項目三多元函數(shù)微積分學(xué)

1、附錄 大學(xué)數(shù)學(xué)實驗指導(dǎo)書項目三 多元函數(shù)微積分實驗1 多元函數(shù)微分學(xué)（基礎(chǔ)實驗）實驗?zāi)康?掌握利用Mathematica計算多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的方法, 掌握計算二元函數(shù)極值和條件極值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通過作圖和觀察, 理解二元函數(shù)的性質(zhì)、方向?qū)?shù)、梯度和等高線的概念.基本命令1.求偏導(dǎo)數(shù)的命令D命令D既可以用于求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 也可以用于求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). 例如:求對x的偏導(dǎo)數(shù), 則輸入Dfx,y,z,x求對y的偏導(dǎo)數(shù), 則輸入Dfx,y,z,y求對x的二階偏導(dǎo)數(shù), 則輸入Dfx,y,z,x,2求對的混合偏導(dǎo)數(shù), 則輸入Dfx,y,z,x,y 2.求全微分的命令

2、Dt該命令只用于求二元函數(shù)的全微分時, 其基本格式為Dtfx,y其輸出的表達(dá)式中含有Dtx,Dty, 它們分別表示自變量的微分dx,dy. 若函數(shù)的表達(dá)式中還含有其它用字符表示的常數(shù), 例如a, 則Dtfx,y的輸出中還會有Dta, 若采用選項Constants->a, 就可以得到正確結(jié)果, 即只要輸入Dtfx,y,Constants->a3.在平面上作二元函數(shù)的等高線的命令ContourPlot命令的基本格式為ContourPlotfx,y,x,x1,x2,y,y1,y2例如,輸入ContourPlotx2-y2,x,-2,2,y,-2,2則輸出函數(shù)的等高線圖(圖1.1). 該命

3、令的選項比較多(詳細(xì)的內(nèi)容參見光盤中的實驗案例庫). 如選項Contours->15表示作15條等高線, 選項Contours->0表示只作函數(shù)值為0的等高線.圖1.1實驗舉例求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分例1.1 (教材 例1.1) 設(shè)求輸入Clearz;z=Sinx*y+Cosx*y2;Dz,xDz,yDz,x,2Dz,x,y則輸出所求結(jié)果.例1.2 設(shè)求和全微分dz.輸入Clearz;z=(1+x*y)y;Dz,xDz,y則有輸出再輸入Dtz則得到輸出例1.3 (教材 例1.2) 設(shè)其中a是常數(shù), 求dz.輸入Clearz,a;z=(a+x*y)y;wf=Dtz,Constant

4、s->a/Simplify則輸出結(jié)果:(a+xy)-1+y(y2Dtx,Constants->a+ Dty,Constants->a(xy+(a+xy)Loga+xy)其中Dtx,Constants->a就是dx, Dty,Constants->a就是dy. 可以用代換命令“/.”把它們換掉. 輸入wf/.Dtx,Constants->a->dx,Dty,Constants->a->dy輸出為(a+xy)-1+y(dxy2+dy(xy+(a+xy)Loga+xy)例1.4 (教材 例1.3) 設(shè),求輸入 eq1=Dx=Eu+u*Sinv,x

5、,NonConstants->u,v(*第一個方程兩邊對x求導(dǎo)數(shù), 把u,v看成x,y的函數(shù)*)eq2=Dy=Eu-u*Cosv,x,NonConstants->u,v(*第二個方程兩邊對x求導(dǎo)數(shù), 把u,v看成x,y的函數(shù)*)Solveeq1,eq2,Du,x,NonConstants->u,v,Dv,x,NonConstants->u,v/Simplify(*解求導(dǎo)以后由eq1,eq2組成的方程組*)則輸出 其中Du,x,NonConstants->u,v表示u對x的偏導(dǎo)數(shù), 而Dv,x,NonCosnstants->u,v表示v對x的偏導(dǎo)數(shù). 類似地可

6、求得u,v對y的偏導(dǎo)數(shù).微分學(xué)的幾何應(yīng)用例1.5 求出曲面在點(1,1)處的切平面、法線方程, 并畫出圖形.解(1) 畫出曲面的圖形. 曲面的參數(shù)方程為輸入命令Clearf;fx_,y_=2x2+y2;p1=Plot3Dfx,y,x,-2,2,y,-2,2;g1=ParametricPlot3Dr*Sinu/Sqrt2.,r*Cosu,r2,u,0,2*Pi,r,0,2則輸出相應(yīng)圖形(圖1.2).圖1.2 (2) 畫出切平面的圖形. 輸入命令a=Dfx,y,x/.x->1,y->1;b=Dfx,y,y/.x->1,y->1;px_,y_=f1,1+a(x-1)+b(y-

7、1);g2=Plot3Dpx,y,x,-2,2,y,-2,2;則輸出切平面方程為及相應(yīng)圖形(圖1.3).圖1.3(3) 畫出法線的圖形. 輸入命令lyx_=1+b(x-1)/a;lzx_=f1,1-(x-1)/a;g3=ParametricPlot3Dx,lyx,lzx,x,-2,2;Showp1,g2,g3,AspectRatio->Automatic,ViewPoint->-2.530,-1.025,2.000;則輸出相應(yīng)圖形(圖1.4).圖1.4例1.6 (教材 例1.4) 求曲面在點處的切平面方程, 并把曲面和它的切平面作在同一圖形里.輸入Cleark,z;kx_,y_=4

8、/(x2+y2+1);(*定義函數(shù)k(x,y)*)kx=Dkx,y,x/.x->1/4,y->1/2;(*求函數(shù)k(x,y)對x的偏導(dǎo)數(shù), 并代入在指定點的值*)ky=Dkx,y,y/.x->1/4,y->1/2;(*求函數(shù)k(x,y)對y的偏導(dǎo)數(shù), 并代入在指定的值*)z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k1/4,1/2;(*定義在指定點的切平面函數(shù)*)再輸入qm=Plot3Dkx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotRange->0,4,BoxRatios->1,1,1,PlotPoints->30,DisplayFunction-

9、>Identity;qpm=Plot3Dz,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction->Identity;Showqm,qpm,DisplayFunction->$DisplayFunction則輸出所求曲面與切平面的圖形（圖1.5）.圖1.5多元函數(shù)的極值例1.7 (教材 例1.5) 求的極值.輸入Clearf;fx_,y_=x3-y3+3x2+3y2-9x;fx=Dfx,y,xfy=Dfx,y,ycritpts=Solvefx=0,fy=0則分別輸出所求偏導(dǎo)數(shù)和駐點:x->-3,y->0,x->-3,y->2,x->1,y-

10、>0,x->1,y->2再輸入求二階偏導(dǎo)數(shù)和定義判別式的命令fxx=Dfx,y,x,2;fyy=Dfx,y,y,2;fxy=Dfx,y,x,y;disc=fxx*fyy-fxy2輸出為判別式函數(shù)的形式:(6+6x)(6-6y)再輸入data=x,y,fxx,disc,fx,y/.critpts;TableFormdata,TableHeadings->None, "x ", "y ", "fxx ", "disc ", "f "最后我們得到了四個駐點處的判別式與的值并以表

11、格形式列出.Xyfxxdiscf-30-12-7227-32-127231101272-51212-72-1易見,當(dāng)時判別式disc=72, 函數(shù)有極大值31;當(dāng)時判別式disc=72, 函數(shù)有極小值-5;當(dāng)和時, 判別式disc=-72, 函數(shù)在這些點沒有極值.最后,把函數(shù)的等高線和四個極值點用圖形表示出來,輸入d2=x,y/.critpts;g4=ListPlotd2,PlotStyle->PointSize0.02,DisplayFunction->Identity;g5=ContourPlotfx,y,x,-5,3,y,-3,5,Contours->40,PlotPo

12、ints->60,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,AxesOrigin->0,0,DisplayFunction->Identity;Showg4,g5,DisplayFunction->$DisplayFunction則輸出圖1.6.圖1.6從上圖可見, 在兩個極值點附近, 函數(shù)的等高線為封閉的. 在非極值點附近, 等高線不封閉. 這也是從圖形上判斷極值點的方法.注:在項目一的實驗4中,我們曾用命令FindMinimum來求一元函數(shù)的極值, 實際上,也可以用它求多元函數(shù)的極值, 不

13、過輸入的初值要在極值點的附近. 對本例,可以輸入以下命令FindMinimumfx,y,x,-1,y,1則輸出-5.,x->1.,y->-2.36603×10-8從中看到在的附近函數(shù)有極小值-5, 但y的精度不夠好.例1.8 求函數(shù)在條件下的極值.輸入Clearf,g,la; fx_,y_=x2+y2;gx_,y_=x2+y2+x+y-1;lax_,y_,r_=fx,y+r*gx,y;extpts=SolveDlax,y,r,x=0,Dlax,y,r,y=0,Dlax,y,r,r=0得到輸出再輸入fx,y/.extpts/Simplify得到兩個可能是條件極值的函數(shù)值但是

14、否真的取到條件極值呢? 可利用等高線作圖來判斷.輸入dian=x,y/.Tableextptss,j,s,1,2,j,2,3g1=ListPlotdian,PlotStyle->PointSize0.03,DisplayFunction->Identitycp1=ContourPlotfx,y,x,-2,2,y,-2,2,Contours->20,PlotPoints->60,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,AxesOrigin->0,0,DisplayFunction->

15、;Identity;cp2=ContourPlotgx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints->60,Contours->0,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,ContourStyle->Dashing0.01,AxesOrigin->0,0,DisplayFunction->Identity;Showg1,cp1,cp2,AspectRatio->1,DisplayFunction->$DisplayFunction輸出為及圖1.7. 從圖可見，在極

16、值可疑點處, 函數(shù)的等高線與曲線(虛線)相切. 函數(shù)的等高線是一系列同心圓, 由里向外, 函數(shù)值在增大, 在的附近觀察, 可以得出取條件極大的結(jié)論. 在 的附近觀察, 可以得出取條件極小的結(jié)論.圖1.7梯度場例1.9 畫出函數(shù)的梯度向量.解 輸入命令<<GraphicsContourPlot3D<<GraphicsPlotField3D<<CalculusVectorAnalysisSetCoordinatesCartesianx,y,z;f=z2-x2-y2;cp3d=ContourPlot3Df,x,-1.1,1.1,y,-1.1,1.1,z,-2,2,

17、Contours->1.0,Axes->True,AxesLabel->"x","y","z"vecplot3d=PlotGradientField3Df,x,-1.1,1.1,y,-1.1,1.1,z,-2,2,PlotPoints->3,VectorHeads->True;Showvecplot3d, cp3d;則輸出相應(yīng)圖形(圖1.8)圖1.8例1.10 在同一坐標(biāo)面上作出 和 的等高線圖(), 并給出它們之間的關(guān)系.解 輸入命令<<CalculusVectorAnalysis<&

18、lt;GraphicsPlotFieldSetCoordinatesCartesianx,y,z;checku_,v_:=Gradu1-Gradv2,Gradv1+Gradu2u=x(1+1/(x2+y2);v=y(1-1/(x2+y2);checku,v/Simplifyugradplot=PlotGradientFieldu,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction->Identity;uplot=ContourPlotu,x,-2,2,y,-2,2,ContourStyle->GrayLevel0,ContourShading->False,Displ

19、ayFunction->Identity,Contours->40,PlotPoints->40;g1=Showuplot,ugradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;vgradplot=PlotGradientFieldv,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction->Identity;vplot=ContourPlotv,x,-2,2,y,-2,2,ContourStyle->GrayLevel0.7,ContourShading->False,DisplayFunction->Id

20、entity,Contours->40,PlotPoints->40;g2=Showvplot,vgradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;g3=Showuplot,vplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;g4=Showugradplot,vgradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;則輸出相應(yīng)圖形(圖1.9)，其中(a) 的梯度與等高線圖;(b) 的梯度與等高線圖;(c) 與的等高線圖;(d) 與的梯度圖.(a) (b)(c) (d)圖1

21、.9從上述圖中可以看出它們的等高線為一族正交曲線. 事實上, 有且它們滿足拉普拉斯方程例1.11 (教材 例1.6) 設(shè)作出的圖形和等高線, 再作出它的梯度向量gradf的圖形. 把上述等高線和梯度向量的圖形疊加在一起, 觀察它們之間的關(guān)系.輸入調(diào)用作向量場圖形的軟件包命令<<GraphicsPlotField.m再輸入Clearf;fx_,y_=x*Exp-x2-y2;dgx=ContourPlotfx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints->60, Contours->25,ContourShading->False,Frame->Fal

22、se,Axes->Automatic,AxesOrigin->0,0td=PlotGradientFieldfx,y,x,-2,2,y,-2,2,Frame->FalseShowdgx,td輸出為圖1.10. 從圖可以看到平面上過每一點的等高線和梯度向量是垂直的, 且梯度的方向是指向函數(shù)值增大的方向.圖1.10例1.12 求出函數(shù)的極值, 并畫出函數(shù)的等高線、駐點以及的梯度向量的圖形.輸入命令<<GraphicsPlotFieldf=x4-4*x*y+y2;FindMinimumf,x,1,y,1conplot=ContourPlotf,x,-2,2,y,-3,3

23、,ContourShading->False,PlotPoints->100,Contours->-4,-2,0,2,4,10,20;fieldplot=PlotGradientField-f,x,-2,2,y,-3,3,ScaleFunction->(Tanh#/5&);critptplot=ListPlot-Sqrt2,-2*Sqrt2,0,0,Sqrt2,2*Sqrt2,PlotStyle->PointSize0.03;Showconplot,fieldplot,critptplot;則得到的最小值以及函數(shù)的圖形(圖1.11).圖1.11實驗習(xí)題1.

24、設(shè)求2.設(shè)求3.設(shè)求4.試用例1.5的方法求的極值.5.求在條件下的極值.6.作出函數(shù)的等高線和梯度線的圖形, 并觀察梯度線與等高線的關(guān)系. 實驗2 多元函數(shù)積分學(xué)（基礎(chǔ)實驗）實驗?zāi)康恼莆沼肕athematica計算二重積分與三重積分的方法; 深入理解曲線積分、曲面積分的概念和計算方法. 提高應(yīng)用重積分和曲線、曲面積分解決各種問題的能力.基本命令 1. 計算重積分的命令lntegrate和NIntegrate 例如,計算, 輸入 Integratex*y2,x,0,1,y,0,x則輸出 又如,計算的近似值, 輸入 NIntegrateSinx*y2,x,0,1,y,0,1則輸出 0.16083

25、9注: Integrate命令先對后邊的變量積分.計算三重積分時,命令I(lǐng)ntegrate的使用格式與計算二重積分時類似. 由此可見, 利用Mathematica計算重積分, 關(guān)鍵是確定各個積分變量的積分限. 2. 柱坐標(biāo)系中作三維圖形的命令CylindricalPlot3D 使用命令Cylindricalplot3D, 首先要調(diào)出作圖軟件包. 輸入 <<GraphicsParametricPlot3D執(zhí)行成功后便可繼續(xù)下面的工作.使用命令Cylindricalplot3D時,一定要把表示成,的函數(shù). 例如,在直角坐標(biāo)系中方程是一旋轉(zhuǎn)拋物面, 在柱坐標(biāo)系中它的方程為. 因此,輸入 C

26、ylindricalPlot3Dr2,r,0,2,t,0,2Pi則在柱坐標(biāo)系中作出了該旋轉(zhuǎn)拋物面的圖形. 3. 球面坐標(biāo)系中作三維圖形命令SphericalPlot3D 使用命令SphericalPlot3D, 首先要調(diào)出作圖軟件包. 輸入 <<GraphicsParametricPlot3D執(zhí)行成功后便可繼續(xù)下面的工作. 命令SphericalPlot3D的基本格式為SphericalPlot3Dr, 其中r是曲面的球面坐標(biāo)方程, 使用時一定要把球面坐標(biāo)中的表示成、的函數(shù).例如,在球面坐標(biāo)系中作出球面 輸入Sphericalplot3D2,u,0,pi,|v,0,2,pi|,pl

27、otpoints->40則在球面坐標(biāo)系中作出了該球面的圖形. 4. 向量的內(nèi)積 用“.”表示兩個向量的內(nèi)積. 例如,輸入 vecl=al,bl,cl vec2=a2,b2,c2則定義了兩個三維向量, 再輸入 vec1. vec2則得到它們的內(nèi)積 a1a2+b1b2+c1c2實驗舉例計算重積分 例2.1 (教材 例2.1) 計算 其中為由 所圍成的有界區(qū)域.先作出區(qū)域的草圖, 易直接確定積分限,且應(yīng)先對積分, 因此, 輸入 Integratex*y2,y,1,2,x,2-y,Sqrty則輸出所求二重積分的計算結(jié)果 例2.2 (教材 例2.2) 計算 其中為 如果用直角坐標(biāo)計算, 輸入Cle

28、arf,r;fx,y=Exp-(x2+y2);Integratefx,y,x,-1,1,y,-Sqrt1-x2,Sqrt1-x2則輸出為 其中Erf是誤差函數(shù). 顯然積分遇到了困難. 如果改用極坐標(biāo)來計算, 也可用手工確定積分限. 輸入 Integrate(fx,y/.x->r*Cost,y->r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 則輸出所求二重積分的計算結(jié)果 如果輸入 NIntegrate(fx,y/.x->r*Cost,y->r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 則輸出積分的近似值 1.98587例2.3 (教材 例2.3) 計算, 其中由曲

29、面與圍成. 先作出區(qū)域的圖形. 輸入 g1=ParametricPlot3DSqrt2*Sinfi*Costh, Sqrt2*Sinfi*Sinth, Sqrt2*Cosfi,fi,0,Pi/4,th,0,2Pig2=ParametricPlot3Dz*Cost,z*Sint,z,z,0,1,t,0,2PiShowg1,g2,ViewPoint->1.3,-2.4,1.0則分別輸出三個圖形（圖2.1(a), (b), (c)）.(a)(b) 圖2.1考察上述圖形, 可用手工確定積分限. 如果用直角坐標(biāo)計算, 輸入 gx_,y_,z_=x2+y2+z; Integrategx,y,z,x,

30、-1,1,y,-Sqrt1-x2, Sqrt1-x2, z,Sqrtx2+y2,Sqrt2-x2-y2執(zhí)行后計算時間很長, 且未得到明確結(jié)果.現(xiàn)在改用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)來計算. 如果用柱坐標(biāo)計算,輸入 Integrate(gx,y,z/.x->r*Coss,y->r*Sins)*r, r,0,1,s,0,2Pi,z,r,Sqrt2-r2則輸出 如果用球面坐標(biāo)計算,輸入Integrate(gx,y,z/.x->r*Sinfi*Cost,y->r*Sinfi*Sint,z->r*Cosfi)*r2*Sinfi,s,0,2Pi,fi,0,Pi/4,r,0,Sqrt2則輸

31、出 這與柱面坐標(biāo)的結(jié)果相同.重積分的應(yīng)用 例2.4 求由曲面與所圍成的空間區(qū)域的體積. 輸入Clearf,g;fx_,y_=1-x-y;gx_,y_=2-x2-y2;Plot3Dfx,y,x,-1,2,y,-1,2Plot3Dgx,y,x,-1,2,y,-1,2Show%,%一共輸出三個圖形, 最后一個圖形是圖2.1.圖2.2首先觀察到的形狀. 為了確定積分限, 要把兩曲面的交線投影到平面上輸入 jx=Solvefx,y=gx,y,y得到輸出 為了取出這兩條曲線方程, 輸入 y1=jx1,1,2 y2=jx2,1,2輸出為 再輸入tu1=Ploty1,x,-2,3,PlotStyle->

32、Dashing0.02,DisplayFunction->Identity;tu2=Ploty2,x,-2,3,DisplayFunction->Identity;Showtu1,tu2,AspectRatio->1, DisplayFunction->$DisplayFunction輸出為圖2.2, 由此可見,是下半圓(虛線),是上半圓,因此投影區(qū)域是一個圓.圖2.2設(shè)的解為與,則為的積分限. 輸入 xvals=Solvey1=y2,x輸出為 為了取出, 輸入 x1=xvals1,1,2x2=xvals2,1,2輸出為 這時可以作最后的計算了. 輸入Volume=In

33、tegrategx,y-fx,y,x,x1,x2,y,y1,y2/Simplify輸出結(jié)果為 例2.5 (教材 例2.4) 求旋轉(zhuǎn)拋物面在平面上部的面積 先調(diào)用軟件包, 輸入 <<GraphicsParametricPlot3D 再輸入 CylindricalPlot3D4-r2,r,0,2,t,0,2 Pi則輸出圖2.3.圖2.3利用計算曲面面積的公式, 輸入 Clearz,z1; z=4-x2-y2; z=SqrtDz,x2+Dz,y2+1輸出為, 因此,利用極坐標(biāo)計算. 再輸入z1=Simplifyz/.x->r*Cost,y->r*Sint;Integratez

34、1*r,t,0,2 Pi,r,0,2/Simplify則輸出所求曲面的面積 例2.6 在平面內(nèi)有一個半徑為2的圓, 它與軸在原點相切, 求它繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積.先作出這個旋轉(zhuǎn)體的圖形. 因為圓的方程是它繞軸旋轉(zhuǎn)所得的圓環(huán)面的方程為, 所以圓環(huán)面的球坐標(biāo)方程是 輸入 SphericalPlot3D4 Sint,t,0,Pi,s,0,2 Pi,PlotPoints->30,ViewPoint->4.0,0.54,2.0輸出為圖2.4. 圖2.4這是一個環(huán)面, 它的體積可以用三重積分計算(用球坐標(biāo)). 輸入Integrater2*Sint,s,0,2 Pi,t,0,Pi,r,0,

35、4 Sint得到這個旋轉(zhuǎn)體的體積為計算曲線積分例2.7 (教材 例2.5) 求 , 其中積分路徑為: 注意到,弧長微元, 將曲線積分化為定積分,輸入 Clearx,y,z; luj=t,t2,3t2;Dluj,t則輸出對的導(dǎo)數(shù) 再輸入 ds=SqrtDluj,t.Dluj,t;Integrate(Sqrt1+30 x2+10y/.x->t, y->t2,z->3t2)*ds,t,0,2則輸出所求曲線積分的結(jié)果:326/3.例2.8 (教材 例2.6) 求, 其中 輸入 vecf=x*y6,3x*(x*y5+2);vecr=2*Cost,Sint;Integrate(vecf.

36、Dvecr,t)/.x->2Cost,y->Sint, t,0,2 Pi則輸出所求積分的結(jié)果12 例2.9 求錐面與柱面的交線的長度. 先畫出錐面和柱面的交線的圖形. 輸入g1=ParametricPlot3DSinu*Cosv, Sinu*Sinv,Sinu, u,0,Pi,v,0,2Pi,DisplayFunction->Identity;g2=ParametricPlot3DCost2,Cost*Sint,z,t,0,2Pi,z,0,1.2, DisplayFunction->Identity;Showg1,g2,ViewPoint->1,-1,2,Disp

37、layFunction->$DisplayFunction輸出為圖2.5.圖2.5輸入直接作曲線的命令ParametricPlot3DCost2,Cost*Sint,Cost,t,-Pi/2,Pi/2, ViewPoint->1,-1,2,Ticks->False輸出為圖2.6.圖2.6為了用線積分計算曲線的弧長, 必須把曲線用參數(shù)方程表示出來. 因為空間曲線的投影曲線的方程為, 它可以化成,再代入錐面方程, 得 因為空間曲線的弧長的計算公式是, 因此輸入Clearx,y,z;x=Cost2;y=Cost*Sint;z=Cost;qx=x,y,z;IntegrateSqrtD

38、qx,t. Dqx,t/Simplify,t,-Pi/2,Pi/2輸出為 2Elliptice-1這是橢圓積分函數(shù). 換算成近似值. 輸入 %/N輸出為 3.8202 計算曲面積分例2.10 (教材 例2.7) 計算曲面積分, 其中為錐面被柱面所截得的有限部分.注意到,面積微元, 投影曲線的極坐標(biāo)方程為將曲面積分化作二重積分,并采用極坐標(biāo)計算重積分.輸入Clearf,g,r,t;fx_,y_,z_=x*y+y*z+z*x;gx_,y_=Sqrtx2+y2;mj=Sqrt1+Dgx,y,x2+Dgx,y,y2/Simplify;Integrate(fx,y,gx,y*mj/.x->r*Co

39、st,y->r* Sint)*r,t,-Pi/2,Pi/2,r,0,2Cost則輸出所求曲面積分的計算結(jié)果 例2.11 計算曲面積分 其中為球面的外側(cè). 可以利用兩類曲面積分的關(guān)系, 化作對曲面面積的曲面積分. 這里. 因為球坐標(biāo)的體積元素注意到在球面上, 取后得到面積元素的表示式: 把對面積的曲面即直接化作對的二重積分. 輸入ClearA,fa,ds;A=x3,y3,z3;fa=x,y,z/a;ds=a2*Sinu;Integrate(A.fa/.x->a*Sinu*Cosv,y->a*Sinu*Sinv, z->a*Cosu)*ds/Simplify,u,0,Pi,

40、v,0,2Pi輸出為 如果用高斯公式計算, 則化為三重積分, 其中為. 采用球坐標(biāo)計算, 輸入 <<CalculusVectorAnalysis執(zhí)行后再輸入SetCoordinatesCartesianx,y,z; (*設(shè)定坐標(biāo)系*)diva=DivA; (*求向量場的散度*)Integrate(diva/.x->r*Sinu*Cosv,y->r*Sinu*Sinv,z->r*Cosu)*r2Sinu,v,0,2Pi,u,0,Pi,r,0,a輸出結(jié)果相同.實驗習(xí)題 1. 計算2. 計算下列積分的近似值:(1) (2) 3. 計算下列積分(1) (2) 4. 交換積

41、分次序并計算下列積分(1) . (2) 5. 用極坐標(biāo)計算下列積分:(1) (2) 6. 用適當(dāng)方法計算下列積分:(1) 其中是由與圍成;(2)其中是7. 求的近似值. 其中,路徑:,8. 求, 其中 9. 用柱面坐標(biāo)作圖命令作出被柱面所圍部分的圖形,并求出其面積. 10. 求曲面積分其中為球面的下半部分的下側(cè). 11. 求曲面積分,其中為球面上的部分.實驗3 最小二乘擬合（基礎(chǔ)實驗）實驗?zāi)康?了解曲線擬合問題與最小二乘擬合原理. 學(xué)會觀察給定數(shù)表的散點圖, 選擇恰當(dāng)?shù)那€擬合該數(shù)表.最小二乘擬合原理給定平面上的一組點尋求一條曲線使它較好的近似這組數(shù)據(jù), 這就是曲線擬合. 最小二乘法是進(jìn)行曲線

42、擬合的常用方法.最小二乘擬合的原理是, 求使達(dá)到最小. 擬合時, 選取適當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)形式其中稱為擬合函數(shù)的基底函數(shù).為使取到極小值, 將的表達(dá)式代入, 對變量求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), 令其等于零, 就得到由個方程組成的方程組, 從中可解出基本命令1.求數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)的命令Fit擬合函數(shù)Fit 的基本格式為Fitdata,funs,vars,其中,data是數(shù)據(jù), vars為變量(可以是多個變量), funs為個以vars為變量的基底函數(shù). 其輸出結(jié)果是以基底函數(shù)(funs)的線性組合形式為擬合函數(shù)的最佳擬合函數(shù)(最小二乘估計的結(jié)果). Fit命令既可以作曲線擬合, 也可以作曲面擬合. 這里只討論曲線擬

43、合問題.曲線擬合時的數(shù)據(jù)格式為下面是作曲線擬合時常用的幾種擬合函數(shù)的形式Fitdata,1,x,x 用線性函數(shù)擬合數(shù)據(jù)data.Fitdata,1,x,x2,x 用二次函數(shù)擬合數(shù)據(jù)data.Fitdata,Tablexi,Tablexi,i,0,n,x 用x的n次多項式擬合數(shù)據(jù)data.2.多項式擬合函數(shù)PolynomialFitMathematica在程序包NumericalMath中提供了多項式擬合函數(shù)PolynomialFit, 其基本格式為PolynomialFitdata,n它按最小二乘法構(gòu)造n次多項式函數(shù)擬合數(shù)據(jù)data. 例如,輸入<<NumericalMathPol

44、ynomialFitp=PolynomialFit1,4,9,16,25,36,49,3則輸出FittingPolynomial< >, 3這里雖然沒有給出擬合多項式的解析表達(dá)式, 但在計算機中已經(jīng)存在. 因此可以用來計算函數(shù)的近似值. 輸入p10 (*計算的近似值*)就得到函數(shù)的近似值100. 如果要擬合多項式的解析表達(dá)式, 輸入Expandpx則輸出3.去掉矩陣中非數(shù)值列的命令DropNonNumericColumn如果矩陣M中有非數(shù)值的列, 可先輸入調(diào)用軟件包命令<<StatisticsDataManipulation.m執(zhí)行以后, 再輸入DropNonNumer

45、icColumnM則在輸出的矩陣中已經(jīng)把含有非數(shù)值的列去掉.4.在Mathematica 中作曲線擬合的一般步驟在Mathematica 中作曲線擬合, 可按以下步驟進(jìn)行:(1)用ListPlot數(shù)據(jù)作散點圖, 觀察曲線的分布形狀, 確定基底函數(shù);(2)用Fit 命令求擬合函數(shù);(3)用Plot 命令作擬合曲線圖;(4)最后用Show 命令把散點圖與擬合曲線圖放在同一坐標(biāo)系內(nèi), 觀察擬合效果.實驗舉例曲線擬合例3.1 (教材 例3.1) 為研究某一化學(xué)反應(yīng)過程中溫度對產(chǎn)品得率的影響, 測得數(shù)據(jù)如下:x100110120130140150160170180190y4551546166707478

46、8589試求其擬合曲線.輸入點的坐標(biāo), 作散點圖, 即輸入b2=100,45,110,51,120,54,130,61,140,66,150,70,160,74,170,78,180,85,190,89;fp=ListPlotb2則輸出題設(shè)數(shù)據(jù)的散點圖.通過觀察發(fā)現(xiàn)散點基本位于一條直線附近, 可用直線擬合. 輸入Fitb2,1,x,x (*用Fit作擬合, 這里是線性擬合*)則輸出擬合直線-2.73939+0.48303x作圖觀察擬合效果. 輸入gp=Plot%,x,100,190,PlotStyle->RGBColor1,0,0,DisplayFunction->Identity

47、; (*作擬合曲線的圖形*)Showfp,gp,DisplayFunction->$DisplayFunction (*顯示數(shù)據(jù)點與擬合曲線*)則輸出平面上的點與擬合拋物線的圖形（圖3.1）. 圖3.1例3.2 (教材 例3.2) 給定平面上點的坐標(biāo)如下表:試求其擬合曲線.輸入data=0.1,5.1234,0.2,5.3057,0.3,5.5687,0.4, 5.9378,0.5,6.4337,0.6,7.0978,0.7,7.9493,0.8,9.0253,0.9,10.3627;pd=ListPlotdata;則輸出題設(shè)數(shù)據(jù)的散點圖.觀察發(fā)現(xiàn)這些點位于一條拋物線附近. 用拋物線擬合

48、, 即取基底函數(shù) 輸入f=Fitdata,1,x,x2,x則輸出5.30661-1.83196x+8.17149x2再輸入fd=Plotf,x,0,1,DisplayFunction->Identity;Showpd,fd,DisplayFunction->$DisplayFunction則輸出平面上的點與擬合拋物線的圖形（圖3.2）. 圖3.2下面的例子說明Fit的第二個參數(shù)中可以使用復(fù)雜的函數(shù), 而不限于等.例3.3 (教材 例3.3) 使用初等函數(shù)的組合進(jìn)行擬合的例子.先計算一個數(shù)表. 輸入ft=TableN1+2Exp-x/3,x,10則輸出2.43306,2.02683,

49、1.73576,1.52719,1.37775,1.27067,1.19394,1.13897,1.09957,1.07135然后用基函數(shù)來做曲線擬合. 輸入Fitft,1,Sinx,Exp-x/3,Exp-x,x則輸出擬合函數(shù)其中有些基函數(shù)的系數(shù)非常小, 可將它們刪除. 輸入Chop%則輸出實際上,我們正是用這個函數(shù)做的數(shù)表. 注:命令Chop的基本格式為Chopexpr,其含義是去掉表達(dá)式expr的系數(shù)中絕對值小于的項,的默認(rèn)值為.實驗4 水箱的流量問題（綜合實驗）實驗?zāi)康?掌握應(yīng)用最小二乘擬合原理分析和解決實際問題的思想和方法,能通過觀察測試數(shù)據(jù)的散點圖,建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,并用所學(xué)知識

50、分析和解決所給問題.問題 (1991年美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的A題. 問題中使用的長度單位為E(英尺, 1 E=30.24cm), 容積單位是G(加侖, 1 G=3.785L).某些州的用水管理機構(gòu)需估計公眾的用水速度(單位:G/h)和每天的總用水量. 許多供水單位由于沒有測量流入或流出量的設(shè)備, 而只能測量水箱中的水位(誤差不超過5%). 當(dāng)水箱水位低于水位L時, 水泵開始工作將水灌入水箱, 直至水位達(dá)到最高水位H為止. 但是依然無法測量水泵灌水流量, 因此, 在水泵工作時無法立即將水箱中的水位和水量聯(lián)系起來. 水泵一天灌水12次, 每次約2h. 試估計在任一時刻(包括水泵灌水期間) t流出水箱的流量并估計一天的總用水量.表1給出了某鎮(zhèn)某一天的真實用水?dāng)?shù)據(jù). 水箱是直徑為57E, 高為40E的正圓柱體. 當(dāng)水位落到2