蘇科版九級上直線與圓的位置關(guān)系專題練習(xí)三含答案

1、 直線與圓的位置關(guān)系專題練習(xí)（3）1（2016大連）如圖，AB是O的直徑，點C、D在O上，A=2BCD，點E在AB的延長線上，AED=ABC（1）求證：DE與O相切；（2）若BF=2，DF=，求O的半徑2（2016錦州）如圖，已知ABC，ACB=90°，ACBC，點D為AB的中點，過點D作BC的垂線，垂足為點F，過點A、C、D作O交BC于點E，連接CD、DE（1）求證：DF為O的切線；（2）若AC=3，BC=9，求DE的長3（2016蘭州）如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，AB是O的直徑，ODAB于點O，分別交AC、CF于點E、D，且DE=DC（1）求證：CF是O的切線；（2）若O的半徑

2、為5，BC=，求DE的長4（2016宿遷）如圖1，在ABC中，點D在邊BC上，ABC：ACB：ADB=1：2：3，O是ABD的外接圓（1）求證：AC是O的切線；（2）當(dāng)BD是O的直徑時（如圖2），求CAD的度數(shù)5（2016菏澤）如圖，直角ABC內(nèi)接于O，點D是直角ABC斜邊AB上的一點，過點D作AB的垂線交AC于E，過點C作ECP=AED，CP交DE的延長線于點P，連結(jié)PO交O于點F（1）求證：PC是O的切線；（2）若PC=3，PF=1，求AB的長6（2016荊州）如圖，A、F、B、C是半圓O上的四個點，四邊形OABC是平行四邊形，F(xiàn)AB=15°，連接OF交AB于點E，過點C作OF的

3、平行線交AB的延長線于點D，延長AF交直線CD于點H（1）求證：CD是半圓O的切線；（2）若DH=63，求EF和半徑OA的長7（2016本溪）如圖，ABC中，AB=AC，點E是線段BC延長線上一點，EDAB，垂足為D，ED交線段AC于點F，點O在線段EF上，O經(jīng)過C、E兩點，交ED于點G（1）求證：AC是O的切線；（2）若E=30°，AD=1，BD=5，求O的半徑8（2016茂名）如圖，在ABC中，C=90°，D、F是AB邊上的兩點，以DF為直徑的O與BC相交于點E，連接EF，過F作FGBC于點G，其中OFE=A（1）求證：BC是O的切線；（2）若sinB=，O的半徑為r，

4、求EHG的面積（用含r的代數(shù)式表示）9（2016宜賓）如圖1，在APE中，PAE=90°，PO是APE的角平分線，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓交AE于點G（1）求證：直線PE是O的切線；（2）在圖2中，設(shè)PE與O相切于點H，連結(jié)AH，點D是O的劣弧上一點，過點D作O的切線，交PA于點B，交PE于點C，已知PBC的周長為4，tanEAH=，求EH的長10（2016西寧）如圖，D為O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且CDA=CBD（1）求證：CD是O的切線；（2）過點B作O的切線交CD的延長線于點E，BC=6，求BE的長11（2016涼山州）閱讀下列材料并回答問題：材料1：如果一個三角形

5、的三邊長分別為a，b，c，記，那么三角形的面積為 古希臘幾何學(xué)家海倫（Heron，約公元50年），在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測量問題而聞名他在度量一書中，給出了公式和它的證明，這一公式稱海倫公式我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202約1261），曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式： 下面我們對公式進行變形： =這說明海倫公式與秦九韶公式實質(zhì)上是同一公式，所以我們也稱為海倫秦九韶公式問題：如圖，在ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，O內(nèi)切于ABC，切點分別是D、E、F（1）求ABC的面積；（2）求O的半徑12（2016桂林）已知任意三角形的三邊長，如何求三角形面積？古希臘的幾何學(xué)家海倫解決了這

6、個問題，在他的著作度量論一書中給出了計算公式海倫公式S=（其中a，b，c是三角形的三邊長，p=，S為三角形的面積），并給出了證明例如：在ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面積可以這樣計算：a=3，b=4，c=5p=6S=6事實上，對于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題，還可用我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決如圖，在ABC中，BC=5，AC=6，AB=9（1）用海倫公式求ABC的面積；（2）求ABC的內(nèi)切圓半徑r13已知：AB為O的直徑，P為AB延長線上的任意一點，過點P作O的切線，切點為C，APC的平分線PD與AC交于點D（1）如圖1，若CPA恰好等于30°

7、;，求CDP的度數(shù)；（2）如圖2，若點P位于（1）中不同的位置，（1）的結(jié)論是否仍然成立？說明你的理由14如圖，已知AB是O的直徑，弦CD與AB交于點E，過點A作O的切線與CD長線交于點F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3求：（1）AB的長度；（2）tanECB的值15如圖，點P在y軸上，P交x軸于A、B兩點，連結(jié)BP并延長交P于C，過點C的直線y=2x+b交x軸于D，且P的半徑為，AB=4（1）求點B、P、C的坐標(biāo)；（2）求證：CD是P的切線16已知等邊三角形ABC，AB=12，以AB為直徑的半圓與BC邊交于點D，過點D作DFAC，垂足為F，過點F作FGAB，垂足為G，連接G

8、D，（1）求證：DF與O的位置關(guān)系并證明；（2）求FG的長17如圖一，AB是O的直徑，AC是弦，直線EF和O相切于點C，ADEF，垂足為D（1）求證：CAD=BAC；（2）如圖二，若把直線EF向上移動，使得EF與O相交于G，C兩點（點C在點G的右側(cè)），連接AC，AG，若題中其他條件不變，這時圖中是否存在與CAD相等的角？若存在，找出一個這樣的角，并證明；若不存在，說明理由18完成下列各題：（1）如圖，在矩形ABCD中，AF=BE，求證：DE=CF；（2）如圖，AB是O的直徑，CA與O相切于點A，連接CO交O于點D，CO的延長線交O于點E，連接BE，BD，ABD=25°，求C的度數(shù)19

9、（2016揚州）如圖1，以ABC的邊AB為直徑的O交邊BC于點E，過點E作O的切線交AC于點D，且EDAC（1）試判斷ABC的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若線段AB、DE的延長線交于點F，C=75°，CD=2，求O的半徑和BF的長20如圖，在ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，ADBC于D，點P、Q分別從B、C兩點同時出發(fā)，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，設(shè)它們運動的時間為x（s）（1）求x為何值時，PQAC；（2）設(shè)PQD的面積為y（cm2），當(dāng)0x2時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)0x2時，求證：AD平分PQ

10、D的面積；（4）探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系，請寫出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍（不要求寫出過程）21（2015德陽）如圖，已知BC是O的弦，A是O外一點，ABC為正三角形，D為BC的中點，M為O上一點，并且BMC=60°（1）求證：AB是O的切線；（2）若E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的兩個動點，且EDF=120°，O的半徑為2，試問BE+CF的值是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由22（2015廈門）已知四邊形ABCD內(nèi)接于O，ADC=90°，DCB90°，對角線AC平分DCB，延長DA，CB相交于點E（1）如圖1，EB=AD，求證：

11、ABE是等腰直角三角形；（2）如圖2，連接OE，過點E作直線EF，使得OEF=30°，當(dāng)ACE30°時，判斷直線EF與O的位置關(guān)系，并說明理由23如圖，在ABC中，AB=AC，A=30°，以AB為直徑的O交BC于點D，交AC于點E，連接DE，過點B作BP平行于DE，交O于點P，連接EP、CP、OP（1）BD=DC嗎？說明理由；（2）求BOP的度數(shù)；（3）求證：CP是O的切線；如果你解答這個問題有困難，可以參考如下信息：為了解答這個問題，小明和小強做了認真的探究，然后分別用不同的思路完成了這個題目在進行小組交流的時候，小明說：“設(shè)OP交AC于點G，證AOGCPG”；

12、小強說：“過點C作CHAB于點H，證四邊形CHOP是矩形”24等腰直角ABC和O如圖放置，已知AB=BC=1，ABC=90°，O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5現(xiàn)ABC以每秒2個單位的速度向右移動，同時ABC的邊長AB、BC又以每秒0.5個單位沿BA、BC方向增大（1）當(dāng)ABC的邊（BC邊除外）與圓第一次相切時，點B移動了多少距離？（2）若在ABC移動的同時，O也以每秒1個單位的速度向右移動，則ABC從開始移動，到它的邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過了多少時間？（3）在（2）的條件下，是否存在某一時刻，ABC與O的公共部分等于O的面積？若存在，求出恰好符合條件時兩個圖形移動了多少時

13、間？若不存在，請說明理由25如圖1在平面直角坐標(biāo)系中，O1與x軸切于A（3，0）與y軸交于B、C兩點，BC=8，連AB（1）求證：ABO1=ABO；（2）求AB的長；（3）如圖2，過A、B兩點作O2與y軸的正半軸交于M，與O1B的延長線交于N，當(dāng)O2的大小變化時，得出下列兩個結(jié)論：BMBN的值不變；BM+BN的值不變其中有且只有一個結(jié)論正確，請判斷正確結(jié)論并證明26如圖，在ABC中，ACB=90°，ABC=30°，BC=6cm，點D、E從點C同時出發(fā)，分別以1cm/s和2cm/s的速度沿著射線CB向右移動，以DE為一邊在直線BC的上方作等邊DEF，連接CF，設(shè)點D、E運動的

14、時間為t秒（1）DEF的邊長為（用含有t的代數(shù)式表示），當(dāng)t=秒時，點F落在AB上；（2）t為何值時，以點A為圓心，AF為半徑的圓與CDF的邊所在的直線相切？（3）設(shè)點F關(guān)于直線AB的對稱點為G，在DEF運動過程中，是否存在某一時刻t，使得以A、C、E、G為頂點的四邊形為梯形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由27在半徑為4的O中，點C是以AB為直徑的半圓的中點，ODAC，垂足為D，點E是射線AB上的任意一點，DFAB，DF與CE相交于點F，設(shè)EF=x，DF=y（1）如圖1，當(dāng)點E在射線OB上時，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；（2）如圖2，當(dāng)點F在O上時，求線段DF的長

15、；（3）如果以點E為圓心、EF為半徑的圓與O相切，求線段DF的長28如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點O為圓心的O的半徑為1，直線l：y=x與坐標(biāo)軸分別交于A、C兩點，點B的坐標(biāo)為（4，1），B與x軸相切于點M（1）求點A的坐標(biāo)及CAO的度數(shù)；（2）B以每秒1個單位長度的速度沿想x軸負方向平移，同時，直線l繞點A以每秒鐘旋轉(zhuǎn)30°的速度順時針勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)B第一次與O相切時，請判斷直線l與B的位置關(guān)系，并說明理由：（3）如圖2，過A、O、C三點作O1，點E是O1上任意一點，連接EC、EA、EO若點E在劣弧OC上，試說明：EAEC=EO；若點E在優(yōu)弧OAC上，的結(jié)論中EC、EA、EO

16、的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請你說明理由？若不成立，請你直接寫出正確的結(jié)論29在RtABC中，A=90°，AB=AC=4，O是BC邊上的點且O與AB、AC都相切，切點分別為D、E（1）求O的半徑；（2）如果F為上的一個動點（不與D、E），過點F作O的切線分別與邊AB、AC相交于G、H，連接OG、OH，有兩個結(jié)論：四邊形BCHG的周長不變，GOH的度數(shù)不變已知這兩個結(jié)論只有一個正確，找出正確的結(jié)論并證明；（3）探究：在（2）的條件下，設(shè)BG=x，CH=y，試問y與x之間滿足怎樣的函數(shù)關(guān)系，寫出你的探究過程并確定自變量x的取值范圍，并說明當(dāng)x=y時F點的位置參考答案與解析1（2016大

17、連）如圖，AB是O的直徑，點C、D在O上，A=2BCD，點E在AB的延長線上，AED=ABC（1）求證：DE與O相切；（2）若BF=2，DF=，求O的半徑【分析】（1）連接OD，由AB是O的直徑，得到ACB=90°，求得A+ABC=90°，等量代換得到BOD=A，推出ODE=90°，即可得到結(jié)論；（2）連接BD，過D作DHBF于H，由弦且角定理得到BDE=BCD，推出ACF與FDB都是等腰三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到FH=BH=BF=1，則FH=1，根據(jù)勾股定理得到HD=3，然后根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論【解答】（1）證明：連接OD，AB是O的直徑，A

18、CB=90°，A+ABC=90°，BOD=2BCD，A=2BCD，BOD=A，AED=ABC，BOD+AED=90°，ODE=90°，即ODDE，DE與O相切；（2）解：連接BD，過D作DHBF于H，DE與O相切，BDE=BCD，AED=ABC，AFC=DBF，AFC=DFB，ACF與FDB都是等腰三角形，F(xiàn)H=BH=BF=1，則FH=1，HD=3，在RtODH中，OH2+DH2=OD2，即（OD1）2+32=OD2，OD=5，O的半徑是5【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵2（2

19、016錦州）如圖，已知ABC，ACB=90°，ACBC，點D為AB的中點，過點D作BC的垂線，垂足為點F，過點A、C、D作O交BC于點E，連接CD、DE（1）求證：DF為O的切線；（2）若AC=3，BC=9，求DE的長【分析】（1）連接DO并延長交AC于M，證出，由垂徑定理得出DMAC，證出DMBC，由已知得出DFDO，即可得出DF為O的切線；（2）由（1）得出DF=AC=1.5，CF=BF=BC=4.5，作ONCE于N，連接OA，由垂徑定理得出CN=EN=CE，AM=CM=ON=DF=1.5，設(shè)O的半徑為r，在AOM中，由勾股定理求出半徑，得出CN=EN=OM=2，CE=4，求出E

20、F=4.54=0.5，再由勾股定理求出DE即可【解答】（1）證明：連接DO并延長交AC于M，如圖1所示：ACB=90°，ACBC，點D為AB的中點，CD=AB=AD，DMAC，DMBC，DFBC，DFDO，DF為O的切線；（2）解：由（1）得：ACDF，點D為AB的中點，DF=AC=1.5，CF=BF=BC=4.5，作ONCE于N，連接OA，如圖2所示：則CN=EN=CE，AM=CM=ON=DF=1.5，設(shè)O的半徑為r，在AOM中，由勾股定理得：r2+（4.5r）2=r2，解得：r=2.5，CN=EN=OM=4.52.5=2，CE=4，EF=4.54=0.5，DE=【點評】本題考查了

21、切線的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理，垂徑定理等知識；熟練掌握切線的判定，由勾股定理求出半徑是解決問題（2）的關(guān)鍵3（2016蘭州）如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，AB是O的直徑，ODAB于點O，分別交AC、CF于點E、D，且DE=DC（1）求證：CF是O的切線；（2）若O的半徑為5，BC=，求DE的長【分析】（1）連接OC，欲證明CF是O的切線，只要證明OCF=90°（2）作DHAC于H，由AEOABC，得=求出AE，EC，再根據(jù)sinA=sinEDH，得到=，求出DE即可【解答】證明：連接OC，OA=OC，A=OCA，ODAB，A+AEO=90°，DE=DC，

22、DEC=DCE，AEO=DEC，AEO=DCE，OCE+DCE=90°，OCF=90°，OCCF，CF是O切線（2）作DHAC于H，則EDH=A，DE=DC，EH=HC=EC，O的半徑為5，BC=，AB=10，AC=3，AEOABC，=，AE=，EC=ACAE=，EH=EC=，EDH=A，sinA=sinEDH，=，DE=，【點評】本題考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，屬于中考?？碱}型4（2016宿遷）如圖1，在ABC中，點D在邊BC上，ABC：ACB：ADB=1：2：3，O是ABD的外接圓（1）求證：AC是O的

23、切線；（2）當(dāng)BD是O的直徑時（如圖2），求CAD的度數(shù)【分析】（1）連接AO，延長AO交O于點E，則AE為O的直徑，連接DE，由已知條件得出ABC=CAD，由圓周角定理得出ADE=90°，證出AED=ABC=CAD，求出EAAC，即可得出結(jié)論；（2）由圓周角定理得出BAD=90°，由角的關(guān)系和已知條件得出ABC=22.5°，由（1）知：ABC=CAD，即可得出結(jié)果【解答】（1）證明：連接AO，延長AO交O于點E，則AE為O的直徑，連接DE，如圖所示：ABC：ACB：ADB=1：2：3，ADB=ACB+CAD，ABC=CAD，AE為O的直徑，ADE=90°

24、;，EAD=90°AED，AED=ABD，AED=ABC=CAD，EAD=90°CAD，即EAD+CAD=90°，EAAC，AC是O的切線；（2）解：BD是O的直徑，BAD=90°，ABC+ADB=90°，ABC：ACB：ADB=1：2：3，4ABC=90°，ABC=22.5°，由（1）知：ABC=CAD，CAD=22.5°【點評】本題考查了切線的判定、圓周角定理、角的互余關(guān)系；熟練掌握切線的判定方法，由圓周角定理得出直角是解決問題的關(guān)鍵5（2016菏澤）如圖，直角ABC內(nèi)接于O，點D是直角ABC斜邊AB上的一點，

25、過點D作AB的垂線交AC于E，過點C作ECP=AED，CP交DE的延長線于點P，連結(jié)PO交O于點F（1）求證：PC是O的切線；（2）若PC=3，PF=1，求AB的長【分析】（1）連接OC，欲證明PC是O的切線，只要證明PCOC即可（2）延長PO交圓于G點，由切割線定理求出PG即可解決問題【解答】解：（1）如圖，連接OC，PDAB，ADE=90°，ECP=AED，又EAD=ACO，PCO=ECP+ACO=AED+EAD=90°，PCOC，PC是O切線（2）延長PO交圓于G點，PF×PG=PC2，PC=3，PF=1，PG=9，F(xiàn)G=91=8，AB=FG=8【點評】本題

26、考查切線的判定、切割線定理、等角的余角相等等知識，解題的關(guān)鍵是熟練運用這些知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型6（2016荊州）如圖，A、F、B、C是半圓O上的四個點，四邊形OABC是平行四邊形，F(xiàn)AB=15°，連接OF交AB于點E，過點C作OF的平行線交AB的延長線于點D，延長AF交直線CD于點H（1）求證：CD是半圓O的切線；（2）若DH=63，求EF和半徑OA的長【分析】（1）連接OB，根據(jù)已知條件得到AOB是等邊三角形，得到AOB=60°，根據(jù)圓周角定理得到AOF=BOF=30°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OCCD，由切線的判定定理即可得到結(jié)論；（

27、2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DBC=EAO=60°，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE=AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得EF=2，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解答】解：（1）連接OB，OA=OB=OC，四邊形OABC是平行四邊形，AB=OC，AOB是等邊三角形，AOB=60°，F(xiàn)AD=15°，BOF=30°，AOF=BOF=30°，OFAB，CDOF，CDAD，ADOC，OCCD，CD是半圓O的切線；（2）BCOA，DBC=EAO=60°，BD=BC=AB，AE=AD，EFDH，AEFADH，DH=63，EF=2，OF=

28、OA，OE=OA（2），AOE=30°，=，解得：OA=2【點評】本題考查了切線的判定，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，連接OB構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵7（2016本溪）如圖，ABC中，AB=AC，點E是線段BC延長線上一點，EDAB，垂足為D，ED交線段AC于點F，點O在線段EF上，O經(jīng)過C、E兩點，交ED于點G（1）求證：AC是O的切線；（2）若E=30°，AD=1，BD=5，求O的半徑【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到B=ACB，OCE=E，推出ACO=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件得到CFO=3

29、0°，解直角三角形得到DF=，EF=3OE=4，即可得到結(jié)論【解答】（1）證明：AB=AC，B=ACB，OC=OE，OCE=E，DEAB，BDE=90°，B+E=90°，ACB+OCE=90°，ACO=90°，ACOC，AC是O的切線；（2）解：E=30°，OCE=30°，F(xiàn)CE=120°，CFO=30°，AFD=CFO=30°，DF=，BD=5，DE=5，OF=2OC，EF=3OE=4，OE=，即O的半徑=【點評】本題考查了切線的判定，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定定理

30、是解題的關(guān)鍵8（2016茂名）如圖，在ABC中，C=90°，D、F是AB邊上的兩點，以DF為直徑的O與BC相交于點E，連接EF，過F作FGBC于點G，其中OFE=A（1）求證：BC是O的切線；（2）若sinB=，O的半徑為r，求EHG的面積（用含r的代數(shù)式表示）【分析】（1）首先連接OE，由在ABC中，C=90°，F(xiàn)GBC，可得FGAC，又由OFE=A，易得EF平分BFG，繼而證得OEFG，證得OEBC，則可得BC是O的切線；（2）由在OBE中，sinB=，O的半徑為r，可求得OB，BE的長，然后由在BFG中，求得BG，F(xiàn)G的長，則可求得EG的長，易證得EGHFGE，然后由

31、相似三角形面積比等于相似比的平方，求得答案【解答】（1）證明：連接OE，在ABC中，C=90°，F(xiàn)GBC，BGF=C=90°，F(xiàn)GAC，OFG=A，OFE=OFG，OFE=EFG，OE=OF，OFE=OEF，OEF=EFG，OEFG，OEBC，BC是O的切線；（2）解：在RtOBE中，sinB=，O的半徑為r，OB=r，BE=r，BF=OB+OF=r，F(xiàn)G=BFsinB=r，BG=r，EG=BGBE=r，SFGE=EGFG=r2，EG：FG=1：2，BC是切線，GEH=EFG，EGH=FGE，EGHFGE，=（）2=，SEHG=SFGE=r2【點評】此題考查了切線的判定、相

32、似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵9（2016宜賓）如圖1，在APE中，PAE=90°，PO是APE的角平分線，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓交AE于點G（1）求證：直線PE是O的切線；（2）在圖2中，設(shè)PE與O相切于點H，連結(jié)AH，點D是O的劣弧上一點，過點D作O的切線，交PA于點B，交PE于點C，已知PBC的周長為4，tanEAH=，求EH的長【分析】（1）作OHPE，由PO是APE的角平分線，得到APO=EPO，判斷出PAOPHO，得到OH=OA，用“圓心到直線的距離等于半徑”來得出直線PE是O的切線；（2）先利用切線的性質(zhì)和PBC的周長為4求出

33、PA=2，再用三角函數(shù)求出OA，AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG，AE=2EH，用勾股定理求出EG，最后用切割線定理即可【解答】證明：（1）如圖1，作OHPE，OHP=90°，PAE=90，OHP=OAP，PO是APE的角平分線，APO=EPO，在PAO和PHO中，PAOPHO，OH=OA，OA是O的半徑，OH是O的半徑，OHPE，直線PE是O的切線（2）如圖2，連接GH，BC，PA，PB是O的切線，DB=DA，DC=CH，PBC的周長為4，PB+PC+BC=4，PB+PC+DB+DC=4，PB+AB+PC+CH=4，PA+PH=4，PA，PH是O的切線，PA=PH，PA=2

34、，由（1）得，PAOPHO，OFA=90°，EAH+AOP=90°，OAP=90°，AOP+APO=90°，APO=EAH，tanEAH=，tanAPO=，OA=PA=1，AG=2，AHG=90°，tanEAH=，EGHEHA，=，EH=2EG，AE=2EH，AE=4EG，AE=EG+AG，EG+AG=4EG，EG=AG=，EH是O的切線，EGA是O的割線，EH2=EG×EA=EG×（EG+AG）=×（+2）=，EH=【點評】此題是切線的性質(zhì)和判定題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三

35、角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是用三角函數(shù)求出OA10（2016西寧）如圖，D為O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且CDA=CBD（1）求證：CD是O的切線；（2）過點B作O的切線交CD的延長線于點E，BC=6，求BE的長【分析】（1）連OD，OE，根據(jù)圓周角定理得到ADO+ODB=90°，而CDA=CBD，CBD=ODB，于是CDA+ADO=90°；（2）根據(jù)已知條件得到CDACBD由相似三角形的性質(zhì)得到，求得CD=4，由切線的性質(zhì)得到BE=DE，BEBC根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論【解答】（1）證明：連結(jié)OD，OB=OD，OBD=BDO，CDA=CBD，CDA=ODB，又AB

36、是O的直徑，ADB=90°，ADO+ODB=90°，ADO+CDA=90°，即CDO=90°，ODCD，OD是O半徑，CD是O的切線（2）解：C=C，CDA=CBDCDACBD，BC=6，CD=4，CE，BE是O的切線BE=DE，BEBCBE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE）2解得：BE=【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質(zhì)11（2016涼山州）閱讀下列材料并回答問題：材料1：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么三角形的面積為 古希臘幾何

37、學(xué)家海倫（Heron，約公元50年），在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測量問題而聞名他在度量一書中，給出了公式和它的證明，這一公式稱海倫公式我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202約1261），曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式： 下面我們對公式進行變形： =這說明海倫公式與秦九韶公式實質(zhì)上是同一公式，所以我們也稱為海倫秦九韶公式問題：如圖，在ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，O內(nèi)切于ABC，切點分別是D、E、F（1）求ABC的面積；（2）求O的半徑【分析】（1）由已知ABC的三邊a=3，b=12，c=7，可知這是一個一般的三角形，故選用海倫秦九韶公式求解即可；（2）由三角形的面積=lr，計算即可

38、【解答】解：（1）AB=13，BC=12，AC=7，p=16，=24；（2）ABC的周長l=AB+BC+AC=32，S=lr=24，r=【點評】此題考查了三角形面積的求解方法此題難度不大，注意選擇適當(dāng)?shù)那蠼夥椒ㄊ顷P(guān)鍵12（2016桂林）已知任意三角形的三邊長，如何求三角形面積？古希臘的幾何學(xué)家海倫解決了這個問題，在他的著作度量論一書中給出了計算公式海倫公式S=（其中a，b，c是三角形的三邊長，p=，S為三角形的面積），并給出了證明例如：在ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面積可以這樣計算：a=3，b=4，c=5p=6S=6事實上，對于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題，還可用我國南宋

39、時期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決如圖，在ABC中，BC=5，AC=6，AB=9（1）用海倫公式求ABC的面積；（2）求ABC的內(nèi)切圓半徑r【分析】（1）先根據(jù)BC、AC、AB的長求出P，再代入到公式S=即可求得S的值；（2）根據(jù)公式S=r（AC+BC+AB），代入可得關(guān)于r的方程，解方程得r的值【解答】解：（1）BC=5，AC=6，AB=9，p=10，S=10；故ABC的面積10；（2）S=r（AC+BC+AB），10=r（5+6+9），解得：r=，故ABC的內(nèi)切圓半徑r=【點評】本題主要三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、二次根式的應(yīng)用，熟練掌握三角形的面積與內(nèi)切圓半徑間的公式是解題的關(guān)鍵13已

40、知：AB為O的直徑，P為AB延長線上的任意一點，過點P作O的切線，切點為C，APC的平分線PD與AC交于點D（1）如圖1，若CPA恰好等于30°，求CDP的度數(shù)；（2）如圖2，若點P位于（1）中不同的位置，（1）的結(jié)論是否仍然成立？說明你的理由【分析】（1）連接OC，則OCP=90°，根據(jù)CPA=30°，求得COP，再由OA=OC，得出A=ACO，由PD平分APC，即可得出CDP=45°（2）由PC是O的切線，得OCP=90°再根據(jù)PD是CPA的平分線，得APC=2APD根據(jù)OA=OC，可得出A=ACO，即COP=2A，在RtOCP中，OCP=

41、90°，則COP+OPC=90°，從而得出CDP=A+APD=45°所以CDP的大小不發(fā)生變化【解答】解：（1）連接OC，PC是O的切線，OCPCOCP=90°CPA=30°，COP=60°OA=OC，A=ACO=30°PD平分APC，APD=15°，CDP=A+APD=45°（2）CDP的大小不發(fā)生變化PC是O的切線，OCP=90°PD是CPA的平分線，APC=2APDOA=OC，A=ACO，COP=2A，在RtOCP中，OCP=90°，COP+OPC=90°，2（A+AP

42、D）=90°，CDP=A+APD=45°即CDP的大小不發(fā)生變化【點評】本題考查了切線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，要注意各個知識點的銜接14如圖，已知AB是O的直徑，弦CD與AB交于點E，過點A作O的切線與CD長線交于點F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3求：（1）AB的長度；（2）tanECB的值【分析】（1）設(shè)CE=6k，ED=5k，AE=2a，BE=3a，過點O作OHCD垂足為H，則CH=HD，由OHEFAE，得=求出EF=，由CEED=BEAE求出k、a關(guān)系，得EF=10k，得到DE=DC，得DEA、BCE都是等腰三角形，在RTABC

43、中利用勾股定理即可解決問題（2）根據(jù)tanECB=tanAEF=，求出AF、AE即可【解答】解：（1）設(shè)CE=6k，ED=5k，AE=2a，BE=3a，過點O作OHCD垂足為H，則CH=HD，EH=0.5k，OE=0.5a，AF是切線，F(xiàn)AE=90°=OHE，OEH=FEA，OHEFAE，=即=，EF=，CEED=BEAE，6k5k=3a2a，a2=5k2，EF=10k，點D是EF中點，AD=ED=DF=5k，DEA、BCE都是等腰三角形，BC=BE=3a，AB是直徑，ACB=90°，BC2+AC2=AB2，（3a）2+82=（5a）2，a=2，AB=5a=10（2）a=2

44、，k=，AF2=DFFC=80k2=64，AF=8，tanECB=tanAEF=2【點評】本題考查切線的性質(zhì)、垂徑定理、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是設(shè)兩個參數(shù)，想辦法求出EF的長，發(fā)現(xiàn)點D是EF中點這個突破口，題目比較難，屬于中考壓軸題15如圖，點P在y軸上，P交x軸于A、B兩點，連結(jié)BP并延長交P于C，過點C的直線y=2x+b交x軸于D，且P的半徑為，AB=4（1）求點B、P、C的坐標(biāo)；（2）求證：CD是P的切線【分析】（1）連結(jié)AC，由于BC是圓P的直徑，那么CAB=90°解RtABC，得出AC=2，由垂徑定理得出OB=OA=2，根據(jù)三角

45、形中位線定理得出OP=AC=1，從而求出點B、P、C的坐標(biāo)；（2）將C（2，2）代入y=2x+b，利用待定系數(shù)法求出過點C的直線解析式為y=2x+6，得到D（3，0），AD=1再利用SAS證明ADCOPB，得出DCA=B，然后證明BCD=90°，根據(jù)切線的判定定理證明CD是P的切線【解答】（1）解：連結(jié)ACBC是P的直徑，CAB=90°在RtABC中，CAB=90°，BC=2，AB=4，AC=2，OPAB，OB=OA=2，OP=AC=1，P（0，1），B（2，0），C（2，2）；（2）證明：將C（2，2）代入y=2x+b，得4+b=2，解得b=6y=2x+6，當(dāng)y

46、=0時，則x=3，D（3，0），AD=1在ADC和OPB中，ADCOPB（SAS），DCA=BB+ACB=90°，DCA+ACB=90°，即BCD=90°，CD是P的切線【點評】本題考查了切線的判定，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可16已知等邊三角形ABC，AB=12，以AB為直徑的半圓與BC邊交于點D，過點D作DFAC，垂足為F，過點F作FGAB，垂足為G，連接GD，（1）求證：DF與O的位置關(guān)系并證明；（2）求FG的長【分析】（1）連接OD，證ODF=90

47、6;即可（2）利用ADF是30°的直角三角形可求得AF長，同理可利用FHC中的60°的三角函數(shù)值可求得FG長【解答】（1）證明：連接OD，以等邊三角形ABC的邊AB為直徑的半圓與BC邊交于點D，B=C=ODB=60°，ODAC，DFAC，CFD=ODF=90°，即ODDF，OD是以邊AB為直徑的半圓的半徑，DF是圓O的切線；（2）OB=OD=AB=6，且B=60°，BD=OB=OD=6，CD=BCBD=ABBD=126=6，在RtCFD中，C=60°，CDF=30°，CF=CD=×6=3，AF=ACCF=123=9

48、，F(xiàn)GAB，F(xiàn)GA=90°，F(xiàn)AG=60°，F(xiàn)G=AFsin60°=【點評】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、垂徑定理等知識，判斷直線和圓的位置關(guān)系，一般要猜想是相切，那么證直線和半徑的夾角為90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函數(shù)來求得相應(yīng)的線段長17如圖一，AB是O的直徑，AC是弦，直線EF和O相切于點C，ADEF，垂足為D（1）求證：CAD=BAC；（2）如圖二，若把直線EF向上移動，使得EF與O相交于G，C兩點（點C在點G的右側(cè)），連接AC，AG，若題中其他條件不變，這時圖中是否存在與CAD相等的角？若存在，找出一個這樣的角，

49、并證明；若不存在，說明理由【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)定理以及等角的余角相等即可證明；（2）構(gòu)造直徑所對的圓周角，根據(jù)等弧所對的圓周角相等以及等角的余角相等，發(fā)現(xiàn)BAC=GAD，再根據(jù)等式的性質(zhì)即可證明BAG=DAC【解答】（1）證明：如圖一，連接OC，則OCEF，且OC=OA，易得OCA=OACADEF，OCADOCA=CAD，CAD=OAC即CAD=BAC（2）解：與CAD相等的角是BAG證明如下：如圖二，連接BG四邊形ACGB是O的內(nèi)接四邊形，ABG+ACG=180°D，C，G共線，ACD+ACG=180°ACD=ABGAB是O的直徑，BAG+ABG=90&

50、#176;ADEFCAD+ACD=90°CAD=BAG【點評】此題運用了切線的性質(zhì)定理、圓周角定理的推論注意根據(jù)等角的余角相等是證明角相等的一種常用方法18完成下列各題：（1）如圖，在矩形ABCD中，AF=BE，求證：DE=CF；（2）如圖，AB是O的直徑，CA與O相切于點A，連接CO交O于點D，CO的延長線交O于點E，連接BE，BD，ABD=25°，求C的度數(shù)【分析】（1）要證明DE=CF，只要證明ADEBCF即可根據(jù)全等三角形的判定定理，可以得出結(jié)論（2）先求出EBO，再利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，可求出AOC，從而求出C的度數(shù)【解答】證明：（1）矩形ABCD

51、，A=B、AD=BC，AF=BE，AE=BF，在ADE與BCF中，ADEBCF（SAS）DE=CF；（2）AC是O的切線，CAO=90°又AOC=2ABD=50°，C=180°AOCCAO=180°50°90°=40°【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，各內(nèi)角為90°，對邊相等根據(jù)三角形全等的判定定理求出全等三角形，是證明線段相等的常用方法19（2016揚州）如圖1，以ABC的邊AB為直徑的O交邊BC于點E，過點E作O的切線交AC于點D，且EDAC（1）試判斷ABC的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若線段AB、DE的延長

52、線交于點F，C=75°，CD=2，求O的半徑和BF的長【分析】（1）連接OE，根據(jù)切線性質(zhì)得OEDE，與已知中的EDAC得平行，由此得1=C，再根據(jù)同圓的半徑相等得1=B，可得出三角形為等腰三角形；（2）通過作輔助線構(gòu)建矩形OGDE，再設(shè)與半徑有關(guān)系的邊OG=x，通過AB=AC列等量關(guān)系式，可求得結(jié)論【解答】解：（1）ABC是等腰三角形，理由是：如圖1，連接OE，DE是O的切線，OEDE，EDAC，ACOE，1=C，OB=OE，1=B，B=C，ABC是等腰三角形；（2）如圖2，過點O作OGAC，垂足為G，則得四邊形OGDE是矩形，ABC是等腰三角形，B=C=75°，A=180°75°75°=30°，設(shè)OG=x，則OA=OB=OE=2x，AG=x，DG=0E=2x，根據(jù)AC=AB得：4x=x+2x+2，x=1，0E=OB=2，在直角OEF中，EOF=A=30°，cos30=，OF=2÷=，BF=2，O的半徑為2【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系，由此得出平行和角的關(guān)系，根據(jù)兩個角相等的三角形是等腰三角形可得ABC是等腰三角形；第二問運用了直角三角形30°角的性質(zhì)及等腰三角形和矩形的有關(guān)性質(zhì)，關(guān)鍵