高等數(shù)學(xué)習(xí)題詳解導(dǎo)數(shù)與微分

1、習(xí)題3-11設(shè)某產(chǎn)品的總成本C是產(chǎn)量q的函數(shù):，求(1) 從到時，自變量的改變量； (2) 從到時，函數(shù)的改變量； (3) 從到時，函數(shù)的平均變化率； (4) 總成本在處的變化率. 解：(1) =102-100=2,(2) = (3) 函數(shù)的平均變化率為.(4) 總成本在處的變化率為2設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求. 解 3根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義，證明證根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義及“和差化積”公式，得.4已知，求下列極限：(1) (2) 解 (1) (2) =5已知，計算極限 解 6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ; (5) ； (6) 解(1) ； (2) ；(3) ； (4) ; (5)

2、； (6) 7問函數(shù) 在處是否可導(dǎo)？如可導(dǎo)，求其導(dǎo)數(shù). 解 考察處的左、右導(dǎo)數(shù)=,所以，函數(shù)在處的可導(dǎo)，且.8討論函數(shù)在點和處的連續(xù)性與可導(dǎo)性. 解 (1)考察處的左、右導(dǎo)數(shù)=,所以，函數(shù)在處不可導(dǎo)；又,所以，函數(shù)在處連續(xù).(2) 考察處的左、右導(dǎo)數(shù)=所以，函數(shù)在處的可導(dǎo)，且.9求等邊雙曲線在點處的切線的斜率, 并寫出在該點處的切線方程和法線方程. 解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得切線斜率為所求切線方程為 即法線方程為 即10求曲線在點處的切線與軸的交點. 解曲線在點處的切線斜率為故切線方程為 .上式中，令，得.所以，曲線在點處的切線與軸的交點為.習(xí)題3-21求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) ； (2) ；(3

3、) ； (4) (5) ；(6) 解 (1) ;(2) ;(3) =;(4) (5) ；(6) .2求下列函數(shù)在給定點處的導(dǎo)數(shù)：(1) 求； (2) ，求(3) ，求. 解 (1) =(2) =(3) ，故3曲線上哪一點的切線與直線平行？解 ,令，即，得或，代入原曲線方程都有：，故所求點為：或.4求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ；(6) ；(7) ;(8)； (9)；(10)解(1) ； (2) ；(3) ； (4) =;(5) ；(6) =；(7) =;(8) =； (9)=；(10)=.5已知可導(dǎo)，求下列函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)：(1) ； (2) .解 (1)

4、=(2) =.習(xí)題3-31求下列由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) ； (2)； ;(3) ； (4) .解 (1)方程兩邊同時對自變量求導(dǎo)，得,整理得 ,故；(2) 整理求得=(3) 求得 =(4) 整理求得 故=.2求曲線在點處的切線方程和法線方程. 解 方程兩邊同時對自變量求導(dǎo)，得解得 =，在點處，于是，在點處的切線方程為，即,法線方程為 即.3用對數(shù)求導(dǎo)法求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1) ； (2) ；(3) ； (4) .解 (1)等式兩邊取對數(shù)兩邊對求導(dǎo)得故 .(2) (3) 得.(4) =4求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) ； (2) .解 (1) (2) =5求橢圓在相應(yīng)點處

5、的切線方程.解 .時，切線斜率為，. 故所求切線方程為 .習(xí)題3-41求函數(shù)當(dāng)由1改變到1.005的微分. 解 因為 由題設(shè)條件知 ，故所求微分為 2求函數(shù)在處的微分. 解 所求微分為 =3求下列各微分:(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) .解 (1) =； (2) ；(3) ； (4) ;(5)方程兩邊對求微分.整理得 解得 ； (6) 方程兩邊對求微分.整理得 解得 4計算下列各數(shù)的近似值: (1) ； (2) .解(1) =1.03； (2) =1.975.5在下列等式的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù), 使等式成立.(1) ; (2) ;(3) ； (4) .解(1)

6、; (2) ;(3) ； (4) 即，故.習(xí)題3-51求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1) ； (2) ；(3) ； (4) .解(1) ,； (2) ,=；(3) ,=； (4) ,=2. 驗證函數(shù)(其中為任意常數(shù))滿足方程.證：,.3設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：(1) ； (2) .解 (1)求導(dǎo)數(shù)，于是=(2) =.4對下列方程所確定的函數(shù)求：(1) ； (2) .解 (1)方程兩邊對求導(dǎo)得 .因此求得= =； (2) 方程兩邊對求導(dǎo)得 .因此求得 = 5對下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)求：(1) ； (2) .解(1) .故 =； (2) .故 6求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：(1) ； (2)

7、；(3) ； (4) .解(1) =； (2) ,； (3) ,故; (4) 復(fù)習(xí)題3（A）1已知(為常數(shù))，則(1) ; (2) (3) . 1.解 (1)2; (2) ; (3) 3.(1) =2; (2) =; (3) =3.2函數(shù)在點處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在，是在可導(dǎo)的()A. 充分必要條件；B. 充分但非必要條件；C. 必要但非充分條件；D. 既非充分又非必要條件.2 答C. 在可導(dǎo)的充分必要條件是和都必須存在且相等；反之，和都存在，不能保證在可導(dǎo).3函數(shù)在處 ()A. 可導(dǎo)；B. 連續(xù)但不可導(dǎo)；C. 不連續(xù)；D. 極限不存在.3答B(yǎng). 函數(shù)在連續(xù)；但，故在不可導(dǎo).4設(shè)對定義域中的任

8、意均滿足，且則必有 ()A. 不存在；B. ；C. ； D. .4答D. 5解答下列各題：(1) 設(shè)，求； (2) 設(shè)，求； (3)設(shè)，可導(dǎo)，求； (4) ，求；(5) 求曲線在點的切線與法線方程; (6) 已知函數(shù)由方程 確定，求，;(7) 設(shè)，求;(8) 設(shè)，求.5.解(1)=(2) 由對數(shù)求導(dǎo)法，可求得故；(3) =； (4)取對數(shù) 兩邊求導(dǎo) 故(5) 兩邊求導(dǎo)得，故因此切線方程為 ,法線方程為; (6) =；(7) 由知故=; (8) =.6設(shè)函數(shù) 在處可導(dǎo)，求的值.6解：因可導(dǎo)必連續(xù)，所以,得考察處的左、右導(dǎo)數(shù)=所以，得到.7. 設(shè)函數(shù)在點連續(xù), 且, 證明在的可導(dǎo)，并求出.7.證:

9、因在點連續(xù),故，又 故在的可導(dǎo)，=8驗證函數(shù)(其中為任意常數(shù))滿足方程.8證：因,故 .（B）1. 設(shè)函數(shù)在連續(xù)，下列命題錯誤的是( )A. 若存在，則；B. 若存在，則存在；C. 若存在，則；D. 若存在，則存在.1.答：D. A.正確，因為存在，則，又在連續(xù)，所以；B.正確，因為若存在，則=存在；C.正確，因若存在，則,故；D.錯，如, ，但不存在.2. 若，則2. ，,所以=.3設(shè)周期函數(shù)在周期為3，且，則曲線在點的切線斜率為3 -3，=,4. 已知，求.4. 解：=5.設(shè)存在，求.5. 解：=6. 設(shè)，在區(qū)間內(nèi)求.6. 解：,考察處的左、右導(dǎo)數(shù)=所以，函數(shù)在處不可導(dǎo).故所求導(dǎo)數(shù)為：7. 設(shè)函數(shù)在點連續(xù), 且, 討論在的可導(dǎo)性.7. 解：(1)若，則不存在，此時在不可導(dǎo)(2)若，則，此時在可導(dǎo).8. 驗證下列命題：(1) 若定義在內(nèi)以周期為T的周期函數(shù)可微，則也是以周期為T的周期函數(shù).(2) 若函數(shù)在內(nèi)是可微奇(偶)函數(shù)，則內(nèi)必為偶(奇)函數(shù).8. 證: (1)因,又,因此=(2) 若函數(shù)在內(nèi)是可