結構力學第11章結構極限荷載與彈性穩(wěn)定

1、11-1 概述11-2 基本概念11-3 比例加載一般規(guī)律11-4 超靜定結構的極限荷載計算11-5 壓桿臨界荷載1、彈性分析方法、彈性分析方法 把結構當作理想彈性體，用容許應力法計算結構的強度。把結構當作理想彈性體，用容許應力法計算結構的強度。 其強度條件為其強度條件為2、塑性分析方法、塑性分析方法 按極限荷載計算結構強度，以結構進入塑性階段并最后喪失按極限荷載計算結構強度，以結構進入塑性階段并最后喪失 承載能力時的極限狀態(tài)作為結構破壞的標志。強度條件為承載能力時的極限狀態(tài)作為結構破壞的標志。強度條件為11-1 概述max結構的實際最大應力；結構的實際最大應力；材料的容許應力；材料的容許應力

2、； u材料的極限應力；材料的極限應力； k安全系數(shù)。安全系數(shù)。F結構實際承受的荷載；結構實際承受的荷載；Fu極限荷載；極限荷載；K安全系數(shù)。安全系數(shù)。 maxukuFFK11-1 概述 結構塑性分析中，為簡化計算，把材料的應力與應變關結構塑性分析中，為簡化計算，把材料的應力與應變關系作合理地簡化。簡化為系作合理地簡化。簡化為理想彈塑性理想彈塑性材料。如圖所示。材料。如圖所示。OA段：材料是理想彈性的，應力段：材料是理想彈性的，應力 與應變成正比。與應變成正比。AB段：材料是理想塑性的，應力不段：材料是理想塑性的，應力不 變，應變可以任意增長。變，應變可以任意增長。CD段：應力減為零時，有殘余應

3、段：應力減為零時，有殘余應 變變OD。 結構的塑性分析中，疊加原理不再適用。只考慮荷載一結構的塑性分析中，疊加原理不再適用。只考慮荷載一次加于結構，且各荷載按同一比例增加次加于結構，且各荷載按同一比例增加比例加載比例加載。主要內(nèi)容主要內(nèi)容：解釋幾個基本概念，：解釋幾個基本概念，極限彎矩極限彎矩、塑塑性鉸性鉸和和極限狀態(tài)極限狀態(tài)。圖圖示例示例：純彎曲狀態(tài)純彎曲狀態(tài)下的下的理想彈塑性材料理想彈塑性材料的矩的矩形截面梁。形截面梁。隨著彎矩隨著彎矩MM的增大，梁會經(jīng)歷由彈性階段到彈的增大，梁會經(jīng)歷由彈性階段到彈塑性階段最后達到塑性階段的過程。（塑性階段最后達到塑性階段的過程。（見下頁圖）見下頁圖）Mh

4、Mb11-2 基本概念實驗表明實驗表明：無論在哪一個階段，梁彎曲變形時：無論在哪一個階段，梁彎曲變形時的的平面假定平面假定都成立。都成立。a)b)c)ssy0y0sssshb11-2 基本概念一、極限彎矩一、極限彎矩分析：分析：(1) 圖圖(a)表示表示截面處于彈性階段截面處于彈性階段。該階段的最大應力發(fā)生在截面最外纖維處，該階段的最大應力發(fā)生在截面最外纖維處，稱為稱為屈服極限屈服極限 y，此時的彎矩，此時的彎矩Ms稱為稱為彈性彈性極限彎矩極限彎矩，或稱為，或稱為屈服彎矩屈服彎矩。即：。即： ssa)26SsbhM （2）圖圖(b）截面處于彈塑性階段截面處于彈塑性階段，截面外邊緣處成為塑性區(qū)，

5、截面外邊緣處成為塑性區(qū)，應力為常數(shù)應力為常數(shù)， b)y0y0ss11-2 基本概念 = s；在截面內(nèi)部在截面內(nèi)部(|y| y0)則則仍為仍為彈性區(qū)彈性區(qū)，稱為，稱為彈性彈性核核，其其應力為直線分布應力為直線分布，即：，即： (3) 圖圖(c)表示表示截面達到塑性流動階段截面達到塑性流動階段。在彈塑性階段中，隨著在彈塑性階段中，隨著M增大，彈性核的增大，彈性核的高度逐漸減小，最后高度逐漸減小，最后y00。此時相應彎此時相應彎矩矩是截面所能承受的最大彎矩，是截面所能承受的最大彎矩，稱為稱為“極限彎矩極限彎矩” ，即：，即：c)ss11-2 基本概念 比較兩式比較兩式可知：對于矩形截面，可知：對于矩

6、形截面，極限彎矩為彈極限彎矩為彈性極限彎矩的性極限彎矩的1.5倍倍，即，即Mu=1.5Ms。 二、二、 塑性鉸和極限荷載塑性鉸和極限荷載 在塑性流動階段，在極限彎矩在塑性流動階段，在極限彎矩Mu保持不變的保持不變的情況下，情況下，兩個無限靠近的截面可以產(chǎn)生有限的相對兩個無限靠近的截面可以產(chǎn)生有限的相對轉角轉角。因此，當某截面彎矩達到極限彎矩。因此，當某截面彎矩達到極限彎矩Mu時，就時，就稱該截面產(chǎn)生了稱該截面產(chǎn)生了塑性鉸塑性鉸。 塑性鉸是單向鉸塑性鉸是單向鉸。因卸載時應力增量與應變增。因卸載時應力增量與應變增量仍為直線關系，截面恢復彈性性質(zhì)。量仍為直線關系，截面恢復彈性性質(zhì)。 因此因此塑性鉸塑

7、性鉸11-2 基本概念只能沿彎矩增大的方向發(fā)生有限的只能沿彎矩增大的方向發(fā)生有限的相對相對轉角轉角。若沿若沿相反方向變形，則截面立即恢復其彈性剛度而不再相反方向變形，則截面立即恢復其彈性剛度而不再具有鉸的性質(zhì)具有鉸的性質(zhì)。FPul/2l/2FPuMuMu 上圖示上圖示簡支梁跨中受集中力作用，隨著荷載的簡支梁跨中受集中力作用，隨著荷載的增大，梁跨中截面彎矩達到極限彎矩增大，梁跨中截面彎矩達到極限彎矩Mu，跨中截，跨中截面形成塑性鉸。這時簡支梁已成為機構，面形成塑性鉸。這時簡支梁已成為機構，跨中撓度跨中撓度11-2 基本概念可以繼續(xù)增大而承載力不能增大，這種狀態(tài)稱為可以繼續(xù)增大而承載力不能增大，這

8、種狀態(tài)稱為極極限狀態(tài)限狀態(tài)，相應的荷載稱為，相應的荷載稱為極限荷載極限荷載FPu。例例11-1-1 設有矩形截面簡支梁在跨中承受集中荷載設有矩形截面簡支梁在跨中承受集中荷載作用作用(圖圖a)，試求極限荷載，試求極限荷載FPu 。解解：由：由M圖知圖知跨中截面跨中截面彎矩最大彎矩最大，在極限荷載作用，在極限荷載作用下，下，塑性鉸將在跨中截面形塑性鉸將在跨中截面形成成，彎矩達極限值，彎矩達極限值Mu(圖圖b)。11-2 基本概念由此得出由此得出極限荷載極限荷載FPu，即有，即有 最后指出：這幾個概念是非常重要的。討論矩最后指出：這幾個概念是非常重要的。討論矩形截面梁在純彎曲狀態(tài)下所獲得的結果，利用

9、其它形截面梁在純彎曲狀態(tài)下所獲得的結果，利用其它形式的截面形狀，也有類似的結果。形式的截面形狀，也有類似的結果。由由靜力條件靜力條件，有：，有：11-2 基本概念 為了保證結構的安全和正常使用，設計中除了進行強為了保證結構的安全和正常使用，設計中除了進行強度計算和剛度驗算外，還須計算其穩(wěn)定性。度計算和剛度驗算外，還須計算其穩(wěn)定性。11-2 基本概念 三、三、 穩(wěn)定問題穩(wěn)定問題 1、三種不同性質(zhì)的平衡、三種不同性質(zhì)的平衡 穩(wěn)定平衡：在某個平衡狀態(tài)，輕微干擾，偏離原位，穩(wěn)定平衡：在某個平衡狀態(tài)，輕微干擾，偏離原位， 干擾消失，恢復原位。干擾消失，恢復原位。 中性平衡：由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡的中間狀

10、態(tài)。中性平衡：由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡的中間狀態(tài)。 不穩(wěn)定平衡：在某個平衡狀態(tài)，輕微干擾，偏離原位，不穩(wěn)定平衡：在某個平衡狀態(tài)，輕微干擾，偏離原位， 干擾消失，不能恢復原位。干擾消失，不能恢復原位。結構失穩(wěn)現(xiàn)象分為：第一類失穩(wěn)現(xiàn)象、第二類失穩(wěn)現(xiàn)象。結構失穩(wěn)現(xiàn)象分為：第一類失穩(wěn)現(xiàn)象、第二類失穩(wěn)現(xiàn)象。 圖圖a所示理想中心受壓直桿。當所示理想中心受壓直桿。當F值達到值達到某一特定數(shù)值時，由于干擾壓桿發(fā)生微小彎某一特定數(shù)值時，由于干擾壓桿發(fā)生微小彎曲，取消干擾后，壓桿將停留在彎曲位置上，曲，取消干擾后，壓桿將停留在彎曲位置上，不能回到原來的直線位置，如圖不能回到原來的直線位置，如圖b。 此時壓桿既具有原

11、來只有軸力的直線平衡形此時壓桿既具有原來只有軸力的直線平衡形式，也具有新的同時受壓和受彎的彎曲平衡形式式，也具有新的同時受壓和受彎的彎曲平衡形式這種現(xiàn)象為壓桿這種現(xiàn)象為壓桿喪失了第一類穩(wěn)定性喪失了第一類穩(wěn)定性。分支點失穩(wěn)分支點失穩(wěn)11-2 基本概念 2、兩類不同形式的失穩(wěn)、兩類不同形式的失穩(wěn) 圖圖a所示承受均布水壓力的圓環(huán)，當壓所示承受均布水壓力的圓環(huán)，當壓力達到臨界值力達到臨界值qcr時，出現(xiàn)了新的非圓的平衡時，出現(xiàn)了新的非圓的平衡形式。形式。 圖圖b所示承受均布荷載的所示承受均布荷載的拋物線拱，圖拋物線拱，圖c 所示剛架，荷所示剛架，荷載達到臨界值之前處于受壓載達到臨界值之前處于受壓狀態(tài)，

12、荷載達到臨界值時出狀態(tài)，荷載達到臨界值時出現(xiàn)同時具有壓縮和彎曲變形現(xiàn)同時具有壓縮和彎曲變形的新的平衡形式。的新的平衡形式。 圖圖c所示工字梁，荷載達到臨界值前僅所示工字梁，荷載達到臨界值前僅在復板平面內(nèi)彎曲，荷載達到臨界值時發(fā)生在復板平面內(nèi)彎曲，荷載達到臨界值時發(fā)生斜彎曲和扭轉。斜彎曲和扭轉。11-2 基本概念喪失第一類穩(wěn)定性的特征：喪失第一類穩(wěn)定性的特征：結構的平衡形式及內(nèi)力和變形狀態(tài)發(fā)生質(zhì)的突變，結構的平衡形式及內(nèi)力和變形狀態(tài)發(fā)生質(zhì)的突變，原有平衡形式已不穩(wěn)定，同時出現(xiàn)新的有質(zhì)的區(qū)別的平衡形式。原有平衡形式已不穩(wěn)定，同時出現(xiàn)新的有質(zhì)的區(qū)別的平衡形式。 圖圖a所示由塑性材料制成所示由塑性材料

13、制成的偏心受壓直桿，一開始就處的偏心受壓直桿，一開始就處于同時受壓和彎曲的狀態(tài)。當于同時受壓和彎曲的狀態(tài)。當F達到臨界值達到臨界值Fcr時，荷載不增時，荷載不增加或減小，撓度仍繼續(xù)增加如加或減小，撓度仍繼續(xù)增加如圖圖b喪失第二類穩(wěn)定性。喪失第二類穩(wěn)定性。極值點失穩(wěn)極值點失穩(wěn) 工程結構實際上均屬于第二類穩(wěn)工程結構實際上均屬于第二類穩(wěn)定問題?？蓪⑵浜喕癁橐活惙€(wěn)定問題定問題?？蓪⑵浜喕癁橐活惙€(wěn)定問題來處理。來處理。11-2 基本概念11-3 比例加載一般規(guī)律結構處于極限受力狀態(tài)時必須滿足的條件即所求極結構處于極限受力狀態(tài)時必須滿足的條件即所求極限荷載必須同時滿足下面三個條件限荷載必須同時滿足下面三個

14、條件平衡條件：結構處于極限狀態(tài)時，結構的整體或平衡條件：結構處于極限狀態(tài)時，結構的整體或任一局部都能維持平衡。任一局部都能維持平衡。單向機構條件：單向機構條件：在極限狀態(tài)下，在極限狀態(tài)下，結構已有足夠數(shù)量結構已有足夠數(shù)量的截面內(nèi)力達到極限值而使結構轉化為機構，能夠沿的截面內(nèi)力達到極限值而使結構轉化為機構，能夠沿荷載作正功的方向作單向運動。荷載作正功的方向作單向運動。uMM11-3 比例加載一般規(guī)律內(nèi)力局限條件內(nèi)力局限條件( (屈服條件屈服條件) )：在極限狀態(tài)下，結構任：在極限狀態(tài)下，結構任一截面的內(nèi)力都不超過其極限值。任一截面彎矩絕一截面的內(nèi)力都不超過其極限值。任一截面彎矩絕對值都不超過其極

15、限彎矩對值都不超過其極限彎矩可破壞荷載可破壞荷載可接受荷載可接受荷載可破壞荷載可破壞荷載 只滿足平衡條件和單向機構條件。只滿足平衡條件和單向機構條件?？山邮芎奢d可接受荷載 只滿足平衡條件和內(nèi)力局限條件。只滿足平衡條件和內(nèi)力局限條件。PFPFPF 將滿將滿足單向機構條件和平衡條件的荷載稱為可破壞足單向機構條件和平衡條件的荷載稱為可破壞荷載。換言之對于任一單向破壞機構，用平衡條件求得荷載。換言之對于任一單向破壞機構，用平衡條件求得的荷載值，用的荷載值，用 表示。表示。 將滿足內(nèi)力局限條件和平衡條件的荷載稱為可接受荷將滿足內(nèi)力局限條件和平衡條件的荷載稱為可接受荷載。換言之如果在某個荷載值的情況下，能

16、夠找到某一內(nèi)載。換言之如果在某個荷載值的情況下，能夠找到某一內(nèi)力狀態(tài)與之平衡，且各截面的內(nèi)力都不超過其極限值，此力狀態(tài)與之平衡，且各截面的內(nèi)力都不超過其極限值，此荷載值稱為可接受荷載用荷載值稱為可接受荷載用 表示。表示。PF11-3 比例加載一般規(guī)律基本定理基本定理: :可破壞荷載可破壞荷載 恒不小于可接受荷載恒不小于可接受荷載 ，即，即PFPFPPFF唯一性定理：極限荷載值是唯一確定的。若某一荷唯一性定理：極限荷載值是唯一確定的。若某一荷載既是可破壞荷載，又是可接受荷載，則該荷載就是載既是可破壞荷載，又是可接受荷載，則該荷載就是極限荷載。極限荷載。上限定理（極小定理）上限定理（極小定理）可接

17、受荷載是極限荷載的下限?？山邮芎奢d是極限荷載的下限。換言之，可接受荷載換言之，可接受荷載中的極大值是中的極大值是即極限荷載。即極限荷載。PuPFF三、比例加載的一般定理三、比例加載的一般定理可破壞荷載是極限荷載的上限?？善茐暮奢d是極限荷載的上限。換言之，可破壞荷載中換言之，可破壞荷載中的極小值的極小值即即是是極限荷載。極限荷載。PuPFF下限定理（極大定理）下限定理（極大定理）11-3 比例加載一般規(guī)律一、單跨超靜定梁的極限荷載 為了求得極限荷載，需為了求得極限荷載，需確定結構的破壞形態(tài)確定結構的破壞形態(tài)，即即確定塑性鉸的位置及數(shù)量確定塑性鉸的位置及數(shù)量。 塑性鉸首先出現(xiàn)在彎矩最大的截面塑性鉸

18、首先出現(xiàn)在彎矩最大的截面，隨著荷載，隨著荷載的增大，其他截面也可能出現(xiàn)的增大，其他截面也可能出現(xiàn)新的塑性鉸新的塑性鉸直至結構直至結構變?yōu)樽優(yōu)榫哂凶杂啥鹊臋C構從而喪失承載能力具有自由度的機構從而喪失承載能力為止。為止。 極限荷載的求解極限荷載的求解無需考慮無需考慮變形協(xié)調(diào)條件、結構變形協(xié)調(diào)條件、結構變形的過程變形的過程以及以及塑性鉸形成的次序。塑性鉸形成的次序。11-4 超靜定結構的極限荷載計算 利用利用靜力平衡方程靜力平衡方程求求極限荷載極限荷載的方法稱為的方法稱為靜力法靜力法。 利用利用虛功方程虛功方程求求極限荷載極限荷載的方法稱為的方法稱為虛功法。虛功法。例11-4-1 求梁的極限荷載FP

19、u,截面極限彎矩為Mu。1）靜力法：靜力法：1142614()2uPuuuPuuuMF lMMFMMll解：解：結構在結構在A、C截面截面出現(xiàn)塑性鉸。出現(xiàn)塑性鉸。FPCl/2l/2ABFPuMuCABMu解釋解釋11-4 超靜定結構的極限荷載計算 令機構產(chǎn)生虛位移，使令機構產(chǎn)生虛位移，使C C截面豎向位移和荷載截面豎向位移和荷載FPu同向，大小為同向，大小為。2）虛功法虛功法1212/ 242lll外力虛功：外力虛功：內(nèi)力虛功：內(nèi)力虛功：12624()uiuuuMWMMMlll由由We=Wi，可得：，可得： 6uPuMFlFPuCABMuMu121l/2l/21212/ 242lllPueFW

20、 一次超靜定一次超靜定二個塑性鉸二個塑性鉸11-4 超靜定結構的極限荷載計算例11-4-2 求梁的極限荷載FPu，已知極限彎矩為Mu。2112244uulWq lq l 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功由由We=Wi，可得，可得2144uuq lM所以有所以有216uuMqlquACBMuMuMu24l4l2l解：解：外力虛功外力虛功ACBql/2l/2uuuuiMMMMW4 2三次超靜定三次超靜定三個塑性鉸三個塑性鉸11-4 超靜定結構的極限荷載計算例11-4-3 已知梁截面極限彎矩為Mu ，求極限荷載 。解解:塑性鉸位置：塑性鉸位置：A截面及梁上最大彎矩截面截面及梁上最大彎矩截面C。整體平衡整體平衡0AM

21、 21 1()2RBuuFq lMl12uRBuMFq llBlqAquABl-xMuMuCCARBFx022uuRBMlqlF11-4 超靜定結構的極限荷載計算RBuFq x1122uuuuuMMq lq xxllq lBCBC段平衡段平衡0yF 0QCRBuFFq xquxBCMuBCBC段平衡段平衡0CMQCFRBF2222111222uRBuuuuMF xq xq xq xq x2222222(2)1111()(2)222(2)8uuuuuuuuuuuMq lMMqlqq lMq lq lq lquxBCMuQCF11-4 超靜定結構的極限荷載計算24223.31411.6572uuu

22、l MMqll24242224412144161211.31422uuuuuul Ml Ml Ml Ml Mqll42221240uuuul ql M qM222(2)8uuuuq lMq l M11-4 超靜定結構的極限荷載計算例11-4-4 求圖示梁的極限荷載。塑性鉸的可能位置：塑性鉸的可能位置：A A、B B、DD。ABCD/3l/3l/3lPF解解: :ABAB段極限彎矩為段極限彎矩為 ，BCBC段極限彎矩為段極限彎矩為Mu。uMABCDFPuMuMuBD/3l/3l/3l11-4 超靜定結構的極限荷載計算1）B、D截面出現(xiàn)塑性截面出現(xiàn)塑性 鉸，由彎矩圖可知，只鉸，由彎矩圖可知，只有當

23、有當 時，此破時，此破壞形態(tài)才可能實現(xiàn)。壞形態(tài)才可能實現(xiàn)。PuuBuDFMM 36BDll36()PuuFMll 9(3)PuuuuFMMMlABCDFPuMuMuABCDFPuMuMuBD/3l/3l/3l3uuMM3uuMM11-4 超靜定結構的極限荷載計算3339222ADllll3(3)2(3)PuuuuuFMMlMM ABCDFPuMuACDFPuMuDA2 /3l/3l2）A、D截面出現(xiàn)塑性鉸。截面出現(xiàn)塑性鉸。 由彎矩圖可知，只有當由彎矩圖可知，只有當 即即 時，此破壞形態(tài)才可能實現(xiàn)。時，此破壞形態(tài)才可能實現(xiàn)。PuuAuDFMM 3922PuuuFMMll 1()2uuuMMM3u

24、uMMuM uM1()2uuMM11-4 超靜定結構的極限荷載計算3）當當 時，則前面兩種破壞形態(tài)均可能出時，則前面兩種破壞形態(tài)均可能出現(xiàn)，則：現(xiàn)，則： 為了計算超靜定結構的極限荷載，關鍵是確定為了計算超靜定結構的極限荷載，關鍵是確定真實的破壞形態(tài)，即真實的破壞形態(tài)，即塑性鉸的數(shù)量及位置塑性鉸的數(shù)量及位置。無需考。無需考慮變形協(xié)調(diào)條件，也不受溫度變化和支座移動等因慮變形協(xié)調(diào)條件，也不受溫度變化和支座移動等因素的影響，因為這些因素只影響變形的發(fā)展過程，素的影響，因為這些因素只影響變形的發(fā)展過程，并不影響極限荷載的大小。并不影響極限荷載的大小。33(3)( 33)229 P uuuuuuFMMMM

25、llMl33( 3) ( 3 3)229 P uuuuuuFMMMMllMl 3uuMM 11-4 超靜定結構的極限荷載計算 假設假設: 1）連續(xù)梁每一跨內(nèi)等截面，但各跨的截連續(xù)梁每一跨內(nèi)等截面，但各跨的截面可以彼此不同，故各跨可以有不同的面可以彼此不同，故各跨可以有不同的Mu； 2）各跨荷載方向相同，且按相同比例增大。各跨荷載方向相同，且按相同比例增大。 因此，因此，連續(xù)梁只能在各跨獨立形成連續(xù)梁只能在各跨獨立形成破壞機構破壞機構，而而不能由相鄰兩跨聯(lián)合形成破壞機構不能由相鄰兩跨聯(lián)合形成破壞機構。因為各跨在。因為各跨在豎向荷載作用下，每跨內(nèi)的最大負彎矩只可能在各豎向荷載作用下，每跨內(nèi)的最大負

26、彎矩只可能在各跨兩端出現(xiàn)，即負塑性鉸只可能跨兩端出現(xiàn)，即負塑性鉸只可能出現(xiàn)在出現(xiàn)在兩端。兩端。二、連續(xù)梁的極限荷載二、連續(xù)梁的極限荷載 主要討論連續(xù)梁破壞機構的形式。主要討論連續(xù)梁破壞機構的形式。11-4 超靜定結構的極限荷載計算 連續(xù)梁一跨破壞就認為連續(xù)梁喪失承載能力連續(xù)梁一跨破壞就認為連續(xù)梁喪失承載能力。連續(xù)梁極限荷載的求解同單跨梁。連續(xù)梁極限荷載的求解同單跨梁。1PF2PFuM1 PF2 PFuM1PF2PFuMuM1PF2PFuMuM11-4 超靜定結構的極限荷載計算例例11-4-5 求連續(xù)梁的極限荷載。求連續(xù)梁的極限荷載。1(2)2PuulFM16uPuMFl解：解： 1) AB跨跨

27、ABCMu2FPMu1.2Mu1.2Mu1.2Mu0.5l0.5l0.75l0.75lFPABCFPu1MuMu2/2l11-4 超靜定結構的極限荷載計算2) BCBC跨跨2321.2(2)4PuuulFMM234.62PuulFM23.07uPuMFl3.07uPuMFl故ABCMu2FPu21.2Mu1.2Mu23/4l注意注意B B點點12PuPuFF11-4 超靜定結構的極限荷載計算例例11-4-6 在圖（在圖（a）所示的連續(xù)梁中，每跨為等截）所示的連續(xù)梁中，每跨為等截面。設面。設AB和和BC跨的正極限彎矩為跨的正極限彎矩為Mu，CD跨的正極跨的正極限彎矩為限彎矩為2Mu；又各跨負極限

28、彎矩為正極限彎矩的；又各跨負極限彎矩為正極限彎矩的1.2倍。試求此連續(xù)梁的極限荷載倍。試求此連續(xù)梁的極限荷載Fqu。(a)ABCD1.5FqlFqlFql0.5l 0.5l0.75l0.75l解：解：分別求出各跨獨立破壞時的破壞荷載。分別求出各跨獨立破壞時的破壞荷載。11-4 超靜定結構的極限荷載計算(b) 1.2MuMu注意注意：塑性鉸處的極限彎矩與由它產(chǎn)生的轉角：塑性鉸處的極限彎矩與由它產(chǎn)生的轉角方向一致。方向一致。AB跨破壞時跨破壞時(圖圖b)：126.4quuFMl1.2()1.2()0.50.50.5quBuABuuFlMMMMlll11-4 超靜定結構的極限荷載計算(c)1.2Mu

29、1.2Mu MuBC跨破壞時跨破壞時(圖圖c)：CD跨破壞時跨破壞時(圖圖d)：(d)2.4Mu1.2Mu 2Mu226.4quuFMl8.81.21.2()2quBuCuBCuF lMMMMl11-4 超靜定結構的極限荷載計算 比較比較可知，可知，AB跨首先破壞，極限荷載為：跨首先破壞，極限荷載為：(d)2.4Mu1.2Mu 2Mu37.61.22.42()20.75quCuDuCDuF lMMMMl326.756quuFMl123quququFFF126.4ququuFFMl11-4 超靜定結構的極限荷載計算 本節(jié)僅限于討論單層單跨剛架的極限荷載。對本節(jié)僅限于討論單層單跨剛架的極限荷載。對

30、于剛架，首先要確定塑性鉸可能產(chǎn)生的截面位置，于剛架，首先要確定塑性鉸可能產(chǎn)生的截面位置，然后根據(jù)可能的破壞機構用機構法或試算法求極限然后根據(jù)可能的破壞機構用機構法或試算法求極限荷載。荷載。例例11-4-7 求剛架的求剛架的極限荷載。極限荷載。ABCDEFPFPMu1.5MuMulll解：解： 1、機構法、機構法剛架可在剛架可在A A、B B、C C、DD、E E產(chǎn)生產(chǎn)生塑性鉸塑性鉸。一、鋼架的極限荷載11-4 超靜定結構的極限荷載計算三種可能的破壞機構為：三種可能的破壞機構為： 梁機構；梁機構； 側移機構；側移機構； 組合機構。組合機構。1）梁機構121.525PuuuFlMMM 15uPMF

31、lABCDEMu1.5MuMulll1PF1PF2la) 梁機構梁機構11-4 超靜定結構的極限荷載計算2）側移機構24PuFlM24uPMFlb) 側移機構側移機構ABCDEMuMullllMuMul2PF2PFc) 組合機構組合機構A AB BC CDDE E1.5MuMullllMuMul2l3PF3PF3341.52PPuuFlFlMM 33.5uPMFl3）組合機構）組合機構11-4 超靜定結構的極限荷載計算可見，極限荷載為：可見，極限荷載為：33.5uPuPMFFl 若分別選定上述三種破壞機構：梁機構、側移若分別選定上述三種破壞機構：梁機構、側移機構和組合機構，則求出的可破壞荷載同

32、上。機構和組合機構，則求出的可破壞荷載同上。 下面分別畫出三種破壞機構對應的彎矩圖，檢下面分別畫出三種破壞機構對應的彎矩圖，檢驗結構任一截面彎矩是否均小于驗結構任一截面彎矩是否均小于Mu，若結論成立，若結論成立，則則 也是可接受荷載，因此該荷載就是極限荷載。也是可接受荷載，因此該荷載就是極限荷載。PF2. 試算法試算法11-4 超靜定結構的極限荷載計算1）梁機構52uyEMFl55222uuAEMMMMllll由由BDBD桿平衡可求得桿平衡可求得0AM 整體平衡：整體平衡：5AuEMMM 故故MA和和ME中一定有一個數(shù)值大于中一定有一個數(shù)值大于Mu，不滿足不滿足內(nèi)力局限條件。內(nèi)力局限條件。AB

33、CDEMu1.5MuMulllAMEM5uMl5uMl52uMl11-4 超靜定結構的極限荷載計算2）側移機構2CuMM用疊加法畫用疊加法畫BDBD桿彎矩圖可得：桿彎矩圖可得： ?？梢?，該彎矩圖不滿足內(nèi)力局限條件?？梢?，該彎矩圖不滿足內(nèi)力局限條件。ABCDEMu2MuMulllMuMu4uMl4uMl11-4 超靜定結構的極限荷載計算3）組合機構2()uMl1.50.5()uBuuMMlMMl 右拉可見，該彎矩圖滿足屈服條件，故極限荷載為：可見，該彎矩圖滿足屈服條件，故極限荷載為：33.5uPuPMFFl柱柱DEDE下端剪力為：下端剪力為：1.5()uMl柱柱BABA下端剪力為：下端剪力為：由

34、柱由柱ABAB平衡可得：平衡可得：ABCDE0.5Mu1.5MuMulllMuMu3.5uMl3.5uMl1.5uMl2uMl11-4 超靜定結構的極限荷載計算 2.522 ()24.5PPPFlWFlllF l 4228iuuuWMMM1.778uPMFl解：解：取組合機構，近似取梁取組合機構，近似取梁BC的跨中截面產(chǎn)生塑性鉸。的跨中截面產(chǎn)生塑性鉸。MuMuABCD2MuFP2l2l2.5/PqFlMuABCD2Mu2l2lMuMu2PF2.5/PqFl2 l l例例11-4-8 求剛架的極限荷載。求剛架的極限荷載。11-4 超靜定結構的極限荷載計算 作結構作結構M 圖，求得跨中圖，求得跨中

35、附近截面最大彎矩為：附近截面最大彎矩為：max2.07uMM21.7781.7182.07uuPMMFll1.7181.778uuPuMMFll用因子用因子2/2.07對對 進行進行 故故 不是不是極限荷載，應進行修正。極限荷載，應進行修正。折折減得：減得：實際上應有實際上應有1(1.718 1.778)1.7482uuPuMMFll取兩者平均值取兩者平均值MuABCD2MuMuMu0.556Mu2.07Mu1.778uPMFl0.778/uMl/uMlPF11-4 超靜定結構的極限荷載計算確定臨界荷載的方法確定臨界荷載的方法靜力法靜力法應用靜力平衡條件求解；應用靜力平衡條件求解；能量法能量法

36、應用以能量形式表示的平衡條件。應用以能量形式表示的平衡條件。結構穩(wěn)定的自由度結構穩(wěn)定的自由度：為確定結構失穩(wěn)時所有可能的變形狀態(tài)：為確定結構失穩(wěn)時所有可能的變形狀態(tài) 所需的獨立參數(shù)的數(shù)目。所需的獨立參數(shù)的數(shù)目。 圖圖a所示所示支承在抗轉支承在抗轉彈簧上的剛彈簧上的剛性壓桿，確性壓桿，確定失穩(wěn)時變定失穩(wěn)時變形狀態(tài)的獨形狀態(tài)的獨立參數(shù)為立參數(shù)為1，只有只有一個自一個自由度由度。 圖圖b所示結所示結構，則構，則需兩個需兩個獨立參獨立參數(shù)，具數(shù)，具有有兩個兩個自由度自由度。 圖圖c所所示彈性壓示彈性壓桿，則需桿，則需無限多個無限多個獨立參數(shù)，獨立參數(shù)，具有具有無限無限多自由度多自由度。11-5 壓桿臨

37、界荷載靜力法靜力法依據(jù)結構失穩(wěn)時平衡的二重性，應用靜力平衡條件，依據(jù)結構失穩(wěn)時平衡的二重性，應用靜力平衡條件， 求解結構在新的形式下能維持平衡的荷載，其最小值求解結構在新的形式下能維持平衡的荷載，其最小值 即為臨界荷載。即為臨界荷載。 圖圖a所示單自由度結構，設壓桿偏所示單自由度結構，設壓桿偏離豎直位置時仍處于平衡狀態(tài)如圖離豎直位置時仍處于平衡狀態(tài)如圖b。由由MA=0有有0sinkFl0當當 時上式滿足，對應原有的平衡形式時上式滿足，對應原有的平衡形式位移很小時可認為位移很小時可認為sin故有故有0)(kFl穩(wěn)定方程或特征方程穩(wěn)定方程或特征方程0對于新的平衡形式，對于新的平衡形式， 則有則有0

38、kFl11-5 壓桿臨界荷載由穩(wěn)定方程解得由穩(wěn)定方程解得lkF cr結構處于隨遇平衡狀態(tài)，如圖結構處于隨遇平衡狀態(tài)，如圖c中的中的AB段。段。sinlkF 若采用精確的方程則有若采用精確的方程則有若只求臨界荷載，可采用近似方程求解。若只求臨界荷載，可采用近似方程求解。 當當 時，時， 與與F的數(shù)值仍是一一對應的數(shù)值仍是一一對應的，如圖的，如圖c中的中的AC段。段。0n個自由度的結構個自由度的結構對新的平衡形式列出對新的平衡形式列出n個平衡方程個平衡方程n個獨立參數(shù)的齊次方程個獨立參數(shù)的齊次方程系數(shù)行列式系數(shù)行列式D=0的條的條件件建立穩(wěn)定方程建立穩(wěn)定方程n個根中的最小值為個根中的最小值為臨界荷

39、載臨界荷載11-5 壓桿臨界荷載例例11-5-1 試求圖試求圖a所示結構的臨界荷載。兩抗移彈性支座的所示結構的臨界荷載。兩抗移彈性支座的 剛均為剛均為k。解：結構有兩個自由度，失穩(wěn)時解：結構有兩個自由度，失穩(wěn)時A、 B點的位移如圖點的位移如圖b。設位移是微小的，由設位移是微小的，由MB=0，MC=0020)(211112lkylkyFylkyyyF即即)a (0)2(0)(2121klyyFklFyyFkly1、y2不全為零，則應有不全為零，則應有0)2()(klFklFFkl展開展開0)(322klklFF解得解得klklklF382. 0618. 2253臨界荷載臨界荷載klF382. 0

40、cr11-5 壓桿臨界荷載由由(a)式不能求得式不能求得y1、y2的確定解答，但可以求出兩者的比值。的確定解答，但可以求出兩者的比值。將將klF253代回代回(a)式可得式可得618. 0535112yy相應的位移圖如圖相應的位移圖如圖c。將將klF253代回代回(a)式可得式可得618. 1535112yy相應的位移圖如圖相應的位移圖如圖d。實際結構必先以圖實際結構必先以圖d的形式失穩(wěn)，圖的形式失穩(wěn)，圖c只是理論上存在。只是理論上存在。11-5 壓桿臨界荷載例11-5-3 圖圖a所示一端固定另一端鉸支的等截面中心受壓彈所示一端固定另一端鉸支的等截面中心受壓彈 性直桿，設其已處于新的曲線平衡形

41、式，則任一性直桿，設其已處于新的曲線平衡形式，則任一 截面的彎矩為截面的彎矩為)(SxlFFyM撓曲線的近似微分方程為撓曲線的近似微分方程為)(SxlFFyMyEI )(SxlEIFyEIFy 令令EIFn 2)(S22xlFFnyny 微分方程的通解為微分方程的通解為)(sincosSxlFFnxBnxAy邊界條件為邊界條件為0000ylxyyx，代入通解得代入通解得0sincos00nlBnlAFFBnlFFASS(b)11-5 壓桿臨界荷載 方程方程(b)是關于是關于A、B、FS/F的齊次方程組，的齊次方程組，A=B=FS/F=0時時滿足，此時各點位移滿足，此時各點位移y均為零。對新的平

42、衡形式要求三者不全均為零。對新的平衡形式要求三者不全為零，方程為零，方程(b)的系數(shù)行列式應為零，得穩(wěn)定方程為的系數(shù)行列式應為零，得穩(wěn)定方程為00sincos1001nlnlnl展開展開nlnl tan此超越方程圖解法求解，如圖此超越方程圖解法求解，如圖b。nly 1nlytan2與與 交點的橫坐標即為方程的根。最交點的橫坐標即為方程的根。最小根小根nl在在3/24.7左側附近，試算左側附近，試算求得準確解。求得準確解。493. 4nl求得臨界荷載值為求得臨界荷載值為EIlEIlEInF222cr19.20493. 411-5 壓桿臨界荷載勢能駐值原理：對于彈性結構，在滿足支承條件及位移連續(xù)條

43、勢能駐值原理：對于彈性結構，在滿足支承條件及位移連續(xù)條件件 的一切虛位移中，同時又滿足平衡條件的位移的一切虛位移中，同時又滿足平衡條件的位移 （就是真實的位移）使結構的勢能（就是真實的位移）使結構的勢能EP為駐值，為駐值，即即0PEVVEPV結構的應變能；結構的應變能； V外力勢能。外力勢能。外力勢能定義為外力勢能定義為niiiFV1 Fi 結構上的外力結構上的外力i 與外力相應的虛位移與外力相應的虛位移有限自由度結構有限自由度結構所有可能的位移狀態(tài)只用有限個獨立參數(shù)所有可能的位移狀態(tài)只用有限個獨立參數(shù)a1，a2，an即可表示，即可表示，EP只是這有限個獨立參數(shù)的函數(shù)。只是這有限個獨立參數(shù)的函

44、數(shù)。單自由度結構單自由度結構EP只是參數(shù)只是參數(shù)a1的一元函數(shù)，勢能的變分為的一元函數(shù)，勢能的變分為11PPddaaEE 結構處于平衡時結構處于平衡時0PE1a是任意的是任意的0dd1PaE故故11-5 壓桿臨界荷載0dd1PaE由由可建立穩(wěn)定方程以求解臨界荷載?？山⒎€(wěn)定方程以求解臨界荷載。多自由度結構勢能的變分為多自由度結構勢能的變分為nnaaEaaEaaEEP22P11PP由由EP=0及及a1， a2， ，an的任意性，必須有的任意性，必須有000P2P1PnaEaEaE 由此獲得一組含由此獲得一組含a1， a2， ，an的齊次線性代數(shù)的齊次線性代數(shù)方程，要使方程，要使a1， a2， ，

45、an不全為零，則此方程組的不全為零，則此方程組的系數(shù)行列式應為零系數(shù)行列式應為零建立穩(wěn)定方程建立穩(wěn)定方程確定臨界荷載。確定臨界荷載。11-5 壓桿臨界荷載例例11-5-4 圖圖a所示壓桿所示壓桿EI為無窮大，上端水平彈簧的剛度為為無窮大，上端水平彈簧的剛度為k， 試確定其臨界荷載。試確定其臨界荷載。解：單自由度結構失穩(wěn)時發(fā)生微小的偏解：單自由度結構失穩(wěn)時發(fā)生微小的偏 離如圖離如圖b。lylylllyllyll221112122121221212彈簧的應變能為彈簧的應變能為21112121kyykyV外力勢能為外力勢能為212ylFFV結構的勢能為結構的勢能為21P2ylFklVVE若圖若圖b結

46、構能維持平衡則有結構能維持平衡則有0dd11PylFklyEy10，故，故0 Fkl臨界荷載為臨界荷載為klF cr11-5 壓桿臨界荷載例例11-5-5 用能量法求圖用能量法求圖a所示結構的臨界荷載。所示結構的臨界荷載。解：結構具有兩個自由度，失穩(wěn)時發(fā)生解：結構具有兩個自由度，失穩(wěn)時發(fā)生 圖圖b所示位移。所示位移。結構處于平衡時結構處于平衡時22212121kykyV結構的勢能為結構的勢能為lyylyFFV2)(221222)2(2)(21222121PyFklyFyyFkllVVE0)2(10)(1212P211PyFklFylyEFyyFkllyEy1、y2不能全為零不能全為零0)2()

47、(FklFFFkl11-5 壓桿臨界荷載03222lkklFF展開整理得展開整理得klklklF382. 0618. 2253解得解得klF382. 0cr最小值為臨界荷載最小值為臨界荷載 圖示彈性壓桿為無限自由度結構，失穩(wěn)圖示彈性壓桿為無限自由度結構，失穩(wěn)時發(fā)生彎矩變形，應變能為：時發(fā)生彎矩變形，應變能為：lxEIMV02d21yEIM 2代入代入將將 lxyEIV02d)(21xyyxyxxyxxsd)(21 1)(211 d 1)(1(dd)(1ddd222122任一微段任一微段ds與其投影與其投影dx之差為之差為此式沿桿長此式沿桿長l積分得積分得lxy02d)(2111-5 壓桿臨界荷

48、載外力勢能為外力勢能為lxyFFV02d)(2結構的勢能為結構的勢能為 llxyFxyEIVVE0202Pd)(2d)(21撓曲線撓曲線y是未知的，它可以看作無限多個獨立參數(shù)。是未知的，它可以看作無限多個獨立參數(shù)。EP是撓曲線函數(shù)是撓曲線函數(shù)y的函數(shù)，即是一個泛函，的函數(shù)，即是一個泛函，EP=0是求泛函是求泛函極值的問題極值的問題變分問題。變分問題。瑞利瑞利-李茲法李茲法：將無限自由度近似簡化為有限自由度。：將無限自由度近似簡化為有限自由度。設設 a)()()()(12211niiinnxaxaxaxay)(xi滿足位移邊界條件的已知函數(shù)滿足位移邊界條件的已知函數(shù)ia任意參數(shù)任意參數(shù)結構所有變形狀態(tài)由結構所有變形狀態(tài)由a1，a2，an所確定，簡化為所確定，簡化為n個自由度。個自由度。11-5 壓桿臨界荷載如果在如果在(1)式中只取一項：式中只取一項：是簡化為單自由度求解。是簡化為單自由度求解。)(11xay通常取某一橫向荷載作用下的撓曲線作為失穩(wěn)時的近似撓曲線通常取某一橫向荷載作用下的撓曲線作