復(fù)變函數(shù)第16講ppt課件

1、15.2 5.2 解析函數(shù)的孤立奇點解析函數(shù)的孤立奇點1 1、孤立奇點的分、孤立奇點的分類及性質(zhì)類及性質(zhì)2 2、施瓦茲引理、施瓦茲引理3 3、皮卡定理、皮卡定理21 1、孤立奇點的定義、孤立奇點的定義定義定義1 1.)(,0,)(0000的孤立奇點的孤立奇點為為則稱則稱內(nèi)解析內(nèi)解析的某個去心鄰域的某個去心鄰域但在但在處不解析處不解析在在若若zfzzzzzzfd d - - 例如例如1( )zfze 1( )1sinf zz 1( )1fzz - -奇奇點點0z 孤立奇點孤立奇點奇奇點點1z 0,z 奇奇點點1(1,2,)znn 3奇點未必奇點未必是孤立的是孤立的.1lim0,0,( )nznf

2、 z 但但在在不不論論多多么么小小的的去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi) 總總有有的的奇奇點點存存在在，10.sin1 /zz 故故不不是是的的孤孤立立奇奇點點 若函數(shù)的奇點個數(shù)有限，則每一奇點都是孤立奇點若函數(shù)的奇點個數(shù)有限，則每一奇點都是孤立奇點. .2 2、孤立奇點的分類、孤立奇點的分類000( )0,( )0|.( )0|zf zf zzzf zzzd dd dd d - - - - 若若為為的的孤孤立立奇奇點點，則則存存在在在在內(nèi)內(nèi)解解析析 于于是是在在內(nèi)內(nèi)可可以以展展開開成成洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)00001()()() .(1)nnnnnnnnnc zzc zzczz - - - - - - - -

3、- - - 注注42.1 可去奇點：可去奇點：展式中不含展式中不含z-z0負冪項，即負冪項，即,|0,)()()1(000d - - - - zzzzczfnnn.)!12()1(! 5! 31sin242 - - - - - - nzzzzznn0z 是是它它的的可可去去奇奇點點. .;)(0的的可可去去奇奇點點稱稱為為則則zfz特點特點?211coszezzz- - -和和的的可可去去奇奇點點是是“可去可去”一詞的解一詞的解釋釋?sinzz：0.z 52.2 極點：極點：展式中僅含有有限多個展式中僅含有有限多個z-z0負冪項，即負冪項，即01z 是是它它的的 級級極極點點或或者者稱稱為為單

4、單極極點點. .;)(0級級極極點點的的稱稱為為則則mzfz特點特點?211()zz - -的的極極點點是是),1, 0()()()2(0 - - - - - - mczzczfmmnnn.!211!110 - - nzzznzzzennnz:zez01.zz和和62.3 本性奇點：本性奇點：展式中含有無窮多個展式中含有無窮多個z-z0 0負冪項負冪項, ,0z 是是 它它 的的 本本 性性 奇奇 點點 . .)(0的的本本性性奇奇點點稱稱為為則則zfz特點特點?1sinz的的本本性性奇奇點點是是.!1!211211 - - - -nznzzez1:ze0.z 73 3、 函數(shù)在孤立奇點的性質(zhì)

5、函數(shù)在孤立奇點的性質(zhì)0( )( )if zz在在點點的的主主要要部部分分為為零零；若若z0為為 f (z) 的孤立奇點，則下列條件等價：的孤立奇點，則下列條件等價：000( ) lim( )();zziif zcc 為為常常數(shù)數(shù)0()( ).iiif zz在在點點 的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有界界性質(zhì)性質(zhì)1 1（可去奇點的判定定理）（可去奇點的判定定理）證：只須證證：只須證顯然顯然( )( ),( )(),()( )iiiiiiiiiiii( )( ):iii( )():iiiii由極限定義即可由極限定義即可()( ):iiii000( )|f zzzzd d - - 設(shè)設(shè)在在點點 的的某

6、某去去心心鄰鄰域域00( )()nnnf zczz - 80( )Mf zz內(nèi)內(nèi)以以為為界界，在在點點 的的主主要要部部分分為為122000,()()nnccczzzzzz- - - - - - - -其中其中1011 22( ), ,()nncf zcdz nizz - - - - - 00|-|,.Cz zrrd d 這這里里 為為圓圓周周由于由于1122| ,nnnMcrMrr - - - 0.nrc- - 由由于于 為為任任意意小小的的正正數(shù)數(shù)，故故證證畢畢90( )( )( )()mh zii f zzz - -性質(zhì)性質(zhì)2（m級極點的特征）級極點的特征）010001( )( )(,)

7、.()mmmifzzcccmzzzz- - - - - - -在在 點點的的 主主 要要 部部 分分 為為000( ( )().h zzh z 在在解解析析，若若 為為 f (z) 的孤立奇點，則下列條件等價的孤立奇點，則下列條件等價 ：0z證：證：( )( )iii去心鄰去心鄰域域0( )f zz若若在在 的的某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有101000( )()()mmccf zcc zzzzzz- - - - - - - -10( )( ):iii0( )h zz將將在在 的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)展展成成泰泰勒勒級級數(shù)數(shù)，得得2000002()( )()()()()!hzh zh zh zz

8、zzz - - - - 則則000100()()()()( )()()!mmmh zh zhzf zzzzzm- -422)1)(1(2)(- - zzzzf例如：例如：為為f (z)的一個的一個4級極點，級極點，1z zi 為為f (z)的單極點的單極點. .11注意：在判斷孤立奇點類型時，不要一看注意：在判斷孤立奇點類型時，不要一看到函數(shù)的表面形式就急于作出結(jié)論到函數(shù)的表面形式就急于作出結(jié)論. 例如例如 利用洛朗展式容易知道，利用洛朗展式容易知道，z=0分別是它們的單極點，可去奇點，分別是它們的單極點，可去奇點，2 2級極點級極點. .1cos)(;sin)(;1)(433221zzzfz

9、zzzfzezfz- - - - - - 性質(zhì)性質(zhì)3若若z0為為f (z)的孤立奇點，則的孤立奇點，則z0為為f (z)的極點的充要條件是的極點的充要條件是0lim( ).zzf z 在判斷函數(shù)的極點時，請比較性質(zhì)在判斷函數(shù)的極點時，請比較性質(zhì)2和性質(zhì)和性質(zhì)3.120( )zf zm若若 是是的的級級零零點點，則則性質(zhì)性質(zhì)501.( )zmf z是是的的級級極極點點)()()(0zzzzfm- - 分析分析),()()(:)(1)(1)(1000zzzzzhzzzzfmm - - - - 13001 ( )( )( )( )( )zf zg zmzf zgnzmn若若 分分別別是是和和的的級級

10、和和 級級零零點點，則則是是的的級級零零點點；02( )( )/( ).mnzf zg znm-當當時時， 是是的的級級極極點點，設(shè)設(shè)23)1(sin)1()(- - zezzzzf例如，例如，321()zze - -04( ).zf z 為為的的 級級極極點點0,( )/ ( ).mnzf zg z 若若則則 是是的的可可去去奇奇點點或或解解析析點點1()sinzz 0z 15性質(zhì)性質(zhì)6 6 （極點的運算性質(zhì)）（極點的運算性質(zhì)）140( )lim( ).zzf zf z 的的洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)有有無無窮窮多多項項負負冪冪次次項項不不存存在在，也也不不為為性質(zhì)性質(zhì)7z0為為 f (z) 的本性奇

11、點的本性奇點注：在求復(fù)變函數(shù)的極限時，也有同實注：在求復(fù)變函數(shù)的極限時，也有同實函數(shù)類似的羅必塔法則函數(shù)類似的羅必塔法則.，則，則數(shù)，且數(shù)，且兩個不恒為零的解析函兩個不恒為零的解析函和和若若0)()()()(00 zgzfzgzf. )()( )( lim)()(lim00 或或者者兩兩端端都都為為zgzfzgzfzzzz由性質(zhì)由性質(zhì)1 1和性質(zhì)和性質(zhì)3 3，得，得151( )( )azf z 若若 不不是是的的本本性性奇奇點點 定理定理5.7 若若z=a為為f(z)之一本性奇點之一本性奇點,且在點且在點a的充分小去心鄰域內(nèi)不為零的充分小去心鄰域內(nèi)不為零,則則z=a亦必為亦必為)(zf1的本性

12、奇點的本性奇點.證證 （反證法）（反證法）若若z=a為為 (z)的可去奇點的可去奇點(解析點解析點),都與假設(shè)都與假設(shè)若若z=a為為 (z)的極點的極點a為為f(z)的可去奇點的可去奇點)()(limbzaz00bba為為f(z)的可去奇點的可去奇點a為為f(z)的極點的極點)(limzaz0)(limzfaz矛盾！矛盾！16.練練習習：考考察察下下列列函函數(shù)數(shù)的的孤孤立立奇奇點點，奇奇點點類類型型，如如果果是是極極點點，指指出出它它的的級級數(shù)數(shù)241111122311( );( );( )sin;zzezzzez- - - - - -答：答：10( ) 3z 是是 級級極極點點；20z （

13、）是是可可去去奇奇點點；31z （ ）本本性性奇奇點點；43zk （ ）是是 級級極極點點；5012,3,1zzkk （ ）級級級級點點, ,是是 級級極極點點；60z （ ）可可去去奇奇點點。232114561cos()( );( );( ).sin()sinsinzzzezezzezzz- -17性質(zhì)性質(zhì)8 8 (Weierstrass)定理定理00( )(),nzf zAzz若若 是是的的本本性性奇奇點點，則則對對任任何何常常數(shù)數(shù)有有限限或或者者無無限限 ，必必存存在在一一個個收收斂斂于于 的的點點列列使使得得lim()nnf zA 例如：例如：1( ),zf ze ()A 對對任任意意

14、的的非非零零也也非非1012,lnnznAn i 0z 本性奇點本性奇點0()nzn 2ln()An inf zeA 1nzn - -0(),();nf zn 1,(),().nnzf znn 18點點).根據(jù)前面根據(jù)前面(1)段的結(jié)果段的結(jié)果,必定有一個趨向必定有一個趨向a的點列的點列zn存在存在,使得使得可能有這種情形發(fā)生可能有這種情形發(fā)生,在點在點a的任意小的鄰域內(nèi)有這樣的任意小的鄰域內(nèi)有這樣一點一點z存在存在,使使f(z)=A.定理得證定理得證 .)(limAzfnazn.A 否則否則,a必為必為f(z)的可去奇點的可去奇點.Azfz-)()(1.這樣這樣,由定理由定理5.7,函數(shù)函數(shù)

15、lim().nnzaz 在在K-a內(nèi)解析內(nèi)解析,且以且以a為本為本性奇點性奇點(因因a為為f(z)的本性奇的本性奇由此推出由此推出因此因此,我們可以假定我們可以假定,在點在點a的充分小去心鄰域的充分小去心鄰域K-a內(nèi)內(nèi)f(z)A證證 (1) 在在 A的情形的情形,定理是正確的定理是正確的.因為函因為函數(shù)數(shù)f(z)的模在的模在a的任何去心鄰域內(nèi)都是無界的的任何去心鄰域內(nèi)都是無界的. (2)現(xiàn)在設(shè)現(xiàn)在設(shè)19 定理定理5.9(畢卡畢卡(大大)定理定理) 如果如果a為為f(z)的本性奇點的本性奇點,則對于每一個則對于每一個A,除掉可能除掉可能一個值一個值A(chǔ)=A0外外,必有趨于必有趨于a的無限點列的無限

16、點列zn使使f(zn)=A (n=1,2,).20 席瓦爾茲席瓦爾茲(Schwarz)引理引理 如果函數(shù)如果函數(shù)f(z)在在單位圓單位圓|z|1內(nèi)解析內(nèi)解析,并且滿足條件并且滿足條件 f(0)=0, |f(z)|1 (|z|1),則在單位圓則在單位圓|z|1內(nèi)恒有內(nèi)恒有|f(z)|z|,且有且有 |f /(0)|1.5.2.4 Schwarz引理引理如果上式等號成立如果上式等號成立,或在圓或在圓|z|1內(nèi)一點內(nèi)一點z00處前一式等號成立處前一式等號成立,則則(當且僅當當且僅當)其中其中為一實常數(shù)為一實常數(shù).),|(|)(1zzezfi21 證證 設(shè)設(shè)2121( )(|).f zc zc zz 120( )( )(),fzzcc zzz 100( )( )cf 10( )maxmax| | |()|( )|f zzrzrzrzz 2201| ( )|.z 001|( )| | ( )|f 0001()| ( )| |,f zzz 讓讓r1即得即得00z 于是于是,且當且當時時,有有即即00|( )| |.f zz 如果這