高中數(shù)學(xué)空間幾何必刷題

1、1（2012西山區(qū)）如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，PA=AB=2，E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)，AE=（）求證：平面AEF平面PAB（）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值2（2011重慶）如圖，在四面體ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，AC=AD=2，BC=CD=1（）求四面體ABCD的體積；（）求二面角CABD的平面角的正切值3（2011宜陽(yáng)縣）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=CC1=2，ACB=90，E、F分別是BA、BC的中點(diǎn)，G是AA1上一點(diǎn)，且AC1EG（）確定點(diǎn)G的位置；（）求直線AC1與平面EFG所成角的大小4（2

2、011浙江）如圖，在三棱錐PABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上（）證明：APBC；（）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2求二面角BAPC的大小5（2011遼寧）如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=1/2PD（I）證明：平面PQC平面DCQ（II）求二面角QBPC的余弦值6（2011湖北）如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在側(cè)棱AA1上，點(diǎn)F在側(cè)棱BB1上，且AE=2，BF=（I） 求證：CFC1E；（II） 求二面角ECFC1的大小7（2011湖北）如圖，已知正三棱柱ABC=A1

3、B1C1的各棱長(zhǎng)都是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合（）當(dāng)CF=1時(shí)，求證：EFA1C；（）設(shè)二面角CAFE的大小為，求tan的最小值8 （2011杭州）如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，BAD=60，M為PC的中點(diǎn)（1）求證：PA平面BDM； （2）求直線AC與平面ADM所成角的正弦值9.以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于（ ）A B C2 D110.如圖，三棱錐中中，平面，。（I）求證：平面；（II）若，為中點(diǎn)，求三棱錐的體積。11. 設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的

4、底面分別為，體積分別為，若它們的側(cè)面積相等，且，則的值是_12.如圖，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn).已知,求證: (1)直線平面； (2)平面平面.13.一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則多面體的體積是（ ）A. B. C. D.714.如圖，四棱錐的底面邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為.點(diǎn)分別是棱上共面的四點(diǎn)，平面平面，平面.(1) 證明：(2) 若，求四邊形的面積.15.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為 .16.如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，、分別為、的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積.17.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，

5、一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 給出編號(hào)為、的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為圖圖圖圖第7題圖 A和 B和 C和 D和18.如圖，在正方體中，P，Q，M，N分別是棱， 第18題圖，的中點(diǎn). 求證：（）直線平面；（）直線平面. 19.如圖3，已知二面角的大小為，菱形在面內(nèi)，兩點(diǎn)在棱上，是的中點(diǎn)，面，垂足為.（1） 證明：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值.20.如圖，三棱柱中，.（1）求證：；（2）若，問(wèn)為何值時(shí)，三棱柱體積最大，并求此最大值。21.已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說(shuō)法正確的是（ ）A若則 B若，則

6、C若，則 D若，則22. 某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A B C D23.如圖，和所在平面互相垂直，且，E、F、G分別為AC、DC、AD的中點(diǎn).（1）求證：平面BCG；（2）求三棱錐D-BCG的體積.附：椎體的體積公式，其中S為底面面積，h為高.24.已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為（ ）A B C D25.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高位4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為（ ）A B C D26. 一個(gè)六棱錐的體積為，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為。27.如圖，四棱錐中，分別為線段的中

7、點(diǎn). （）求證：；（II）求證：28陜西將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得集合體的側(cè)面積是（ ）A.4 B.8 C.2 D.29.四面體及其三視圖如圖所示，平行于棱的平面分別交四面體的棱 于點(diǎn).（1）求四面體的體積；（2）證明：四邊形是矩形.30.某三棱錐的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是（ ）（錐體體積公式：，其中為底面面積，為高）A、 B、 C、 D、31.在如圖所示的多面體中，四邊形和都為矩形。（）若，證明：直線平面；（）設(shè)，分別是線段，的中點(diǎn)，在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線平面？請(qǐng)證明你的結(jié)論。32. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體

8、積為 .33.如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，,分別是棱的中點(diǎn). （1） 證明平面；（2） 若二面角P-AD-B為， 證明：平面PBC平面ABCD 求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.34.某幾何體的三視圖（單位：cm）若圖所示，則該幾何體的體積是（ ）A. B. C. D. 35.設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則（ ）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則ADEBC36.如圖，在四棱錐ABCDE中，平面平面；，。（1）證明：平面；（2）求直線與平面ABC所成的角的正切值。1（2012西山區(qū)）如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，PA=PB=2，E、

9、F分別為CD、PB的中點(diǎn)，AE=（）求證：平面AEF平面PAB（）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定。專題：綜合題。分析：（）由四邊形ABCD是菱形，PA平面ABCD，PA=PB=2，E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)，AE=，知AD=CD=AB=2，在ADE中，AE=，DE=1，所以AECD由ABCD，知AEAB由此能夠證明平面AEF平面PAB（）法一：由AE平面PAB，AE平面PAE，知平面PAE平面PAB，由PA平面ABCD，知PACD由AECD，PAAE=A，知CD平面PAE，由CD平面PCD，知平面PAE是平面PAB與平面PC

10、D的公垂面，由此能夠求出平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值（）法二：以A為原點(diǎn)，AB、AE分別為x軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，因?yàn)镻A=AB=2，AE=，所以A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，0）、C（1，0），則，由AE平面PAB，知平面PAB的一個(gè)法向量為，求出平面PCD的一個(gè)法向量由此能求出平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值解答：解：（）證明：四邊形ABCD是菱形，AD=CD=AB=2，在ADE中，AE=，DE=1，AD2=DE2+AE2，AED=90，即AECDABCD，AEABPA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAEPAAB=A，A

11、E平面PAB，AE平面AEF，平面AEF平面PAB（6分）（）解法一：由（1）知AE平面PAB，而AE平面PAE，平面PAE平面PAB，（6分）PA平面ABCD，PACD由（）知AECD，又PAAE=A，CD平面PAE，又CD平面PCD，平面PCD平面PAE平面PAE是平面PAB與平面PCD的公垂面（8分）所以，APE就是平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的平面角（9分）在RTPAE中，PE2=AE2+PA2=3+4=7，即（10分）PA=2，所以，平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值為（12分）（）解法二：以A為原點(diǎn)，AB、AE分別為x軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，

12、如圖所示因?yàn)镻A=AB=2，AE=，所以A（0，0，0）、P（0，0，2）、E（0，0）、C（1，0），則，（7分）由（）知AE平面PAB，故平面PAB的一個(gè)法向量為，（8分）設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，則，即，令y=2，則（10分）= = 所以，平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值為（12分）點(diǎn)評(píng)：本題考查平面AEF平面PAB的證明，求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題，注意向量法的合理運(yùn)用2如圖，在四面體ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，AC=AD=2，BC=CD=1（）求四

13、面體ABCD的體積；（）求二面角CABD的平面角的正切值考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；二面角的平面角及求法。專題：綜合題；轉(zhuǎn)化思想。分析：法一：幾何法，（）過(guò)D作DFAC，垂足為F，由平面ABC平面ACD，由面面垂直的性質(zhì)，可得DF是四面體ABCD的面ABC上的高；設(shè)G為邊CD的中點(diǎn)，可得AGCD，計(jì)算可得AG與DF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得SABC，由棱錐體積公式，計(jì)算可得答案；（）過(guò)F作FEAB，垂足為E，連接DE，分析可得DEF為二面角CABD的平面角，計(jì)算可得EF的長(zhǎng)，由（）中DF的值，結(jié)合正切的定義，可得答案法二：向量法，（）首先建立坐標(biāo)系，根據(jù)題意，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，過(guò)O作OHAC，交A

14、B與H，過(guò)O作OMAC，交AD與M；易知OHOM，因此可以以O(shè)為原點(diǎn)，以射線OH、OC、OM為x軸、y軸、z軸，建立空間坐標(biāo)系OXYZ，進(jìn)而可得B、D的坐標(biāo)；從而可得ACD邊AC的高即棱住的高與底面的面積，計(jì)算可得答案；（）設(shè)非零向量=（l，m，n）是平面ABD的法向量，由（）易得向量的坐標(biāo)，同時(shí)易得=（0，0，1）是平面ABC的法向量，由向量的夾角公式可得從而cos，進(jìn)而由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，可得tan，即可得答案解答：解：法一（）如圖：過(guò)D作DFAC，垂足為F，由平面ABC平面ACD，可得DF平面ACD，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高；設(shè)G為邊CD的中點(diǎn)，由AC=AD，可得AG

15、CD，則AG=；由SADC=ACDF=CDAG可得，DF=；在RtABC中，AB=，SABC=ABBC=；故四面體的體積V=SABCDF=；（）如圖，過(guò)F作FEAB，垂足為E，連接DE，由（）知DF平面ABC，由三垂線定理可得DEAB，故DEF為二面角CABD的平面角，在RtAFD中，AF=；在RtABC中，EFBC，從而，可得EF=；在RtDEF中，tanDEF=則二面角CABD的平面角的正切值為3在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=CC1=2，ACB=90，E、F分別是BA、BC的中點(diǎn)，G是AA1上一點(diǎn)，且AC1EG（）確定點(diǎn)G的位置；（）求直線AC1與平面EFG所成角的大小考點(diǎn)：

16、直線與平面所成的角。專題：計(jì)算題；綜合題。分析：解法一：（）以C為原點(diǎn)，分別以CB、CA、CC1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積為零即可求得結(jié)果；（）求出平面EFG的法向量的一個(gè)法向量，利用直線的方向向量與法向量的夾角與直線與平面所成角之間的關(guān)系即可求得結(jié)果；解法二：（）取AC的中點(diǎn)D，連接DE、DG，則EDBC，利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可求得結(jié)果；（）取CC1的中點(diǎn)M，連接GM、FM，則EFGM，找出直線與平面所成的角，解三角形即可求得結(jié)果解答：解法一：（）以C為原點(diǎn)，分別以CB、CA、CC1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則F（1，0，0）

17、，E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），設(shè)G（0，2，h），則AC1EG，10+1（2）+2h=0h=1，即G是AA1的中點(diǎn)（）設(shè)是平面EFG的法向量，則所以平面EFG的一個(gè)法向量m=（1，0，1），即AC1與平面EFG所成角為解法二：（）取AC的中點(diǎn)D，連接DE、DG，則EDBCBCAC，EDAC又CC1平面ABC，而ED平面ABC，CC1EDCC1AC=C，ED平面A1ACC1又AC1EG，AC1DG連接A1C，AC1A1C，A1CDGD是AC的中點(diǎn)，G是AA1的中點(diǎn)（）取CC1的中點(diǎn)M，連接GM、FM，則EFGM，E、F、M、G共面作C1HFM，交FM的延長(zhǎng)線于H，AC

18、平面BB1C1C，C1H平面BB1C1C，ACG1H，又ACGM，GMC1HGMFM=M，C1H平面EFG，設(shè)AC1與MG相交于N點(diǎn)，所以C1NH為直線AC1與平面EFG所成角因?yàn)?，點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定和直線與平面所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力屬中檔題4如圖，在三棱錐PABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上（）證明：APBC；（）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2求二面角BAPC的大小考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；二面角的平面角及求法。專題：綜合題

19、；轉(zhuǎn)化思想。分析：（I）由題意因?yàn)镻O平面ABC，垂足O落在線段AD上所以BCPO有AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，得到BCAD，進(jìn)而得到線面垂直，即可得到所證；（II）有（I）利用面面垂直的判定得到PA平面BMC，再利用二面角的定義得到二面角的平面角，然后求出即可解答：解：（I）由題意畫(huà)出圖如下：由AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，得ADBC，又PO平面ABC，垂足O落在線段AD上，得到POBC，POAD=OBC平面PAD，故BCPA（II）如圖，在平面PAB中作BMPA于M，連接CM，BCPA，PA平面BMC，APCM，故BMC為二面角BAPC的平面角，在直角三角形ADB中，；在直角三角形POD中，

20、PD2=PO2+OD2，在直角三角形PDB中，PB2=PD2+BD2，PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6，在直角三角形POA中，PA2=AO2+OP2=25，得PA=5，又cosBPA=，從而故BM=，BM2+MC2=BC2，二面角BAPC的大小為90點(diǎn)評(píng)：（I）此問(wèn)考查了線面垂直的判定定理，還考查了線面垂直的性質(zhì)定理；（II）此問(wèn)考查了面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定義，還考查了在三角形中求解5如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）證明：平面PQC平面DCQ（II）求二面角QBPC的余弦值考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；平面與

21、平面垂直的判定；向量語(yǔ)言表述面面的垂直、平行關(guān)系；用空間向量求平面間的夾角。專題：計(jì)算題；證明題。分析：首先根據(jù)題意以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz；（）根據(jù)坐標(biāo)系，求出則、的坐標(biāo)，由向量積的運(yùn)算易得=0，=0；進(jìn)而可得PQDQ，PQDC，由面面垂直的判定方法，可得證明；（）依題意結(jié)合坐標(biāo)系，可得B、的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的PBC的法向量與平面PBQ法向量，進(jìn)而求出cos，根據(jù)二面角與其法向量夾角的關(guān)系，可得答案解答：解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz；（）依題意有Q（1，1，0）

22、，C（0，0，1），P（0，2，0）；則=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，1，0），所以=0，=0；即PQDQ，PQDC，故PQ平面DCQ，又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ；（）依題意，有B（1，0，1），=（1，0，0），=（1，2，1）；設(shè)=（x，y，z）是平面的PBC法向量，則即，因此可取=（0，1，2）；設(shè)是平面PBQ的法向量，則，可取=（1，1，1），所以cos，=，故二面角角QBPC的余弦值為點(diǎn)評(píng)：本題用向量法解決立體幾何的常見(jiàn)問(wèn)題，面面垂直的判定與二面角的求法；注意建立坐標(biāo)系要容易求出點(diǎn)的坐標(biāo)，頂點(diǎn)一般選在有兩兩垂直的三條直線的交點(diǎn)處，這樣才有助于下一步的計(jì)算

23、6如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在側(cè)棱AA1上，點(diǎn)F在側(cè)棱BB1上，且AE=2，BF=（I） 求證：CFC1E；（II） 求二面角ECFC1的大小考點(diǎn)：二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系。專題：計(jì)算題；證明題。分析：（I）欲證C1E平面CEF，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證C1E與平面CEF內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)勾股定理可知EFC1E，C1ECE，又EFCE=E，滿足線面垂直的判定定理，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知CFC1E；（II）根據(jù)勾股定理可知CFEF，根據(jù)線面垂直的判定定理可知CF平面C1EF，而C1F平面C1EF，則CFC

24、1F，從而EFC1即為二面角ECFC1的平面角，在C1EF是等腰直角三角形，求出此角即可解答：解：（I）由已知可得CC1=，CE=C1F=，EF2=AB2+（AEBF）2，EF=C1E=，于是有EF2+C1E2=C1F2，CE2+C1E2=C1C2，所以EFC1E，C1ECE又EFCE=E，所以C1E平面CEF由CF平面CEF，故CFC1E；（II）在CEF中，由（I）可得EF=CF=，CE=，于是有EF2+CF2=CE2，所以CFEF，又由（I）知CFC1E，且EFC1E=E，所以CF平面C1EF又C1F平面C1EF，故CFC1F于是EFC1即為二面角ECFC1的平面角由（I）知C1EF是等

25、腰直角三角形，所以EFC1=45，即所求二面角ECFC1的大小為45點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角的求法，同時(shí)考查了空間想象能力和推理論證的能力7如圖，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱長(zhǎng)都是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合（）當(dāng)CF=1時(shí)，求證：EFA1C；（）設(shè)二面角CAFE的大小為，求tan的最小值考點(diǎn)：二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系。專題：計(jì)算題。分析：（I）過(guò)E作ENAC于N，連接EF，NF，AC1，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影，根據(jù)，得NFAC，又AC1A1C，故NFA1C，由三垂線定理

26、可得結(jié)論；（II）連接AF，過(guò)N作NMAF與M，連接ME根據(jù)三垂線定理得EMAF，則EMN是二面角CAFE的平面角即EMN=，在直角三角形CNE中，求出NE，在直角三角形AMN中，求出MN，故tan=，根據(jù)的范圍可求出最小值解答：解：（I）過(guò)E作ENAC于N，連接EF，NF，AC1，由直棱柱的性質(zhì)可知，底面ABC側(cè)面A1CEN側(cè)面A1CNF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影在直角三角形CNF中，CN=1則由，得NFAC1，又AC1A1C，故NFA1C由三垂線定理可知EFA1C（II）連接AF，過(guò)N作NMAF與M，連接ME由（I）可知EN側(cè)面A1C，根據(jù)三垂線定理得EMAFEMN是二面角CAFE的平面角即EMN=設(shè)FAC=則045，在直角三角形CNE中，NE=，在直角三角形AMN中，MN=3sin故t