高二數(shù)學圓錐曲線方程優(yōu)化訓練10

1、第八章 圓錐曲線方程(一)橢圓與雙曲線知識網(wǎng)絡范題精講【例1】 已知橢圓的兩焦點為F1(0，1)、F2(0，1)，直線y=4是橢圓的一條準線.(1)求橢圓方程；(2)設點P在橢圓上，且|PF1|PF2|=1，求tanF1PF2的值.解析:本題考查橢圓的基本性質(zhì)及解題的綜合能力.(1)設橢圓方程為+=1(a>b>0).由題設知c=1，=4,a2=4,b2=a2c2=3.所求橢圓方程為+=1.(2)由(1)知a2=4,a=2.由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=4，又|PF1|PF2|=1,|PF1|=，|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,由余弦定理cosF1PF2=.tanF1P

2、F2=.【例2】 已知雙曲線x2=1,過點A(2，1)的直線l與已知雙曲線交于P1、P2兩點.(1)求線段P1P2的中點P的軌跡方程；(2)過點B(1，1)能否作直線l,使l與已知雙曲線交于兩點Q1、Q2，且B是線段Q1Q2的中點?請說明理由.(1)解法一:設點P1、P2的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，中點P的坐標為(x,y),則有x12=1,x22=1,兩式相減，得2(x1+x2)(x1x2)=(y1+y2)(y1y2).當x1x2,y0時,由x1+x2=2x,y1+y2=2y,得=.又由P1、P2、P、A四點共線，得=.由得=,即2x2y24x+y=0.當x1=x2時，x=2,

3、y=0滿足此方程，故中點P的軌跡方程是2x2y24x+y=0.解法二:設點P1、P2、中點P的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x,y),直線l的方程為y=k(x2)+1,將l方程代入雙曲線x2=1中，得(2k2)x2+2k(2k1)x+2k23=0,則x1+x2=,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+24k=. 于是 當y0時，由得k=.將其代入，整理得2x2y24x+y=0.當l傾斜角為90°時，P點坐標為(2，0)仍滿足此方程，故中點P的軌跡方程為2x2y24x+y=0.(2)解:假設滿足題設條件的直線l存在，Q1、Q2的坐標分別為(x3,y3)、(x4,y4)

4、,同(1)得2(x3+x4)(x3x4)=(y3+y4)(y3y4).x3+x4=2,y3+y4=2,=2(x3x4),即l的斜率為2.l的直線方程為y1=2(x1)，即y=2x1.方程組無解，與假設矛盾,滿足條件的直線l不存在.【例3】 如下圖，已知OFQ的面積為S，且·=1，(1)若S的范圍為<S<2,求向量與的夾角的取值范圍；(2)設|=c(c2),S=c,若以O為中心，F(xiàn)為焦點的橢圓經(jīng)過點Q，當|取得最小值時，求此橢圓的方程.分析:本題考查向量的基本知識、三角知識及最值問題在解析幾何中的綜合運用.解:(1)·=1,|·|·cos=1.

5、又|·|·sin(180°)=S,tan=2S,S=.又<S<2,<<2,即1<tan<4,<<arctan4.(2)以所在的直線為x軸，以的過O點的垂線為y軸建立直角坐標系(如下圖).O(0,0),F(c,0),Q(x0,y0).設橢圓方程為+=1.又·=1，S=c,(c,0)·(x0c,y0)=1.·c·|y0|=c.由得c(x0c)=1x0=c+.由得|y0|=.|=.c2,當c=2時，|min=,此時Q(，±)，F(xiàn)(2，0).代入橢圓方程得a2=10,b2=6

6、.橢圓方程為.評析:新知識(向量)在幾何中的應用是值得關注的趨勢.試題詳解高中同步測控優(yōu)化訓練(十一)第八章 圓錐曲線方程(一)(A卷)說明:本試卷分為第、卷兩部分，請將第卷選擇題的答案填入題后括號內(nèi)，第卷可在各題后直接作答.共100分，考試時間90分鐘.第卷(選擇題 共30分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)1.橢圓2x2+3y2=6的焦距是A.2B.2()C.2D.2(+)解析:將2x2+3y2=6化為標準方程為+=1，a2=3,b2=2,c2=32=1，焦距2c=2×1=2.答案:A2.方程4x2+Ry2=1的曲線是焦點在y軸上的橢圓，則R的取值范圍是A.R

7、>0B.0<R<2C.0<R<4D.2<R<4解析:將方程變?yōu)?=1,由已知可得<,0<R<4.答案:C3.已知點M在橢圓上，橢圓方程為+=1,M點到左準線的距離為2.5，則它到右焦點的距離為解析:a=5,b=4,c=3.兩準線間的距離為2·=2×=.M到左準線的距離為2.5，則M到右準線的距離為2.5=.設橢圓右焦點為F，則=,|MF|=8.5.答案:D4.若雙曲線=1的實軸長、虛軸長、焦距成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率是A.2B.3C.D.解析:由2b=a+c得4b2=a2+2ac+c2,即3c22ac5a2=0

8、,3e22e5=0.e=.答案:D5.雙曲線=1的兩焦點為F1、F2，點P在雙曲線上，且直線PF1、PF2傾斜角之差為,則PF1F2的面積為A.16B.32C.32D.42解析:由題意可知|PF1|PF2|=6，F(xiàn)1PF2=,|F1F2|=10.由余弦定理，得|F1F2|2=(|PF1|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,|PF1|·|PF2|=64.S=×64sin=16,選A.答案:A6.以橢圓+=1的焦點為焦點，離心率e=2的雙曲線方程是A.=1B.=1C.=1D.=1解析:a2=25,b2=9,則c2=16,c=4,橢圓焦點坐標為(4，0)、(4，0).

9、雙曲線的焦點仍為(4，0)、(4，0)，由于e=2,c=4,a=2,b2=c2a2=12.雙曲線方程為=1.答案:D7.已知雙曲線=1和橢圓+=1(a>0,m>b>0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a、b、m為邊的三角形是A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形解析:雙曲線=1的離心率e1=，橢圓的離心率e2=.e1與e2互為倒數(shù)，e1e2=1,即·=1,整理得a2+b2=m2.以a、b、m為邊的三角形是直角三角形.答案:B8.方程=|x+y2|表示的曲線是A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.不能確定解析:數(shù)形結(jié)合法.動點P(x,y)到定點(1,1)和定直線x

10、+y2=0距離之比為.答案:B9.若橢圓+=1(m>n>0)和雙曲線=1(a>b>0)有相同的焦點F1、F2，P是兩條曲線的一個交點，則|PF1|·|PF2|的值是A.maB.(ma)C.m2a2D.解析:|PF1|+|PF2|=2,|PF1|PF2|=2,|PF1|=+ ,|PF2|=.|PF1|·|PF2|=ma.答案:A10.已知F1、F2為橢圓+=1(ab0)的焦點,M為橢圓上一點,MF1垂直于x軸,且F1MF2=60°,則橢圓的離心率為A.B.C.D.分析:本題考查如何求橢圓的離心率.解:MF1x軸,M點的橫坐標為xM=c.把xM

11、代入橢圓方程+=1中,得yM=,如下圖所示.在RtMF1F2中,tanF1MF2=,即2ac=b2.a22acc2=0.每一項都除以a2,得2ee2=0,解得e1=或e2= (舍).答案:C第卷(非選擇題 共70分)二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)11.若橢圓的兩個焦點為F1(4，0)、F2(4，0)，橢圓的弦AB過點F1，且ABF2的周長為20，那么該橢圓的方程為_.解析:ABF2的周長:|AF2|+|AF1|+|BF2|+|BF1|=2a+2a=4a=20,a=5.又c=4,b=3.橢圓的方程為+=1.答案: +=112.已知P是橢圓上的一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點，

12、PF1F2=90°,PF2F1=30°,則橢圓的離心率是_.解析:因為e=,于是在PF1F2中，由正弦定理知e=.答案:13.經(jīng)過點M(10, ),漸近線方程為y=±x的雙曲線方程為_.分析:本題考查依據(jù)條件求雙曲線的方程.解:設雙曲線的方程為(x3y)(x+3y)=m(mR,且m0),因雙曲線過點M(10,),所以有(103×)(10+3×)=m,得m=36.所以雙曲線方程為x29y2=36,即=1.答案: =114.方程+=1表示的曲線為C，給出下列四個命題:曲線C不可能是圓；若1<k<4,則曲線C為橢圓；若曲線C為雙曲線，則k

13、<1或k>4；若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則1<k<.其中正確的命題是_.解析:當4k=k1,即k=時表示圓，否定命題,顯然k=(1,4),否定命題；若曲線C為雙曲線，則有(4k)(k1)<0,即4<k或k<1,故命題正確；若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則4k>k1>0,解得1<k<,說明命題正確.答案:三、解答題(本大題共5小題，共54分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本小題滿分8分)設橢圓的中心為坐標原點，它在x軸上的一個焦點與短軸兩端點連成60°的角，兩準線間的距離等于8，求橢圓方程.解:

14、依題意，設所求橢圓方程為+=1,橢圓右焦點F(c,0)與短軸兩端點A、B連成60°的角，如圖，則AFB=60°,AFB為等邊三角形，于是有a=2b.又由兩準線間的距離等于8，得=8.聯(lián)立兩方程，解得a=6,b=3.故所求橢圓方程為+ =1.16.(本小題滿分10分)已知橢圓+=1,過點P(2，1)引一條弦，使它在這點被平分，求此弦所在的直線方程.解:如圖，設弦與橢圓的兩交點坐標為A(x1,y1)、B(x2,y2).又P(2,1), 得(x1x2)(x1+x2)+4(y1y2)(y1+y2)=0,=kAB.lAB的方程為y1=(x2).17.(本小題滿分12分)求以橢圓+=1

15、的頂點為焦點,且一條漸近線的傾斜角為的雙曲線方程.分析:已知漸近線方程為bx±ay=0,中心在原點,求雙曲線的方程.可設雙曲線方程為 b2x2a2y2=(0),根據(jù)其他條件,確定的正負.解:橢圓的頂點坐標為(±8,0)、(0,±4).雙曲線漸近線方程為x±y=0,則可設雙曲線方程為x23y2=k(k0)，即=1.若以(±8,0)為焦點,則k+=64,得k=48,雙曲線方程為=1；若以(0,±4)為焦點,則k=16,得k=12,雙曲線方程為=1.18.(本小題滿分12分)如下圖，雙曲線=1(bN*)的兩個焦點為F1、F2，P為雙曲線上一

16、點，|OP|<5,|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差數(shù)列，求此雙曲線方程.解:|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差數(shù)列，|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4c.又|PF1|PF2|=2a=4,|PF1|=2c+2,|PF2|=2c2.根據(jù)中線定理有|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2),(2c+2)2+(2c2)2<2(52+c2).8c2+8<50+2c2.c2<7,即4+b2<7.b2<3.又bN*,b=1.所求雙曲線方程為y2=1.19.(本小題滿分12分)在ABC中,已知B(2,0)、C(2,0),ADBC于點D,ABC的垂心為H,且=.(1)求點H(x,y)的軌跡G的方程；(2)已知P(1,0)、Q(1,0),M是曲線G上的一點,那么,能成等差數(shù)列嗎?若能,求出M點的坐標；若不能,請說明理由.(1)解:H點坐標為(x,y),則D點坐標為(x,0),由定比分點坐標公式可知,A點的坐標為(x,y).=(x+2,y),=(x2,y).由BHCA知x24+y2