(huà)出圖形如圖不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1，故，邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系則，直線的方向單位向量，點(diǎn)起始坐標(biāo)為，直線的方向單位向量，設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)，其中為與的夾角，那么在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量，設(shè)與所成夾角為，則故，所以正確，錯(cuò)誤設(shè)與