高等數(shù)學(xué)上總結(jié)

1、 大學(xué)課程教學(xué)總結(jié)課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)（Advanced Mathematics）教學(xué)單位： 課程代碼：微積分學(xué)（上）-概括與總結(jié)第一、 二章 函數(shù)的極限與連續(xù)一、函數(shù)1、理解函數(shù)的概念(要求：會(huì)求定義域、對(duì)應(yīng)法則、函數(shù)值)-函數(shù)的定義、分段函數(shù)、顯函數(shù)：，隱函數(shù)：，參數(shù)式函數(shù)、反函數(shù)（求法）、復(fù)合函數(shù)、 基本初等函數(shù)與初等函數(shù) 2、掌握函數(shù)的幾何性質(zhì)1）有界性：（利用-定義、或閉區(qū)間上連續(xù)的有界性、或存在極限必有界-判別）2）奇偶性： 若，則為奇函數(shù) 若， 則為偶函數(shù)（注意：奇偶的結(jié)合律） 單調(diào)增：3）單調(diào)性： 單調(diào)減：（注意利用-若則在上為單調(diào)增加（減少）4）周期性：若，則稱(chēng)最小正數(shù)為的周期

2、，為周期函數(shù)。 二、 極限（重點(diǎn)-極限、無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的概念、求極限的方法）1、 極限的概念與性質(zhì)1) 函數(shù)與數(shù)列極限的定義 （略）2）左右極限、極限存在的充要條件即-極限存在的充要條件是左右極限存在且相等。3）極限的性質(zhì)-有界性、唯一性、保號(hào)性。2、無(wú)窮大量與無(wú)窮小量1) 定義： 若時(shí)，f(x)為無(wú)窮小量若，則稱(chēng)，時(shí)，g（x）是無(wú)窮大量。2) 無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系：3）、極限與無(wú)窮小量的關(guān)系： 無(wú)窮小量的性質(zhì)-主要的：4）無(wú)窮小的階的比較定義：設(shè)是同一種變化趨勢(shì)下的無(wú)窮小,即則：（1）如果,就說(shuō)是比高階的無(wú)窮小,記作；（2）如果,就說(shuō)是比低階的無(wú)窮?。唬?）如果,就說(shuō)與是同階無(wú)窮??；（4

3、）如果,就說(shuō)是關(guān)于的階無(wú)窮??；（5）如果,就說(shuō)與是等價(jià)無(wú)窮小,記作.常見(jiàn)的等階無(wú)窮?。簳r(shí)，sinxx, ln(1+x)x, ，。3、求極限的主要方法1） 極限運(yùn)算法則2） 左右極限存在且相等3） 極限存在的準(zhǔn)則（兩邊夾Th.（準(zhǔn)則）、單調(diào)有界 Th. （準(zhǔn)則）4） 無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系、無(wú)窮小量的性質(zhì)5） 兩個(gè)重要極限 （ 、）6） 洛必塔法則 （） = =A(或)。三、 連續(xù)1、函數(shù)連續(xù)的概念1）函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)連續(xù)的定義（設(shè)y=f(x)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義）若則稱(chēng)f(x)在點(diǎn)連續(xù)，稱(chēng)為連續(xù)點(diǎn)。2） 連續(xù)函數(shù)的定義-若f(x)在(a,b)上點(diǎn)點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)f（x）是（a，b）上的連續(xù)函

4、數(shù)。(a,b)稱(chēng)為f(x)的連續(xù)區(qū)間。若f(x)在上連續(xù)，則還要求：3） 間斷點(diǎn)的分類(lèi)第一類(lèi)間斷點(diǎn)（左、右極限存在的間斷點(diǎn)）第二類(lèi)間斷點(diǎn)（左、右極限至少一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)）2、連續(xù)函數(shù)的主要性質(zhì)1）一切初等函數(shù)在其定義域?qū)?yīng)的區(qū)間內(nèi)連續(xù)2）連續(xù)與極限的關(guān)系：連續(xù)極限存在3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)若 在 上連續(xù)，則（1）、一定有界： （有界性Th.）。 （2）、一定存在最大值和最小值 （最大和最小值Th.）。 （3）、對(duì)于任一個(gè)：，存在使（介值Th.）。（4）、如果=0 （零點(diǎn)Th.）。第三章 導(dǎo)數(shù)與微分一、導(dǎo)數(shù)與微分的概念1、 導(dǎo)數(shù)定義1) 2）導(dǎo)數(shù)定義的幾種等價(jià)形式：3）導(dǎo)數(shù)存在的充要條件是

5、：左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等，即（左導(dǎo)數(shù)）（右導(dǎo)數(shù)）2、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義=曲線在點(diǎn)處的切線的斜率因此, 曲線在點(diǎn)的切線方程為：法線方程為：3、 微分的定義增量 微分 dy= =4、 連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系：可導(dǎo)可微 二、導(dǎo)數(shù)與微分基本公式）（導(dǎo)數(shù)） （微分）三、導(dǎo)數(shù)與微分法則1、四則運(yùn)算法則設(shè)均可導(dǎo)、可微，則也可導(dǎo)、可微且 2、復(fù)合函數(shù)的微分法則（導(dǎo)數(shù)）若y=f(u),u=均可導(dǎo)，則或 (微分)微分形式不變性：3、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法方法一：復(fù)合求導(dǎo)法-方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，再解出方法二：微分法求導(dǎo)法-方程兩邊微分先出微分，再求導(dǎo)數(shù)4、 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法-先取對(duì)數(shù)后求導(dǎo)的方法5、高階求導(dǎo)法-一階、一階地求導(dǎo)，再找

6、規(guī)律6、參數(shù)方程確定的函數(shù)y=f(x)求導(dǎo)法- 第四章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、 微分中值定理-費(fèi)馬Th.、羅爾Th.、拉格朗日Th.、柯西Th.、泰勒Th.1、若f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則2、 2個(gè)推論3、 泰勒Th.若在含有的某個(gè)區(qū)間內(nèi)存在直到階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)該區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)都有：其中：，（在與之間的數(shù)）稱(chēng)為拉格朗日型余項(xiàng)，且當(dāng)時(shí)，泰勒公式稱(chēng)為麥克勞林公式： ,二、洛必塔法則（） = =A(或)。 （其他未定型極限要先化為后才用該法則）三、函數(shù)單調(diào)性曲線的凹凸性及拐點(diǎn)的判別方法1、 （）函數(shù)為單調(diào)增加的（減少的）2、 >0 (<0) ，曲線曲線在上為凹（凸）的；

7、3、 若=0，且點(diǎn)左、右邊二階導(dǎo)數(shù)變號(hào)，則為曲線的拐點(diǎn)。四、函數(shù)的極值與最大、最小值及其求法1、可微的在點(diǎn)取得極值的必要條件為：2、極值的判別方法：1）若 （或點(diǎn)左邊，右邊） 2）若 （或點(diǎn)左邊,右邊） 3、函數(shù)的最大、最小值求法-求出駐點(diǎn)，奇異點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值加以比較，最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ。┲等粼趦?nèi)有唯一駐點(diǎn)，且是極大值（極小值），那么一定是在上的最大值（最小值），這時(shí)在上的最小值（最大值）一定是和的最小者（最大者）.五、求漸近線的方法1、 若 2、 若 3、若作圖(略)六 導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟(jì)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用1、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù)（1）需求函數(shù) （單調(diào)減函數(shù)）（2）供給函數(shù)（單調(diào)增函數(shù)）（3

8、）成本函數(shù)總成本函數(shù) 或 其中為單位可變成本（如需用的勞力、原材料等），為固定成本 總成本函數(shù)除以產(chǎn)量稱(chēng)為平均成本函數(shù).記為 .（4）收益函數(shù) .其中為單價(jià)，為產(chǎn)品銷(xiāo)量.（5）利潤(rùn)函數(shù) 總利潤(rùn)函數(shù)為總收入減去總成本，即平均利潤(rùn)函數(shù)為2 、邊際函數(shù)與邊際分析一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上稱(chēng)為邊際函數(shù)。一般上，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上稱(chēng)為邊際。例如總成本（收益、利潤(rùn)）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上稱(chēng)為邊際成本（收益、利潤(rùn)），利用導(dǎo)數(shù)分析解決經(jīng)濟(jì)上的問(wèn)題，稱(chēng)為邊際分析。最大利潤(rùn)的原則是： 必要條件：充分條件：3、彈性函數(shù)與彈性分析 在經(jīng)濟(jì)上，把某一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變化的反映程度稱(chēng)為彈性(或彈性系數(shù))。例如，商品的需

9、求量（商品的供給量）對(duì)價(jià)格變化的反映程度稱(chēng)為需求的價(jià)格彈性(供給的價(jià)格彈性)，簡(jiǎn)稱(chēng)需求彈性（供給彈性）。且在經(jīng)濟(jì)上， 彈性函數(shù)=。 設(shè)某商品的需求函數(shù)為，則該商品的需求彈性定義為 。當(dāng)價(jià)格上升（下降）百分之一時(shí)，需求量減少（增加）百分之。在經(jīng)濟(jì)中，一般上當(dāng)?shù)谖逭?不 定 積 分一、不定積分的概念與性質(zhì)1、概念：若F(x)=f(x),，則稱(chēng)F(x)是f(x) （）的一個(gè)原函數(shù). F（x）+c稱(chēng)為f(x) 的不定積分，記為，即， 2、不定積分的性質(zhì)1）積分與微分的關(guān)系：2) 積分的運(yùn)算性質(zhì)：3) 積分的形式與積分變量選擇無(wú)關(guān)若=F(x)+c則。二、積分基本公式1、 2、3、 4、 5、 6、7、

10、8、9、 10、11、 12、 13、（或）14、15、 16、17、 18、19、 20、21、 等。三、掌握主要的積分方法與技巧1、第一換元積分法（湊微分法）若,可微則 （對(duì)比積分公式-）2、 第二換元積分法（變量代換法） （對(duì)x 難積分）（） （變形后對(duì)t易積分）一般上，若f(x)含有因子：1）2）積分3）. 4）.積分3、分部積分法（或部分積分法）4、有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式的積分法（用綜合除法、 （ 設(shè)待定系數(shù)法） 或 等）第六章 定 積 分一、定積分的概念與性質(zhì)1、定積分的概念=積分變量選擇無(wú)關(guān)，即。定積分的幾何意義-曲邊梯形的面積S2、 定積分的性質(zhì)1）、2）、（規(guī)定）3）、4）

11、、5）、6）、=7）、若f(x)g(x),xa,b，則8）、（積分估值Th.）9）、（積分中值Th.）若f(x)在a,b上連續(xù)，則在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得10）、（奇偶性）二、可變上、下限積分及其求導(dǎo)Th1 2 3 4=5三、牛頓-萊布尼茲公式Newton-Leibniz公式：若在a,b上連續(xù).且，則四、定積分的換元積分法與分部積分法 1、第一 換元積分法設(shè)則有2、第二 換元積分法（變量代換法） （對(duì)x難積分） （換元的同時(shí)要換限，且換元方法與不定積分的換元法類(lèi)同）。3、分部積分法給出五、廣義積分法（反常積分法）-變上、下限積分的極限法 （x=b為瑕點(diǎn)）。六、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用1、面積公式 2、 旋轉(zhuǎn)體的體積公式七、定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用1、 由邊際函數(shù)求原函數(shù)