高數下冊常用常見知識點

1、高等數學下冊常用常見知識點第八章 空間解析幾何與向量代數（一） 向量及其線性運算1、 向量，向量相等，單位向量，零向量，向量平行、共線、共面；2、 線性運算：加減法、數乘；3、 空間直角坐標系：坐標軸、坐標面、卦限，向量的坐標分解式；4、 利用坐標做向量的運算：設，則 , ； 5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：；2） 兩點間的距離公式：3） 方向角：非零向量與三個坐標軸的正向的夾角4） 方向余弦：5） 投影：，其中為向量與的夾角。（二） 數量積，向量積1、 數量積：1）2）2、 向量積：大小：，方向：符合右手規(guī)則1）2）運算律：反交換律 （三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：2

2、、 旋轉曲面：（旋轉后方程如何寫）面上曲線，繞軸旋轉一周：繞軸旋轉一周：3、 柱面：（特點）表示母線平行于軸，準線為的柱面4、 二次曲面（會畫簡圖）1） 橢圓錐面：2） 橢球面：旋轉橢球面：3） *單葉雙曲面：4） *雙葉雙曲面：5） 橢圓拋物面：6） *雙曲拋物面（馬鞍面）：7） 橢圓柱面：8） 雙曲柱面：9） 拋物柱面：（四） 空間曲線及其方程1、 一般方程：2、 參數方程：，如螺旋線：3、 空間曲線在坐標面上的投影，消去，得到曲線在面上的投影（五） 平面及其方程（法向量）1、 點法式方程： 法向量：，過點2、 一般式方程：（某個系數為零時的特點）截距式方程：3、 兩平面的夾角：，4、 點

3、到平面的距離：（六） 空間直線及其方程（方向向量）1、 一般式方程：2、 對稱式（點向式）方程： 方向向量：，過點3、 參數式方程：4、 兩直線的夾角：，5、 直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角，第九章 多元函數微分法及其應用（一） 基本概念1、 距離，鄰域，內點，外點，邊界點，聚點，開集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無界集。2、 多元函數：，圖形，定義域：3、 極限：4、 連續(xù)：5、 偏導數：6、 方向導數： 其中為的方向角。7、 梯度：，則。8、 全微分：設，則（二） 性質1、 函數可微，偏導連續(xù)，偏導存在，函數連續(xù)等概念之間的關系：偏導數存在函數可微函數連續(xù)偏導數連續(xù)

4、充分條件必要條件定義122342、 閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定義： 2） 復合函數求導：鏈式法則 若，則 ，3） 隱函數求導：a.兩邊求偏導，然后解方程（組），b.公式法（三） 應用1、 極值1） 無條件極值：求函數的極值解方程組 求出所有駐點，對于每一個駐點，令， 若，函數有極小值，若，函數有極大值； 若，函數沒有極值； 若，不定。2） 條件極值：求函數在條件下的極值令： Lagrange函數解方程組 2、 幾何應用1） 曲線的切線與法平面曲線，則上一點（對應參數為）處的切線方程為：法平面方程為：2） 曲面的切平面與法線曲面，則上一點處

5、的切平面方程為： 法線方程為：第十章 重積分（一） 二重積分1、 定義：2、 性質：（6條）3、 幾何意義：曲頂柱體的體積。4、 計算：1） 直角坐標X型區(qū)域：，Y型區(qū)域：，*交換積分次序（課后題）2） 極坐標（二） 三重積分1、 定義： 2、 性質：3、 計算：1） 直角坐標 -投影法“先一后二” -截面法“先二后一”2） 柱面坐標，3） *球面坐標*（三） 應用曲面的面積：第十一章 曲線積分與曲面積分（一） 對弧長的曲線積分1、 定義：2、 性質：1） 2） 3）在上，若，則4） ( l 為曲線弧 L的長度)3、 計算：設在曲線弧上有定義且連續(xù)，的參數方程為，其中在上具有一階連續(xù)導數，且，

6、則（二） 對坐標的曲線積分1、 定義：設 L 為面內從 A 到B 的一條有向光滑弧，函數，在 L 上有界，定義，.向量形式：2、 性質： 用表示的反向弧 , 則3、 計算：設在有向光滑弧上有定義且連續(xù), 的參數方程為，其中在上具有一階連續(xù)導數，且，則4、 兩類曲線積分之間的關系：設平面有向曲線弧為，上點處的切向量的方向角為：，則.（三） 格林公式1、格林公式：設區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成，函數在 D 上具有連續(xù)一階偏導數, 則有2、為一個單連通區(qū)域，函數在上具有連續(xù)一階偏導數，則 曲線積分 在內與路徑無關曲線積分 在內為某一個函數的全微分（四） 對面積的曲面積分1、 定義：設為光

7、滑曲面，函數是定義在上的一個有界函數，定義 2、 計算：“一單值顯函數、二投影、三代入”，則（五） 對坐標的曲面積分1、 預備知識：曲面的側，曲面在平面上的投影，流量2、 定義：設為有向光滑曲面，函數是定義在上的有界函數，定義 同理，3、 性質：1），則2）表示與取相反側的有向曲面 , 則4、 計算：“一投二代三定號”，在上具有一階連續(xù)偏導數，在上連續(xù)，則,為上側取“ + ”， 為下側取“ - ”.5、 兩類曲面積分之間的關系：其中為有向曲面在點處的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、 高斯公式：設空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成, 的方向取外側, 函數在上有連續(xù)的一階偏導數, 則有或2、

8、*通量與散度*通量：向量場通過曲面指定側的通量為：散度：（七） *斯托克斯公式*1、 斯托克斯公式：設光滑曲面 S 的邊界 G是分段光滑曲線, S 的側與 G 的正向符合右手法則, 在包含å 在內的一個空間域內具有連續(xù)一階偏導數, 則有為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:2、 *環(huán)流量與旋度*環(huán)流量：向量場沿著有向閉曲線G的環(huán)流量為旋度：第十二章 無窮級數（一） 常數項級數1、 定義：1）無窮級數：部分和：，正項級數：，交錯級數：，2）級數收斂：若存在，則稱級數收斂，否則稱級數發(fā)散3）條件收斂：收斂，而發(fā)散；絕對收斂：收斂。2、 性質：1） 改變有限項不影響級數的收斂性；2） 級數，

9、收斂，則收斂；3） 級數收斂，則任意加括號后仍然收斂；4） 必要條件：級數收斂.（注意：不是充分條件?。?、 審斂法正項級數：，1） 定義：存在；2） 收斂有界；3） 比較審斂法：，為正項級數，且 若收斂，則收斂；若發(fā)散，則發(fā)散.4） 比較法的推論：，為正項級數，若存在正整數，當時，而收斂，則收斂；若存在正整數，當時，而發(fā)散，則發(fā)散. 5） 比較法的極限形式：，為正項級數，若，而收斂，則收斂；若或，而發(fā)散，則發(fā)散.6） 比值法：為正項級數，設，則當時，級數收斂；則當時，級數發(fā)散；當時，級數可能收斂也可能發(fā)散.7） *根值法：為正項級數，設，則當時，級數收斂；則當時，級數發(fā)散；當時，級數可能收斂

10、也可能發(fā)散.8） 極限審斂法：為正項級數，若或，則級數發(fā)散；若存在，使得，則級數收斂.交錯級數：萊布尼茨審斂法：交錯級數：，滿足：，且，則級數收斂。任意項級數：絕對收斂，則收斂。常見典型級數：幾何級數：p -級數：（二） 函數項級數1、 定義：函數項級數，收斂域，收斂半徑，和函數；2、 冪級數：收斂半徑的求法：，則收斂半徑 3、 泰勒級數展開步驟：（直接展開法）1） 求出；2） 求出；3） 寫出；4） 驗證是否成立。間接展開法：（利用已知函數的展開式）1）；2）；3）；4）；5）6）7）8）4、 *傅里葉級數*1） 定義：正交系：函數系中任何不同的兩個函數的乘積在區(qū)間上積分為零。傅里葉級數：系數：