二次函數(shù)與特殊四邊形綜合問(wèn)題專題訓(xùn)練(有問(wèn)題詳解)

1、標(biāo)準(zhǔn)文檔二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)與特殊四邊形綜合問(wèn)題解析與訓(xùn)練一、知識(shí)準(zhǔn)備：拋物線與直線形的結(jié)合表形式之一是，以拋物線為載體，探討是否存在一些點(diǎn)，使其能 構(gòu)成某些特殊四邊形，有以下常風(fēng)的基本形式(1)拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成平行四邊形(2)拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成矩形，菱形，正方形特殊四邊形的性質(zhì)與是解決這類問(wèn)題的基礎(chǔ)，而待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解 決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。二、例題精析【拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成平行四邊形】1例一、(2013河南)如圖，拋物線y =-x +bx+ c與直線y =-x+ 2交于C,D兩點(diǎn)，其 2中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn) D的坐標(biāo)為(3,7)。點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作 2P

2、E _Lx軸于點(diǎn)E ,交CD于點(diǎn)F .(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m ,當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè),C,P, F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由。1【解答】(1)二.直線y=x+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C ,C(0,2)22.一一7、拋物線 y = x +bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn) C(0, 2) , D (3-)2=c7 M .=-3 3b cblc = 2.拋物線的解析式為y = -x27x 222(2)二,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 m且在拋物線上271-P(m, -m- m 2), F(m,-m 2) PF / CO,，當(dāng)PF=CO時(shí)，以O(shè),C,P, F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形719當(dāng) 0<m<

3、3 時(shí)，PF =-m + m+2 -(一 m+2) =-m +3m 222_-m + 3m = 2 ,解得：m1 = 1, m2 = 2即當(dāng)m = 1或2時(shí)，四邊形OCPF是平行四邊形1979 當(dāng) m 至3時(shí)，PF =( m+2)(m +m+2) = m 3m 2223 .萬(wàn)3- .17 ，一m 3m=2,解得：m 二,m2 =(舍去)223 .17即當(dāng)m1 =時(shí)，四邊形 OCFP是平行四邊形2練習(xí) 1 ： (2013?盤錦)如圖，拋物線 y=ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A ( - 1, 0)、B (3, 0),與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為線段OB上的動(dòng)點(diǎn)(不與 Q B重合)，過(guò)點(diǎn)P垂直于x軸的

4、直線與 拋物線及線段BC分別交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)D在y軸正半軸上，OD=2連接DEOF.(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)四邊形 ODE陛平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.分析：(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；(2)平行四邊形的對(duì)邊相等，因此 EF=OD=2據(jù)此列方程求出點(diǎn) P的坐標(biāo);解答：解：(1)二.點(diǎn) A ( - 1, 0)、B (3, 0)在拋物線 y=ax2+bx+3 上，,fa-b+3=01 ,19a+3b+3=0解得 a= - 1, b=2,，拋物線的解析式為：y= - x2+2x+3.(2)在拋物線解析式 y=-x2+2x+3 中，令 x=0,得 y=3,C

5、(0, 3).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b ,將B (3, 0), C (0, 3)坐標(biāo)代入得：f 3k+b=0lb=3解得 k= - 1, b=3,y= x+3 .設(shè) E 點(diǎn)坐標(biāo)為(x, - x +2x+3),則 P (x, 0), F(x, - x+3),- - EF=yE- yF=- x2+2x+3 - (- x+3) =- x2+3x.- 四邊形ODE陛平行四邊形，.EF=OD=2- x2+3x=2,即 x2- 3x+2=0,解得x=1或x=2 ,.P點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 0)或(2, 0).點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、中心對(duì)

6、稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).第(3)問(wèn)中，特別注意要充分利用平行四邊形中心對(duì)稱的性質(zhì)，只要求出其對(duì)稱中心的坐標(biāo)，即可利用待定系數(shù)法求出所求直線的解析練習(xí) 2：已知拋物線的頂點(diǎn)為 A2, 1),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O,與x軸的另一交點(diǎn)為 R(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以 O C H B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求 D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)連接OA AR如圖，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn) P,使得OBPWOABf 似？若存在，求出 P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。(1 )由題意可設(shè)拋物線的群聽(tīng)式為y=a (x-2) 2+1;拋物淺過(guò)原點(diǎn)，/.Oa ( 0-2 ) 2+

7、1,14拋物線的解析式為片(X-2 ) 2+1, 4(2 )如圖1,當(dāng)四邊形OCDB是平行四邊形時(shí)r CD=OB r由。二工(X-2 )得*=0 f X2=4 r4文案大全,-.B (4,0) r OB=4,由于對(duì)秀軸一,Q點(diǎn)的嗤叁標(biāo)為6 , 12將叉=泄入¥=/(X-2J- + 1 r得bT r4.Df6r-3)；根據(jù)拋物愛(ài)的對(duì)方性可知.在對(duì)稱相的左側(cè)花物線上存在點(diǎn)D ,使得四邊形。DC B是平行四邊形，此時(shí)。點(diǎn)的坐穩(wěn)為(-2. *3) r當(dāng)四邊彩。匚BD是三行四邊形時(shí)，D點(diǎn)即為A點(diǎn)，此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2 r 1)不存在.如圖2 ,由他物辨又寸稱性可知:AO-AB r zAOB=z

8、ABQ .若-3DP與-AOB用限，必須再dOB =4BOA =/BPCl設(shè)。P對(duì)蛾線的對(duì)稱軸于A點(diǎn)r顯然A' (2 r -1)直線OP的解析式為y吟1 1 1主 T=-k+X r 得X1 = O J X產(chǎn) 62 4/.P(6r-3)過(guò)P作PmJ_乂軸，在Rt-BEP中 r BE=2 f PE=3 r,PE=、13X .z.PB/OB ,/,zBOP*zBPO f.一PB。與-BA。不唱似r同理可說(shuō)明在對(duì)邪由左邊的攫物淺上也不存在符含條件的P點(diǎn).所以在閡旭物淺上不存在點(diǎn)P r使得BOP與-A。B相似.2練習(xí)3：(本題滿分12分)如圖，拋物線y=axbx 3與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A1

9、B兩點(diǎn),S.Abc =6tan ZQCA = 一3 ，(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);(3)設(shè)點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，如果 A、C、E、F構(gòu)成平行四邊形，請(qǐng)寫出點(diǎn) E的坐標(biāo)（不必書寫計(jì)算過(guò)程）答案：24> 解：(1) , y = ax2 +bx + 3 C (0,3) 1 分1又. tan Z OCA3A (1, 0) 1分1- x3x AB =6又Saab(f62.AB=4 1分.B ( -3, 0) 1分(2)把 A (1, 0)、B (-3, 0)代入 y = ax2 +bx+3得:1 1分p = 9a-3b+3 - a 1, b = 2y = -x2

10、-2x +3 2 分y = -(x +1產(chǎn) +4，頂點(diǎn)坐標(biāo)(1, 4) 1分(3)AC為平行四邊形的一邊時(shí)E 1 析(-1, 0) 1 分E2 ( 2 - '7 , 0) 1 分E3 ( -2 + 防,0) 1 分AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)E4 (3, 0) 1 分練習(xí) 4： (2011南寧)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+m)+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (3, 0)、B(0, -3),點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn) M設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo) 為t .(1)分別求出直線 AB和這條拋物線的解析式.(2)若點(diǎn)P在第四象限，連接 AM BM當(dāng)線段PM最長(zhǎng)時(shí)，求 ABM勺面積.

11、(3)是否存在這樣的點(diǎn) P,使得以點(diǎn)P、M B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程-因式分解法；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面積；平行四邊形的判定.專題：壓軸題；存在型.分析：(1)分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A (3, 0) B (0, -3)分別代入y=x2+m)+n與y=kx+b,得到關(guān)于 m n的兩個(gè)方程組，解方程組即可；(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(t, t - 3),則M (t, t2-2t -3),用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去 M的縱坐標(biāo)得 至ij PM的長(zhǎng)，即PM=

12、(t-3) - (t2-2t- 3) =-t2+3t,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到當(dāng)t=-=3時(shí),PM最長(zhǎng)為 9 、 =9，再利用三角形的面積公式利用Saab后S一2：-4 BPM+SX APM計(jì)算即可；(3)由PM/ OB根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=O印寸，點(diǎn)R M B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng) P在第四象限：PM=OB=3, PM最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能；當(dāng) P在第 一象限：PM=OB=3, (t2-2t- 3) - (t-3) =3;當(dāng) P 在第三象限：PM=OB=3, t2- 3t=3,分別 解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值.解答：2解：(1)把 A (3, 0

13、) B (0, - 3)代入 y=x+m)+n,得。二9+3葉門解得了-2 ,所以拋物線的解析式是y=x2- 2x-3.3=nn= - 3設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,r A- OU J Lf 1-=1把A (3, 0) B (0, - 3)代入y=kx+b,得一 ，解得，一-3=b b= - 3II所以直線AB的解析式是y=x-3;(2)設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)是(t, t - 3),則 M (t, t2-2t - 3),因?yàn)閜在第四象限，所以 PM= (t 3) ( t22t 3) =-t2+3t ,，3.一 ，一 八-9當(dāng)t=-士一一二3時(shí)，二次函數(shù)的最大值，即PM最長(zhǎng)值為 =-,一 一：2

14、1.4則 S；AABM=S BPI+SAPMpA V X 于2 .2 4 ° S(3)存在，理由如下:PM/ OB當(dāng)PM=OB寸，點(diǎn)P、M B O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形， 9 當(dāng)P在第四象限：PMIO&3, PM最長(zhǎng)時(shí)只有一，所以不可能有 PM=3.4_當(dāng) P在第一象限：PM=O93, (t2- 2t -3) (t 3) =3,解得 ti="-21, t2=3 -何 (舍22去)，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是亙叵；2當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3, t2-3t =3,解得ti上返!(舍去)，tzN一叵，所以p點(diǎn)的22橫坐標(biāo)是"2.2所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 過(guò)叵或尤誓

15、.22【拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成矩形，菱形，正方形】三、形成提升訓(xùn)練(下面兩題難度較大)21、(2007義烏幣)如圖，拋物線 y=x 2x 3與x軸交A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，直線l與拋物線交于 A C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線 AC的函數(shù)表達(dá)式；(2) P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò) P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于 E點(diǎn)，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；(3)點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在 x軸上是否存在點(diǎn) F,使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的 四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.52、如圖，拋物線經(jīng)過(guò) A(1,0), B(5,

16、0),C(0,-)三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P,使PA+PC勺值最小，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使以A,C,M,N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由x(第26題圖)(第26題圖)1a =2,解得b = 2,5 c =.2由題意，得5k b =0,u 5b =-.2解得b”2解析：解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y = ax2+bx +c,a -b +c =0, 根據(jù)題意，得4 25a+5b+c = 0,5c =.121 95.拋物線的解析式為：y = -x2 -2x-5. （3分）22

17、P,(2)由題意知，點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,連接BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)設(shè)直線BC的解析式為y = kx + b , 15直線BC的解析式為y =-x. （6分）221 o _5-:拋物線y =x22x的對(duì)稱軸是x=2,2 21 53.當(dāng) x = 2時(shí)，y= _ x_ = _.2 223點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,-). (7分)(3)存在(8分)(i)當(dāng)存在的點(diǎn)N在x軸的下方時(shí)，如圖所示，二,四邊形ACN謔平行四邊形，CW x軸,5點(diǎn)C與點(diǎn)N關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，= C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-3)，.點(diǎn)N的坐標(biāo)為（11 分）（4,-|）.(II )當(dāng)存在的點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，如圖所示，作 N'H，x軸于點(diǎn)H, 四邊形ACM'N'是平行四邊形， AC = M N , . N M H , CAO ,RtACAO RtA N M H , N H =OC .5，55點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,_),. N H =，即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為一，222'1 x2 2x -=,即 x2 -4x-10=022 2解得 x1 =214,x2 = 2 - 14.55點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(2 Jl4,)和(2 + VT4, ).綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)N共有三個(gè)，分