八年級軸對稱解答題(培優(yōu)篇)(Word版含解析)

1、八年級軸對稱解答題（培優(yōu)篇）（Word版含解析）一、八年級數(shù)學軸對稱解答題壓軸題（難）1.在梯形 A3CD 中，AD/BC, ZB = 90°, ZC = 45°, A8 = 8, 8C = 14,點 £、F 分別在邊A3、CO上，EFHAD,點P與AO在直線的兩側(cè)，ZEPF = 90。,PE = PF,射線石尸、尸尸與邊3c分別相交于點M、N,設AE = x，=（1）求邊AO的長；（2）如圖，當點P在梯形A8CQ內(nèi)部時，求關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域：（3）如果MN的長為2,求梯形AEF£）的面積.【答案】（1）6： （2） y=-3x+10（lW

2、xV?）： （2）號或 32【解析】【分析】（1）如下圖，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的長度，從而得出HB的長，進而得出 AD的長：（2）如下圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，可得PQ、PR的長，然后利用EB=PQ+PR得去 x、y的函數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)圖形特點得出取值范圍：（3）存在2種情況，一種是點P在梯形內(nèi)，一種是在梯形外，分別根y的值求出x的值， 然后根據(jù)梯形而積求解即可.【詳解】（1）如下圖，過點D作BC的垂線，交BC于點HVZC=45°, DH±BC/.DHC是等腰直角三角形四邊形ABCD是梯形，ZB=90°，四邊形ABHD是矩形，DH=AB=8A H

3、C=8.BH=BC-HC=6AAD=6(2)如下圖，過點P作EF的垂線，交EF于點Q,反向延長交BC于點R, DH與EF交于AZEFP=Z C=45°VEP±PF.EPF是等腰直角三角形同理,還可得NPM和4DGF也是等腰直角三角形VAE=xA DG=x=GF,. EF=AD+GF=6+xV PQ±EB. PQ=QE=QF同理，PR=-y 2,TAB=8, AEB=8-xVEB=QR1 乙 1.8-x=-(6 + x) + -j化簡得：y=3x+10 1°Vy>0> /.x< 當點N與點B重合時，x可取得最小值則 BC=NM+MC=NM

4、+EF=-3x+10+6 + X = 14,解得 x=l -0 1 Wx V 3(3)情況一：點P在梯形ABCD內(nèi)，即(2)中的圖形Q即y=2,代入(2)中的關(guān)系式可得：x= - =AE1二 S 梯形 A8C。=3乂6 + 6 +83)8 176 x =39與（2）相同，可得y=3x-10則當y=2時，x=4,即AE=4情況二：點P在梯形ABCD外，圖形如下:，S梯形abco =；x（6 + 6 + 4）x4 = 32【點睛】本題考查了等腰直角三角形、矩形的性質(zhì)，難點在于第（2）間中確定x的取值范圍，需要 一定的空間想象能力.2.如圖，在aABC中，AB=BC=AC=20 cm.動點P, Q分

5、別從A, B兩點同時出發(fā)，沿三角 形的邊勻速運動.已知點P,點Q的速度都是2cm/s,當點P第一次到達B點時，P, Q兩 點同時停止運動.設點P的運動時間為t（S）.（1） ZA=度；（2）當0<tV10,且AAPCl為直角三角形時，求t的值:（3）當AAPCl為等邊三角形時，直接寫出t的值.【答案】（1）60： （2） W或少；（3） 5或2033【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可解答；(2)需分/ APQ=90。和N AQP=90。兩種情況進行解答；(3)需分以下兩種情況進行解答：由NA=60。，則當AQ=AP時， APQ為等邊三角形：當P于B重合，Q與C重合時，4APQ為等邊

6、三角形.【詳解】解:(1) 60°.(2) / Z A=60°,當NAPQ=90°時，N AQP=90° 60°=30°.QA=2PA.即 20-2r = 2/x2.解得3當NAQP=900時，N APQ=90° 60°=30°. PA=2QA.即 2(20 2，)= 2九解得/ = *，當且APQ為直角三角形時，t的值為與或?qū)W.33(3)由題意得：AP=2t, AQ=20-2tV NA=60".當AQ=AP時， APQ為等邊三角形A2t=20-2t,解得 t=5當P于B重合，Q與C重合，則所用

7、時間為：44-2=20綜上，當4APQ為等邊三角形時，t=5或20.【點睛】本題考查了等邊三角形和直角三角形的判定以及動點問題，解答的關(guān)鍵在于正確的分類討 論以及對所學知識的靈活應用.(1)若將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接。& M是DE的中點，連接M8、MC (圖2), 證明：MB=MC.（2）若將圖1中的CE向上平移，NC4E不變，連接OE, M是的中點，連接M8、MC （圖3）,判斷并直接寫出M8、MC的數(shù)量關(guān)系.（3）在（2）中，若NC4E的大小改變（圖4）,其他條件不變，則（2）中的例8、MC的 數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說明理由.【答案】（1）見解析：（2）M8=MC.理由見解析；（3）M

8、8=MC還成立，見解析.【解析】【分析】（1）連接AM,根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得AD=AE, AB=AC,全等三角形對應角相等 可得NBAD=/CAE,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到NMAD二NMAE,然后利用“邊角 邊”證明AABM和ACM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證：（2）延長DB、AE相交于E',延長EC交AD于F,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到 BD二BE',然后求出MBAE',再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出NMBC二/CAE,同理求 出MCAD,根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出NBCM二NBAD,然后求出NMBC二NBCM,再根 據(jù)等角對

9、等邊即可得證；（3）延長BM交CE于F,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NMD即NMEF, NMBD;NMFE, 然后利用“角角邊”證明MDB和AMEF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得MB二MF,然 后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明即可.【詳解】/. AD=AE , AB=AC , Z BAD=A CAE.,/ MD=ME ,：.Z MAD=N MAE ,：.Z MAD-4 BAD=A MAE-Z CAE , 即 N8AM=N CAM.在48M和4CM中，AB=AC ,Z BAM=Z. CAM ,AM=AM ,：. ABM ACM ( SAS ),/. MB=MC.(2 ) MB

10、=MC .理由如下：如圖(3),延長CM交D8于F,延長8M到G,使得MG=8M,連接CG.(3)CEW BD , , Z MEC=N MDF , Z MCE=N MFD. .M是E。的中點， . MD=ME.在a MCE和MFD中，Z MCE=N MFD ,Z MEC=N MDF ,MD=ME ,：. MCE=4 MFD ( AAS ). , MF=MC.：.在 MF8 和MCG 中，MF=MC ,Z FMB=N CMG tBM=MG ,，a MFB 4 MCG ( SAS ). , FB=GC , Z MFB=N MCG ,/. CGII BD,即G、Cx E在同一條直線上.Z GCB=9

11、0在仆FBC和AGCB中，F(xiàn)B=GC ,Z F8C=Z GCB ,BC=CB ,:, & FBC 叢 GCB ( SAS )./. FC=GB.1 1/. MB=-GB=-FC=MC.2 2(3 )還成立.如圖(4),延長8M交CE于F,延長CM到G,使得MG=CM,連接8G.CEII BD ,/. Z MDB=Z MEF , Z MBD=N MFE.又是。E的中點，MD=ME.在MD8和乂£中，Z MDB二N MEF ,Z MBD=N MFE tMD=ME ,：. MDB MEF ( AAS ), MB=MF. CEW BD ,/. Z FCM=Z BGM.在aFCM和8G

12、M中，CM=MG ,Z CMF=N GMB ,MF=MB ,. FCM經(jīng) BGM ( SAS ). CF=BG , Z FCM=4 BGM.：.CF/BG,即D、8、G在同一條直線上.在仆CFB和8GC中，CF=BG ,Z FCB=Z GBC ,CB=BC ,: & CFB* 叢 BGC ( SAS ).BF=CG.1 1/. MC=-CG=-BF=MB .2 2【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì), 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及三角形的中位線定理，綜合性較 強，但難度不大，作輔助線構(gòu)造出等腰三角形或全等三角形是解題的

13、關(guān)鍵.4.如圖1,在43。中，N84C = 90。，點。為AC邊上一點，連接8D,點、E為BD 上一點，連接CE，/CED = ZABD,過點A作力GLCE,垂足為G,交于點F.求證：ZFAD = 2ZABDx如圖2,若AC = CE,點。為4c的中點，求證：AB = ACx在的條件下，如圖3,若EF = 3,求線段。尸的長.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析：（3） 6【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得/4。8 = 90。/鉆。，ZEFG = 900-ZCED,然后 根據(jù)三角形的內(nèi)角和和已知條件即可推出結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和已知條件可得NAFD = NA0f進而可

14、得=ZBFA = /CDE,然后即可根據(jù)AAS證明AAB/gACEQ,可得48 = CE,進一步即 可證得結(jié)論；（3）連接AE,過點A作A”_LAE交50延長線于點，連接C"，如圖4.先根據(jù)已 知條件、三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)推出NAED = 45。，進而可得AE = AH,然后即可根據(jù)SAS證明ABEgaACM,進一步即可推出NC"Z） = 90。，過點 A作AK_L。于K,易證AKDgaCHD,可得DK = DH ,然后即可根據(jù)等腰三角形的 性質(zhì)推得DF=2EF,問題即得解決.【詳解】（1）證明：如圖 1, .440 = 90。，.NAP8 = 90ONA3

15、O,v AG 1CE，/.ZFGE = 90%ZEFG = ZAFD = 900 - ZCED,:.ZFAD = 180°-ZAFD - ZADF = ZCED+ZABD,'：ACED = ZABD, :.ZFAD = 2ZABDi(2)證明：如圖 2, .NAFO = 90ONCE£), ZADB = 900-ZABD, ZCED = ZABD,:.ZAFD = ZADF, :.AF = AD, ABF A = ZCDE, 點。為AC的中點，4>=CD, .A尸=8,:.AABF g ACED (AAS) , /.AB = CE， , CE = AC, /.

16、 AB = AC；(3)解：連接AE，過點A作A" _L A上交8。延長線于點，連接，如圖4. vZAC = 90% :.ZBAE = ZCAH,設ZA5O = NCEZ) = a,則N必。=2a,ZACG = 90。2。， ：CA = CE, :.ZAEC = AEAC = 45Q+a, :.ZAED = 45°, ZAHE = 45°, AE = AH -AB = AC> A AABEhACH (SAS),/. ZAEB = ZAHC = 135°, :.ZCHD = 90°，過點 A作 AK_LED于 K, .NAKD = NC&q

17、uot;Z) = 90。， v AD = CD, ZADK = ZCDH ,：,AKDCHD (AAS) , :.DK = DH，V AK J_ DF, AF = AD, AE = AH t :.FK = DK,EK = HK,:.DH = EF = 3, :.DF = 6.【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、等腰直角三角 形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，考查的知識點 多、綜合性強、難度較大，正確添加輔助線、構(gòu)造等腰直角三角形和全等三角形的模型、 靈活應用上述知識是解題的關(guān)鍵.5.數(shù)學課上，同學們探究下面命題的正確性，頂角

18、為36。的等腰三角形我們稱之為黃金三 角形，"黃金三角形“具有一種特性，即經(jīng)過它某一頂點的一條直線可以把它分成兩個小等 腰三角形，為此，請你，解答問題：（1）已知如圖1：黃金三角形AABC中，NA=36。，直線BD平分NABC交AC于點D,求 證：4ABD和ADBC都是等腰三角形；AB（2）如圖，在AABC中，AB=AC, NA=36。，請你設計三種不同的方法，將ABC分割成三 個等腰三角形，不要求寫出畫法，不要求證明，但是要標出所分得的每個三角形的各內(nèi)角 的度數(shù).（3）已知一個三角形可以被分成兩個等腰三角形，若原三角形的一個內(nèi)角為36。，求原三 角形的最大內(nèi)角的所有可能值.【答案】

19、（1）見解析：（2）見解析；（3）最大角的可能值為72。，90。，108。，126。， 132°【解析】【分析】（1）通過角度轉(zhuǎn)換得到NABD=NBAD,和NBDC=72°=NC,即可判斷;（2）根據(jù)等腰三角形的兩底角相等及三角形內(nèi)角和定理進行解答即可：（3）設原4ABD中有一個角為36。，可分成兩個等腰三角形，逐個討論：當分割的直線 過頂點B時當分割三角形的直線過點D時情況和過點B 一樣的，當分割三角形的直線 過點A時，在分別求出最大角的度數(shù)即可.【詳解】解：（1）證明：NABC= （180-36） +2=72： BD 平分NABC, NABD=72+2=36°

20、,AZABD=ZBAD,.ABD為等腰三角形，.-.ZBDC=72°=ZC,.BCD為等腰三角形：（2）根據(jù)等腰三角形的兩底角相等及三角形內(nèi)角和定理作出，如圖所示:（3）設原4ABD中有一個角為36。，可分成兩個等腰三角形，逐個討論：當分割的直線過頂點B時，11 ：第一個等腰三角形ABC以A為頂點:則第二個等腰三角形BCD只可能以C為頂點此時NA=36O,ND=36°, ZB=72 + 36=108% 最大角的值為 108°；2：第一個等腰三角形ABC以B為頂點：第二個等腰三角形BCD只可能以C為頂點此時：ZA=36°/ZD=18 ZB=108+18=1

21、26°,最大角的值為 126°；【3】第一個等腰三角形ABC以C為頂點：第二個等腰三角形BCD有三種情況 BCD 以 B 為頂點：ZA=36% ZD=72°, ZABD=72°,最大角的值為72°： BCD 以 C 為頂點：ZA=36% ZD=54%A ZABD=90°,最大角的值為90。： BCD 以 D 為頂點：ZA=36% ZD=36°A ZABD=108°,最大角的值為108。：當分割三角形的直線過點D時情況和過點B一樣的;當分割三角形的直線過點A時，此時NA=36°, ZD=12°,

22、ZB=132°,最大角的值為132°；綜上所述:最大角的可能值為72。, 90°, 108。，126°, 132°.【點睛】本題是對三角形知識的綜合考查，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和角度轉(zhuǎn)換是解決本題的關(guān) 鍵，難度較大，分類討論是解決本題的關(guān)鍵.6.如圖，在平面直角坐標系中，A （ - 3 , 0）,點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x 正半軸上.（1）如圖，若NBAO = 60。，NBCO=40。，BD、CE是aABC的兩條角平分線，且BD、CE交 于點F,直接寫出CF的長.（2）如圖，4ABD是等邊三角形，以線段BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊B

23、CQ,連接QD并2延長，交y軸于點p ,當點C運動到什么位置時，滿足PD=-DC?請求出點C的坐標；（3）如圖，以AB為邊在AB的下方作等邊aABP,點B在y軸上運動時，求OP的最小【答案】（1）6；（2 ）C的坐標為（12,0） ；（3）值.3【解析】【分析】(1)作 NOCH = 10°, CH 交 8。的延長線于 H,分別證明O8Dg2HC。和根據(jù)全等三角形的對應邊相等解答；(2 )證明CB4gAQ8。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到N8DQ=N847=60。，求出CD,得 到答案；(3)以04為對稱軸作等邊ADE,連接EP,并延長EP交x軸于點£證明點P在直線EF 上運動

24、，根據(jù)垂線段最短解答.【詳解】解：(1)作/DCH = 10。，CH交BD的延長線于H ,ZBAO = 60° ,AZABO = 30° ,AAB = 2OA = 6 ,ZBAO = 60° , ZBCO = 40° ,/. ZABC = 180° - 60° - 40° = 80° ,；BD是ABC的角平分線，AZABD = ZCBD = 40° r/. ZCBD = ZDCB , ZOBD = 40° - 30° = 10° ,ADB = DC ,在aOBD和aHCD中，

25、ZOBD=ZHCD< DB = DC4ODC=4HDCAAOBDAHCD ( ASA ),AOB = HC ,EaAOBaFHC 中，ZABO=ZFCHOB = HCZAOB=ZFHCAAAOBAFHC ( ASA ),ACF=AB=6 ,故答案為6 ；(2):ABD和ABCQ是等邊三角形,工 ZABD= ZCBQ = 60° f, ZABC=ZDBQf在aCBA 和2XQBD 中，BA = BD< ZABC = NDBQBC = BQ .AACBAAQBD ( SAS ),AZBDQ=ZBAC = 60° ,，NPDO 二 60。，Z.PD = 2DO = 6

26、 ,2VPD= - DC ,3A DC = 9, KP OC = OD+CD = 12 ,，點C的坐標為(12 , 0)；(3)如圖3,以OA為對稱軸作等邊AADE,連接EP,并延長EP交x軸于點F.由(2)得，ZiAEPgZkADB , NAEP = NADB = 1200 ,，ZOEF = 60° ,/.0F = 0A = 3 ,，點P在直線EF上運動,當OP_LEF時，OP最小,1 3AOP= -OF= -2 23 則OP的最小值為一.【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)犍.7.已知A8C.（1）

27、在圖中用直尺和圓規(guī)作出的平分線和BC邊的垂直平分線交于點。（保留作圖 痕跡，不寫作法）.（2）在（1）的條件下，若點。、石分別是邊3C和A8上的點，且CD = BE,連接OD、0E求證：OD = OE；（3）如圖，在（1）的條件下，點E、尸分別是A3、8c邊上的點，且班廠的周 長等于8c邊的長，試探究NABC與NEOE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.nDf圖圖0【答案】（1）見解析：（2）見解析；（3） NA8C與NEOF的數(shù)量關(guān)系是ZABC + 2ZEOF = SO ,理由見解析.【解析】【分析】（1）利用基本作圖作NABC的平分線：利用基本作圖作BC的垂直平分線，即可完成；（2）如圖，設BC的垂直

28、平分線交BC于G,作OH_LAB于H,用角平分線的性質(zhì)證明OH=OG, BH=BG,繼而證明EH =DG,然后可證明0E“三OQG, 于是可得到OE=OD：（3）作OH_LAB于H, OGJ_CB于G,在CB上取CD=BE,利用得到CD=BE, OEH = ODG. OE=OD, ZEOH = ZDOG,ZA8C + NHOG = 180 ,可證明 NEO£）= N/OG,故有NA8C + NEOO = 180，由4在廠的周長=BC可得到DF=EF,于是可 證明M）EF = &9GF,所以有/EOF = NDOF,然后可得到NA8C與ZEOF的數(shù)量關(guān)系.【詳解】解：（1）如圖

29、，就是所要求作的圖形；（2）如圖，設BC的垂直平分線交BC于G,作OH_LAB于H,二BO 平分NABC, OH±AB, OG 垂直平分 BC,，OH=OG, CG=BG, OB = OB, . OBH = OBG,，BH=BG,VBE=CD,A EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG,在AOEH和AODG中，OH = OG NOHE = ZOGD = 90 , EH = DG:.OEH = ODGt，OE=OD.(3) NA8C與/EOF的數(shù)量關(guān)系是NA3C + 2NEOf= 180 ,理由如下;如圖，作OH_LAB于H, OG_LCB于G,在CB上取CD=BE,由可知，因

30、為CD=BE,所以OE”三OQG且OE=OD, ZEOH =4DOG, ZABC + ZHOG = 180 , ZEOD = ZEOG+ZDOG = NEOG + ZEOH = 4HOG, ZABC + ZEOD = SO ,8石/的周長=be+bf+ef=cd+bf+ef=bc.DF=EF,在 OEF和 OGF中，OE = OD<EF = FD,OF = OF:.OEF = OGF t：.ZEOF = ZDOF,：ZEOD = 2ZEOF,/. ZABC + 2NEOF = 180 .【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，還考查了基 本作圖.熟練掌

31、握相關(guān)性質(zhì)作出輔助線是解題關(guān)鍵，屬綜合性較強的題目，有一定的難 度，需要有較強的解題能力.8.（1）問題發(fā)現(xiàn):如圖1, 45。和ADE均為等邊三角形，點8、D、E在同一直線上, 連接CE.求iiE：BD = CE;求ZBEC的度數(shù).mi拓展探究:如圖2, “15。和石均為等腰直角三角形，的C = 4石= 90。,點B、D、E在同一直線上，AF為"）£中。石邊上的高，連接CE求N8EC的度數(shù)：判斷線段AF、BE、CE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果即可）.（3）解決問題:如圖3,和ADE均為等腰三角形，/BAC = /DAE = K1B、D、七在同一直線上，連接CE.求NAEC的

32、度數(shù)（用含的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果 即可）.【答案】（1）證明見解析：60° ： （2）90 ：8£=C£+ZAF； （3）ZAEC=90-ll0.2【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC,AD=AE, NDAE=/BAC=60° ,根據(jù)SAS進一步證明 BADgaCAE,依據(jù)其性質(zhì)可得8O = CE,再根據(jù)對應角相等求出NBEC的度數(shù)：（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AB=AC,AD=AE,NDAE=NBAC=90°,根據(jù)SAS進一步證 明BADgACAE,根據(jù)對應角相等求出N8EC的度數(shù)；因為DE=2AF,BD=EC,結(jié)合

33、線段的和 差關(guān)系得出結(jié)論：（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AB=AC,AD=AE, NDAE=NBAC=n° ,根據(jù)SAS進一步證明 BADgCAE,根據(jù)對應角相等求出得出NADB=/3EC的度數(shù)，結(jié)合內(nèi)角和用n表示 NADE的度數(shù)，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）:ABC和4ADE均為等邊三角形（如圖1）,A AB=AC, AD=AE, ZBAC=ZDAE=60%，Z BAC- Z DAC= Z DAE- Z DAC,A ZBAD=ZCAE.，ABADACAE （SAS），BD=CE.圖工 由acae也Abad,，ZAEC=ZADB=180°-ZADE=120°.J Z

34、BEC= ZAEC-ZAED=1200-60<>=600.（2）©VAABCIAADE均為等腰直角三角形（如圖2）,/. AB=AC, AD=AE, ZADE=ZAED=45%ZBAC=ZDAE=90，Z BAC- Z DAC= Z DAE- Z DAC,:.ZBAD=ZCAE.，ABADACAE （SAS）.，BD=CE, ZAEC=ZADB=180°-ZADE=135°.，ZBEC=ZAEC-ZAED=135°-45°=90°.圖2 BE=CE+2AF.1 。(3)如圖 3： ZAEC=9O°+-77 ,理由

35、如下,2:ABC和4ADE均為等腰直角三角形，AB=AC, AD=AE, ZADE=ZAED=n%/. Z BAC- Z DAC= Z DAE- Z DAC,A ZBAD=ZCAE.，ABADACAE (SAS).ZAEC=ZADB=180o-ZADE=180°-180 -18()=90 +.221 。AZAEC=9O°+-/7 .2圖3【點睛】本題考查等邊三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)型三角形全等，掌握全等常見模型及 由特殊到一般找出解題規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.9. (1)操作：如圖，在已知內(nèi)角度數(shù)的三個三角形中，請用直尺從某一頂點畫一條線 段，把原三角形分割成兩個等腰

36、三角形，并在圖中標注相應的角的度數(shù)ZABC=23°ZABC=23°ZABC=23°ZBAC=90°ZBAC=111°N BAC=88°.（2）拓展，aABC中，AB=AC, ZA=45°,請把ABC分割成三個等腰三角形，并在圖中標 注相應的角的度數(shù).BC（3）思考在如圖所示的三角形中/A=30。.點P和點Q分別是邊AC和BC上的兩個動點.分 別連接BP和PQ把ZkABC分割成三個三角形.ABP, BPQ, PQC若分割成的這三個三角 形都是等腰三角形，求NC的度數(shù)所有可能值直接寫出答案即可.【答案】 見解析;（2）見解析;（

37、3） NC所有可能的值為10。、20。、25。，35。、 40 50 80。、100°.【解析】【分析】（1）在圖1、圖2、圖3中，分別作AB、AB、BC的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì) 及外角的性質(zhì)求出各角度數(shù)即可：（2）分別作AB、BC的垂直平分線，交于點O,連接 OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及外角 性質(zhì)求出各角度數(shù)即可：（3）分 PB=PA、AB二AP、BA=BP 時，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP, PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別求出NC的度數(shù)即可.【詳解】（1）在圖1、圖2

38、、圖3中，分別作AB、AB、BC的垂直平分線，如圖 1, VZABC=23% ZBAC=90°,A ZC=90°-23°=67%VMN垂直平分AB,ABD=AD,.ABD是等腰三角形，AZBAD=ZABC=23%，ZADC=2ZABC=46%*. ZBAC=90%，Z DAC= Z BAC- Z BAD=67，NDAC二 NC,DAC是等腰三角形，同理：圖 2 中，NADC=46°, ZDAC=88% ZC=46% 2ABD 和ZkACD 是等腰三角形，圖 3 中，ZBCD=23% ZADC=46", /ACD=46。，aBCD 和ZiACD

39、是等腰三角形.lBAC-WZBAC-lirZ BAC-W（2）作AB、BC的垂直平分線，交于點O,連接OA、OB、OC, 丁點o是三角形垂直平分線的交點，AOA=OB=OC,AAOAB> AOAC. ZkOBC是等腰三角形,TAB二AC, ZBAC=45/. ZABC=ZACB=67.5%.,.AD是BC的垂直平分線，AZBAD=ZCAD=22.5% /. ZOBA=ZOAB=22.5 ZOCA=ZOAC=22.5°, .ZOBC=ZOCB=45°.（3）如圖，當 PAPA, PB=PQ, PQ=CQ 時,V ZA=30% PB=PQ,，ZABP=ZA=30，ZAPB

40、=120",VPB=PQt PQ二CQ, AZPQB=ZPBQ, NLNCPQ, .ZPBQ=2ZC,，ZAPB=ZPBQ+ZC=3ZC=120% 解得：ZC=40°.B如圖，當 PB=PA, PB=BQ, PQ=CQ 時,AZPQB=2ZC, ZPQB=ZBPQ, J ZPBQ=180°-2 ZPQB=180°-4ZC, ，180°-4ZC+ZC=120 解得：ZC=20%如圖，當 PA=PB, BQ=PQ, CQ;CP 時，VZPQC=2ZPBQ, ZPQC=- (180°-ZC),2AZPBQ=i (180°-ZC),4/. - (180°-ZC) +ZC=120%4如圖，當 PA=PB, BQ=PQ, PQnCP 時,VZPQC=ZC=2ZPBQ/ XVZC+ZPBQ=120°, , ZC=80°；如圖，當 AB二AP, BP二BQ, PQ=QC 時, ZA=30",A ZAPB=- (180°-30° ) =75°, 2二BP=BQ, PQ=CQ,AZBPQ=ZBQP, NQPC=NQCP,，NBQP = 2/C,AZPBQ=180°-