七年級數(shù)學代數(shù)式學生講義

1、第二章 代數(shù)式2.1 字母表示數(shù)和列代數(shù)式【本講主要內(nèi)容】一. 教學內(nèi)容： 用字母表示數(shù)、列代數(shù)式二. 重點、難點： 1. 重點：用字母表示數(shù)，代數(shù)式的意義，列代數(shù)式。 2. 難點：熟練地用字母表示數(shù)，列代數(shù)式。三. 教學知識要點： 1. 用字母表示數(shù)，不要使字母表示的數(shù)的范圍縮小，一個字母可表示任何有理數(shù)。 2. 在同一個問題中，不同的量必須用不同的字母表示。 3. 字母與字母相乘，“乘號”可省略，數(shù)字與字母相乘，要把數(shù)字寫在字母前面（如a3必須寫成3a，不能寫成a3）；帶分數(shù)與字母相乘，一定要把帶分數(shù)化成假分數(shù)。 5. 代數(shù)式的意義 用運算符號加、減、乘、除、乘方、開方，把數(shù)字與字母聯(lián)結(jié)而

2、成的式子叫代數(shù)式。 說明： （1）單獨的一個數(shù)或字母，雖沒涉及運算，但可以看作是該數(shù)或字母乘以（或除以）1，規(guī)定它們也是代數(shù)式（如15，l，t，0）。 （2）正確列出代數(shù)式的關(guān)鍵為： 抓住關(guān)鍵詞語的意義，理清它們之間的數(shù)量關(guān)系，弄清運算順序和括號的使用方法。 （3）代數(shù)式中不含“”號或“、”號等表示相等關(guān)系或不等關(guān)系的符號。四. 考點分析用字母表示數(shù)用字母表示數(shù)可以簡明地表達現(xiàn)實中浩繁的數(shù)量間的關(guān)系，表達數(shù)的各種運算定律、性質(zhì)和法則。如用字母a、b、c表示三個數(shù)，則加法結(jié)合律可表示為：a+b+c=a+（b+c）=（a+b）+c.在用字母表示數(shù)時，應注意：（1）同一個問題中的相同量要用同一個字母

3、表示，不同量必須用不同字母表示.同一個字母在不同問題中的意義也是不同的.如在表示長方形的面積公式時，用S表示面積，a表示長方形的長，b表示長方形的寬，則有S=ab。在這里，S、a、b分別表示不同的量，同樣是字母a，在不同的問題中可表示不同的數(shù)。（2）應該遵循規(guī)定了的、約定俗成的、沿襲的表示習慣.如：用C表示周長，用表示厘米代數(shù)式1. 代數(shù)式的定義像n-2，3b，m+3等由運算符號連接的式子都是代數(shù)式.單獨一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式.2. 寫代數(shù)式（1）數(shù)與數(shù)相乘用“”；數(shù)與字母，字母與字母相乘用“”或省略不寫；（2）字母與數(shù)字相乘，數(shù)字因式應放在字母因式之前，帶分數(shù)與字母相乘，帶分數(shù)要化為假分

4、數(shù).如a不能寫成a.（3）代數(shù)式中的除號一般用分數(shù)線表示.如2ab應寫成.（4）幾個字母因數(shù)排列時，一般按字母順序排列.如5a2c3b通常寫成5a2bc3.（5）代數(shù)式若是和或差的形式，且結(jié)果中又有單位的，應用括號將代數(shù)式括起來，后面再帶單位.如（2a+3）不能寫成2a+3.3. 列代數(shù)式列代數(shù)式首先要確定數(shù)量與數(shù)量的運算關(guān)系，其次應抓住題中的一些關(guān)鍵詞語，如和、差、積、商、平方、倒數(shù)以及幾分之幾、幾成、倍等等.抓住這些關(guān)鍵詞語，反復咀嚼，認真推敲，列好一般的代數(shù)式就不太難了.【典型例題】 例1. 用代數(shù)式表示： （1）x的平方與y的一半的和 （2）x與y的平方的和的2倍 （3）a與b的倒數(shù)的

5、差的平方 （4）兩個數(shù)的和為100，其中一個數(shù)為a，求兩數(shù)積 （5）m與n的和減去2的相反數(shù) （6）二個連續(xù)偶數(shù)的積 例2. 有若干張邊長都是2的三角形紙片，從中取出一些紙片按如圖所示的順序拼接起來，可以組成一個大的平行四邊形與一個大的梯形，如果取的紙片數(shù)為n，試用含n的代數(shù)式表示組成的平行四邊形或梯形的周長。 例3. 計算： 例4 當x=1時，代數(shù)式的值為2005，求x=1時，代數(shù)式 的值.例5 下圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換機的示意圖，請你用x、y表示輸出結(jié)果，并求輸入x的值為3，y的值為-2時的輸出結(jié)果.輸入x輸入y2( )3+2輸出結(jié)果 例6 求代數(shù)式的值，其中例7. 如圖，是由邊長為1的正方形按

6、照某種規(guī)律排列而成的。（1）觀察圖形，填寫下表：圖形正方形個數(shù)8圖形的周長18（2）推測第n個圖形中，正方形的個數(shù)為_，周長為_（用含n的代數(shù)式表示）【模擬試題】（答題時間：30分鐘）一. 填空題。 1. 下列各式：，其中代數(shù)式的個數(shù)有_個。 2. a的絕對值與3的倒數(shù)的和的平方可表示為_。 3. 甲、乙兩地相距1000米，有小王每分鐘走x米，小李每分鐘走y米，他們兩人同時分別從甲、乙兩地相向而行，_分鐘后相遇。 4. 小紅每小時走公里，y小時后走了_公里。 5. 把a千克鹽放進b千克水中，配制成的鹽水濃度為_。二. 用代數(shù)式表示。 （1）x與y的積的平方； （2）a與b的相反數(shù)的和的6倍；

7、（3）兩個數(shù)的積為8，其中一個數(shù)m，求兩數(shù)和； （4）一個兩位數(shù)的個位上數(shù)字為a，十位上數(shù)字比它多2，求這個兩位數(shù)； （5）兩個連續(xù)整數(shù)的積； （6）被x除余4商為8的數(shù)。三. 應用題。 1. 用1立方米水的費用為0.98元，1千瓦時的電費為0.5元，用x立方米的水、y千瓦時的電，水電費共多少元？ 2. 一個三位數(shù)，個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為個位數(shù)字、十位數(shù)字的和，求這個三位數(shù)。四. 用字母表示加法法則，如何表示？2.2 求代數(shù)式的值【本講主要內(nèi)容】一. 教學內(nèi)容： 求代數(shù)式的值二. 知識要點1. 知識點概要（1）了解代數(shù)式的概念.（2）能用代數(shù)式表示簡單問題的數(shù)量關(guān)系（3）能解釋

8、一些簡單代數(shù)式的實際背景或幾何意義.（4）通過具體例子感受“同一個代數(shù)式可以表示不同的實際意義”，“理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系”.（5）了解代數(shù)式的值的意義，會計算代數(shù)式的值.（6）能讀懂計算程序圖，會按照規(guī)定的程序計算代數(shù)式的值，會按照要求設(shè)計簡單的計算程序，初步感受“算法”的思想及數(shù)量的變化與聯(lián)系.2. 重點難點（1）根據(jù)簡單問題的數(shù)量關(guān)系正確列出代數(shù)式.（2）讀懂計算程序圖，計算代數(shù)式的值.【典型例題】例1. 把多項式重新排列：（1）按的降冪排列；（2）按的降冪排列.例2. 當x=-0.5，y=2時，求代數(shù)式x（x-y）2的值.例3. 下圖是一組數(shù)值轉(zhuǎn)換機，寫出圖a的輸出結(jié)果，找出圖b的轉(zhuǎn)

9、換步驟，并完成下表.輸 入-300.25圖a的輸出圖b的輸出例4. （2008年梅州）如下圖所示，在長和寬分別是、的矩形紙片的四個角都剪去一個邊長為的正方形.用，表示紙片剩余部分的面積；當=6，=4，=2時，求剩余部分的面積.例5. 電話費與通話時間的關(guān)系如下表：通話時間a（分）電話費b（元）10.2+0.820.4+0.830.6+0.840.8+0.8（1）試用含a的代數(shù)式表示b；（2）計算當a=100時，b的值.例6. 觀察下面一系列等式：32-12=8=81；52-32=16=82；72-52=24=83；92-72=32=84.你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用代數(shù)式表述這個規(guī)律.例7. 你能

10、很快算出19952 嗎？分析：為了解決這個問題，我們考察個位數(shù)為5的自然數(shù)的平方，任意一個個位數(shù)為5的自然數(shù)可用代數(shù)式表示為10n+5，問題即求（10n+5）2 的值（n為自然數(shù)） ，試分析n1，n2，n=3，這些簡單情況，從中探索其中的規(guī)律，并歸納、猜想出結(jié)論（在下面橫線上填上你的探索結(jié)果）.（1）通過計算，探索規(guī)律：152=225，可寫成1001（1+1）+25，252=625，可寫成1002（2+1）+25，352=1225，可寫成1003（3+1）+25，452=2025，可寫成1004（4+1）+25，752=5625，可寫成_，852=7225，可寫成_，（2）從第（1）題的結(jié)果，

11、歸納、猜想得：（10n+5）2_.（3）根據(jù)上面的歸納、猜想，請算出：19952_.例8. 若a+2004=b+2005=c+2008，則（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2= .例9. 已知代數(shù)式的值是8，那么代數(shù)式的值是 .【方法總結(jié)】1. 字母表示數(shù)的思想引入字母表示數(shù)，是從算術(shù)進入代數(shù)的重要標志之一，正確地理解用字母表示數(shù)的意義，是學好數(shù)學基礎(chǔ)知識的基本要求.2. “特殊與一般”的思想方法從幾個簡單的、個別的、特殊的情況去研究、探索、歸納出一般的規(guī)律和性質(zhì)，反過來，應用一般的規(guī)律和性質(zhì)去解決特殊的問題，這是數(shù)學中經(jīng)常使用的思想方法，列代數(shù)式和求代數(shù)式的值，就體現(xiàn)了這種思維方法.3.

12、 整體思想從大處著眼，由整體入手，通過細心的觀察和深入的分析，找出整體與局部的有機聯(lián)系，從整體上把握問題，從而在客觀上尋求解決問題的途徑的一種常用的方法.【模擬試題】（答題時間：90分鐘）一、細心選一選（每題2分，共20分）1. 用字母表示加法交換律，錯誤的是（ ）.A. a+b=b+aB. m+n=n+m C. pq=qpD. x+y=y+x2. 如果m表示奇數(shù)，n表示偶數(shù)，則m+n表示（ ）.A. 奇數(shù)B. 偶數(shù) C. 合數(shù)D. 質(zhì)數(shù) 3. 已知一個三位數(shù)，它的百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b， 個位數(shù)字是c，則這個三位數(shù)字是（ ）.A. abc B. a+b+c C. 100a+10b+c D

13、. 100c+10b+a4. 下列代數(shù)式的意義是a，b的平方和的是（ ） . A.（a+b）2 B. a+b2C. a2+b D. a2+b25. 用語言敘述-2表示的數(shù)量關(guān)系中，表達不正確的是（ ） . A. 比a的倒數(shù)小2的數(shù) B. 比a的倒數(shù)大2的數(shù) C. a的倒數(shù)與2的差 D. 1除以a的商與2的差 6. 下列說法：a與均是代數(shù)式，表示 a除以 c再乘 b，b表示a與b的和的60%，表示的差的平方其中正確的有（ ）.A. B. C. D. 7. 已知a-b=5， c+d=-3， 則（b+c）-（a-d）的值為（ ）.A. 2B. 2 C. 8 D. 88. 當（ ）.A. 3 B. C

14、. D. 2*9. 當（ ）.A. 1 B. 13 C. 0 D. 6*10. 已知-x+2y=6，則3（x-2y）2-5（x-2y）+6的值是（ ） . A. 84 B. 144 C. 72 D. 360二、仔細填一填（每題2分，共20分）11. 小明跑步速度為v米/秒，問他的百米成績?yōu)開秒.12. 用代數(shù)式表示比m的4倍大2的數(shù)為_.13. 小彬上次數(shù)學成績80分，這次成績提高了a%，這次數(shù)學成績?yōu)開.14. 三個連續(xù)的自然數(shù)，中間的一個為n，則第一個為 ，第三個為 .15. 矩形的一邊長為a2b，另一邊比第一邊大2a+b，則矩形的周長為_.*16. 如果a=2b， b=4c，那么代數(shù)式.

15、*17. 細胞在分裂過程中，一個細胞第一次分裂成兩個，第二次分裂成4個，第三次分裂成8個，那么第n次時細胞分裂的個數(shù)為 個.18. 當x=7，y=4，z=0時，代數(shù)式x（2xy+3z）的值為_.*19. 某人騎自行車走了0.5小時，然后乘汽車走了1.5小時，最后步行a千米，已知騎自行車與汽車的速度分別為v1千米/秒和v2千米/秒，則這個人所走的全部路程為_.20. 教學樓大廳面積S m2，如果矩形地毯的長為a米，寬b米，則大廳需鋪這樣的地毯_塊.三、認真算一算：（每小題6分，共24分）21. （1）在式子中，已知米秒，秒，米/秒，求.（2）已知，求代數(shù)式.*（3）已知a是最小的正整數(shù)，b、c是

16、有理數(shù)，且3+b+（2a-c）2=0，求的值.*（4）如圖所示，根據(jù)圖中標明的尺寸，寫出求圖中陰影部分的面積S的公式，并求當x=3時，陰影部分的面積（取3.14）. 四、努力解一解（共36分）22. 按如圖所示方式在餐桌上擺碗：（1）一張餐桌上放6個碗，3張餐桌上放_個碗；（2）按照上圖繼續(xù)排列餐桌，完成下表.桌子的張數(shù)3456n擺碗數(shù)23. 某校舉辦跳繩比賽，第一組有男生m人，女生n人，男生平均每分鐘跳105次，女生平均每分鐘跳110次，一分鐘第一組學生共跳繩多少次？當m=5，n=5時，結(jié)果是多少？24. 今年初共青團中央發(fā)出了“保護母親河的捐款活動”，某校初一兩個班的115名學生積極參加，

17、已知甲班的學生每人捐款10元，乙班的學生每人捐款10元，兩班其余學生每人捐5元，設(shè)甲班有學生x人，試用代數(shù)式表示兩班捐款的總額.*25. 某商店進貨價降低8%，而售價保持不變，結(jié)果使商店的利潤可提高10%，問原來利潤是百分之幾？ 26. 已知a=3，b=2，計算：（1）a2+2ab+b2；（2）（a+b）2. （3）當a=2，b=1或a=4，b=3時，分別計算兩式的值，從中可發(fā)現(xiàn)怎樣的規(guī)律？*27. 一根彈簧原來的長度是10厘米，當彈簧受到的拉力為F千克（F在一定范圍內(nèi)）時，彈簧的長度用l表示，測得有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：拉力F（kg）彈簧長度l（cm）110+0.5210+1310+1.5410+2

18、思考：（1）寫出當F=7 kg時，彈簧的長度l為多少厘米？（2）寫出拉力為F時，彈簧長度l與F的關(guān)系式.（3）計算當拉力F=100 kg時彈簧的長度l為多少厘米？2.3 整式【本講主要內(nèi)容】一. 教學內(nèi)容：整式1. 單項式的有關(guān)概念，如何確定單項式的系數(shù)和次數(shù)；2. 多項式的有關(guān)概念，如何確定多項式的系數(shù)和次數(shù)；3. 什么是整式；4. 分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)用字母表示數(shù)量關(guān)系以及解決實際問題的能力. 二. 知識要點：1. 單項式（1）如3a，xy，6m2，k等，它們都是數(shù)與字母的積，像這樣的式子叫做單項式. 對于單項式的理解有以下幾點需要注意：單項式反映的或者是數(shù)與字母，或者是字母與字

19、母之間的運算關(guān)系，且這種運算只能是乘法，而不能含有加減運算，如代數(shù)式（x1）3不是單項式. 字母不能出現(xiàn)在分母里，如不是單項式，因為它是n與m的除法運算. 單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式，如0，2，a都是單項式. （2）單項式的系數(shù)：是指單項式中的數(shù)字因數(shù)，如8xy2，的系數(shù)分別是8，；如果一個單項式只含有字母因數(shù)，它的系數(shù)就是1或1，如m就是1m，其系數(shù)是1；a2b就是1a2b，其系數(shù)是1. （3）單項式的次數(shù)：是指一個單項式中所有字母的指數(shù)的和. 掌握好這個概念要注意以下幾點：從本質(zhì)上說，單項式的次數(shù)就是單項式中字母因數(shù)的個數(shù)，如5a3b就是5aaab，有4個字母因數(shù)，因此它的次數(shù)就是4

20、. 確定單項式的次數(shù)時，不要漏掉“1”. 如單項式3x2yz3的次數(shù)是2136，字母因數(shù)的指數(shù)為1時，不能認為它沒有指數(shù). 單項式的次數(shù)只與單項式中的字母因數(shù)的指數(shù)有關(guān)，而不能誤加入系數(shù)的指數(shù)，如單項式（）2a3b4c5的次數(shù)是字母a、b、c的指數(shù)和，即34512，而不是234514. 單獨一個非零數(shù)字的次數(shù)是零. 2. 多項式（1）多項式：是指幾個單項式的和. 其含義有：必須由單項式組成；體現(xiàn)和的運算法則，如3a2b5是多項式，而3x中，不是單項式，故3x不是多項式. （2）多項式的項：是指多項式中的每個單項式. 其中不含字母的項叫做常數(shù)項. 要特別注意，多項式的項包括它前面的性質(zhì)符號（正號

21、或負號）. 另外，一個多項式化簡后含有幾項，就叫做幾項式. 多項式中的某一項的次數(shù)是n，這一項就叫做n次項. 如多項式x32xyx2xy1是六項式，x3的次數(shù)是3，叫三次項，2xy、x2的次數(shù)都是2，都叫二次項，x、y的次數(shù)都是1，都叫一次項，后面的1叫常數(shù)項. （3）多項式的次數(shù)：是指多項式里次數(shù)最高的項的次數(shù). 應當注意的是：不要與單項式的次數(shù)混淆，而誤認為多項式的次數(shù)是各項次數(shù)之和，如多項式3x42y21的次數(shù)是4，而不是426，故此多項式叫做四次三項式. 4. 單項式與多項式統(tǒng)稱為整式. 三. 重點難點：1. 重點：單項式和多項式的有關(guān)概念. 2. 難點：如何確定單項式的次數(shù)和系數(shù)，如

22、何確定多項式的次數(shù).【典型例題】例1. （1）（2008年寧夏）某市對一段全長1500米的道路進行改造. 原計劃每天修x米，為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時，每天修路比原計劃的2倍還多35米，那么修這條路實際用了_天. （2）（2008年全國數(shù)學競賽廣東初賽）某商店經(jīng)銷一批襯衣，每件進價為a元，零售價比進價高m%，后因市場變化，該商店把零售價調(diào)整為原來零售價的n%出售，那么調(diào)整后每件襯衣的零售價是（ ）A. a（1m%）（1n%）元B. am%（1n%）元C. a（1m%）n%元D. a（1m%n）元例2. 找出下列代數(shù)式中的單項式，并寫出各單項式的系數(shù)和次數(shù). x7，x，8

23、a3x，1，x. 例3. 請你用代數(shù)式表示如圖所示的長方體形無蓋的紙盒的容積（紙盒厚度忽略不計）和表面積，這些代數(shù)式是整式嗎？如果是，請你分別指出它們是單項式還是多項式. 例4. 已知多項式2x2a1y2x3y3是七次多項式，則a_. 例5. 把代數(shù)式2a2c3和a3x2的共同點填寫在下列橫線上. 例如：都是整式. （1）都是_；（2）都是_. 例6. 如果多項式x4（a1）x35x2（b3）x1不含x3和x項，求a、b的值. 【方法總結(jié)】1. “用字母表示數(shù)”是代數(shù)學的基礎(chǔ)，這種符號化的表示方法隨著學習的深入會逐漸加深數(shù)學抽象化的程度，我們要體會這種抽象化，它更接近數(shù)學的本質(zhì)，也是有效地解決

24、數(shù)學問題的工具. 2. 在學習多項式的時候，要注意和單項式的概念進行比較，通過比較兩者之間的相同點和不同點，掌握兩個概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，突出概念的本質(zhì)，幫助我們理解多項式的概念. 【模擬試題】（答題時間：40分鐘）一. 選擇題1. 在代數(shù)式2x2，ax，1a，b，32a，中單項式共有（ ）A. 2個B. 4個C. 6個D. 8個*2. 下列說法不正確的是（ ）A. ab2c的系數(shù)是1，次數(shù)是4B. 1是整式C. 6x23x1的項是6x2，3x，1D. 2R2R2是三次二項式3. 下列整式中是多項式的是（ ）A. B. xyC. D. a2b34. 下列說法正確的是（ ）A. 單項式a的指數(shù)是

25、零B. 單項式a的系數(shù)是零C. 24x3是7次單項式D. 1是單項式5. 組成多項式2x2x3的單項式是下列幾組中的（ ）A. 2x2，x，3B. 2x2，x，3C. 2x2，x，3D. 2x2，x，3*6. 多項式中，二次項的系數(shù)是（ ）A. 2B. 1C. D. *7. 下列說法正確的是（ ）A. 單項式的系數(shù)是2，次數(shù)是2B. 單項式a的系數(shù)為0，次數(shù)為2C. 單項式5102m2n2的系數(shù)為5，次數(shù)為5D. 單項式的系數(shù)為，次數(shù)為38. 下列單項式中的次數(shù)與其他三個單項式次數(shù)不同的是（ ）A. xy2z2B. 0.96a5bC. m5D. 8a2b3*9. （2007年華杯初賽）如果一個

26、多項式的各項的次數(shù)都相同，則稱該多項式為齊次多項式. 例如：x32xy22xyzy3是3次齊次多項式. 若xm2y23xy3z2是齊次多項式，則m等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二. 填空題1. （2007年云南）一臺電視機的原價為a元，降價4后的價格為_元. 2. 是_次單項式，系數(shù)是_. *3. 代數(shù)式mn，ab2c3，0，a23a1中，單項式有_個，多項式有_個. 4. 多項式3x27是_次_項式，最高次項的系數(shù)是_，常數(shù)項是_. *5. 當x2，y1時，單項式xy5的值為_. 三. 解答題*1. 下列代數(shù)式中哪些是單項式，并指出其系數(shù)和次數(shù). abc，2ab2c，x2y，b，3x25x1，xya，x4x2y2y4，a2b2，r2，24a2b2. 2. 說出下列多項式是幾次幾項式：（1）a3abb3（2）3a3a2bb2a1（3）3xy24x3y12（4）9x416x2y225y24xy1四. 綜合提高題*1. 已知單項式的次數(shù)是8，求m的值. 2. 說出下列各式是幾次幾項式？最高次項是什么？最高次項的系數(shù)是多少？常數(shù)項是多少？（1）7x23x3yy36x3y21（2）10xy30.5（