第章數(shù)列與級(jí)數(shù)最終版

1、第3章數(shù)列與級(jí)數(shù)這章的標(biāo)題說(shuō)明，這里要初步地討論復(fù)數(shù)的序列和級(jí)數(shù)然而關(guān)于收斂性的基本事 實(shí)，即使在更一般的情況下闡述，也同樣地容易所以前三節(jié)就在歐幾里得空間，甚至 在度量空間里講了.收斂序列3.1定義 度量空間x中的序列p?叫做收斂的，如果有一個(gè)有下述性質(zhì)的點(diǎn)p X :對(duì)于每個(gè)； 0，有個(gè)正整數(shù)N，使的n 一 N時(shí)，d(pn, p)：；(這里d表示X中 的距離).這時(shí)候，我們也說(shuō)：p 1收斂于p，或者說(shuō)p是'pl的極限參看定理3. 2(b)，并且寫(xiě) 作Pn > p，或lim Pn = p如果8;不收斂，便說(shuō)它發(fā)散.這收斂序列”的定義不僅依賴于pn，而且依賴于X，指明這一點(diǎn)很有好處

2、；例如,序列在R1里收斂(于0)，而在一切正實(shí)數(shù)的集里(取d(x,y) = x-y )不收斂.在 n可能發(fā)生懷疑的時(shí)候，我們寧愿明確而詳細(xì)地說(shuō)在X中收斂”而不說(shuō) 收斂”我們記得，一切點(diǎn)Pn (n =1,2,3/ )的集是pn的值域，序列的值域可以是有限的，也可以是無(wú)限的.如果它的值域是有界的，就說(shuō)序列pn是有界的.作為例題，我們來(lái)審辨一下下邊的復(fù)數(shù)序列(即 X二R2).(a) 如果Sn =1 n，那么lim s0;值域是無(wú)限的，但是序列是有界的.(b) 如果Sn =n2,那么序列務(wù)無(wú)界，發(fā)散，而值域是無(wú)限的.(C)如果S. =1 (-1)n/n，那么序列Sn收斂于1，有界而且值域是無(wú)限的.(d

3、) 如果Sn二in，那么序列Sn發(fā)散，有界，而值域是有限的.(e) 如果Sn =1 (n=1, 2, 3,)那么Sn收斂于1,有界而且值域是有限的.現(xiàn)在，把度量空間中收斂序列的一些重要性質(zhì)匯集起來(lái).3.2定理設(shè)Pn是度量空間X中的序列(a) Pn收斂于P X，當(dāng)且僅當(dāng)p點(diǎn)的每個(gè)鄰域，能包含Pn的，除有限項(xiàng)以外的 一切項(xiàng).(b) 如果p X， pX， Pn收斂于P又收斂于P，那么p P (C)如果 Pn收斂， Pn必有界.(d)如果E U X，而P是E的極限點(diǎn)，那么在E中有一個(gè)序列 Pn，使得P = inmPn -(a) 證 假定Pn P，并設(shè)V是p點(diǎn)的鄰域，對(duì)于某個(gè)； 0，條件d(q, p)

4、： ； , q X 意味著q V 對(duì)應(yīng)于這個(gè)；，存在著N時(shí)有d(pn, p) ： ； 所以n 一 N就得出pn V .反過(guò)來(lái)，假定p點(diǎn)的每個(gè)鄰域，除有限個(gè)點(diǎn)外，包含一切點(diǎn) Pn .固定； 0 ,并設(shè) V是滿足d(q, p)：；的q X的集.根據(jù)假定，(對(duì)應(yīng)于這個(gè)鄰域)存在一個(gè)N ,使得n 一 N 時(shí) Pn V，所以 n N 時(shí)，d(Pn, P)：；這就是說(shuō) Pn > P .(b) 設(shè)；0已給定，那么存在正整數(shù)N,N ，使當(dāng)n - N 有d(Pn, pp2n 一 N 有 d(pn, p p2因此，如果n_ max(N,N)，就有d(P, P)乞 d(p, Pn) d(Pn, P)：；.由于

5、數(shù)；是任意的，可以斷定d(p,p)=0 .(c) 假定Pn -； p .那么存在著正整數(shù)N ,使得當(dāng)n N有d(Pn, p) < 1 .令 r 二max1,d(p1, p), ,d(pN, p)，那么，當(dāng) n =1,2,3 時(shí)，d(pn,p) “ . (d)對(duì)于每個(gè)正 整數(shù)n，有點(diǎn)Pn E，使d(Pn, p) <1/n 給定了； 0 ,選取N，使得N ； . 1，就得 d(pn, P) ： ； 因此 Pn > P 證畢.對(duì)于Rk中的序列，我們可以研究收斂性與代數(shù)運(yùn)算之間的關(guān)系首先考慮復(fù)數(shù)序列.3.3定理 假定Sn,tn是復(fù)數(shù)序列，而且lim Sn =s, lim tn =t

6、那么nn(a) nim(Sn tn)=s t；nJpc(b) 對(duì)于任何數(shù) C， lim csn 二 cs， lim (c Sn) = c s；nn(c) limSntn 二 st；n 1 1(d) 只要 sn =0(n =1,2,3,)且 s = 0，就有 limySnS證(a)給定了 ；>0,存在著正整數(shù)NN2使得n > N1 時(shí)，sn - s < ，2nN2時(shí)，tnt v .2如果N =max(NN2)，那么n N時(shí)，便有(Sn 十匕)一(S + t)，|Sn S + tn t < 芯.這就證明了 (a).至于(b)的證明則很容易.(c) 我們用恒等式(1)Sntn

7、 - st 二(Sn - s)(tn -t) S(£t(Sn - s).給定了；0，存在著正整數(shù)N1,N2，使得n 蘭汕時(shí)， sn - s £ pG，n > N2時(shí)，tn t £ 蟲(chóng).如果取N rmaxWN?)，那么n N時(shí)就有6 -S)(tn 7)；由此nim(Sn-S)(tn-t)=0 現(xiàn)把(a)和(b)用于恒等式 ，就可以判定nm(sntn - St) =0(d)選一個(gè)m，使當(dāng)n _m時(shí),1-s<-s21Sn>s2snN,就知道(n _ m)給定了； 0 ,就存在正整數(shù)N因此，當(dāng)n _ N時(shí),11SnSSn -SSnS3.4定理k(a)假定

8、 Xn R (n =1,2,3)而X = ( -：S1,n，=k,n )-那么序列Xn收斂于X二C 1, ， : k),當(dāng)且僅當(dāng)lim Gjn =Gj(1 蘭 j Ek) n_(b) 假定Xn , M 是Rk中的序列， 匚是實(shí)數(shù)序列，并且Xn' X ,yn> y ,nim.(xn YnHX y , nim：Xn yn 二 x y ,：nX(a)如果Xn > x，那么，從Rk中范數(shù)的定義馬上可以推得不等式GJ這說(shuō)明等式(2)成立.反之，如果(2)成立，對(duì)應(yīng)于每個(gè)；0 ,有一個(gè)正整數(shù)N，使得n 一 N時(shí),j,n°j <(仁j汀)因此，n_N時(shí)Xn X：'

9、j,n_Gj2 1 2 ”：；，所以Xn -X 這就證明了(a).(a) 可以由(a)和定理3.3推出來(lái).子序列3.5定義設(shè)有序列Pn，取正整數(shù)序列nk，使n1：n?：壓：，那么序列Pni收斂，就把它的極限叫做Pn的部分極限.顯然，序列Pn收斂于P，當(dāng)且僅當(dāng)它的任何子序列，收斂到 X中的某個(gè)點(diǎn).(b) Rk中的每個(gè)有界序列含有收斂的子序列.(a)設(shè)E是 pn的值域.如果E有限，那么必有p及序列ni ( n 1 ：壓：壓：)使 得:顯然，這樣得到的子序列pni收斂于P .如果E是無(wú)限的，定理2.37說(shuō)明E的極限點(diǎn) p X .選取ni使得d(p, Pn1: 1 .選定n1, n2,，以后，據(jù)定理2

10、.20知道一定有正整數(shù)1m ru，使得d( p. Pm )： - .于是子序i列認(rèn)*收斂于P.(a)這由(a)即可得到.因?yàn)槎ɡ?.41說(shuō)明Rk的每個(gè)有界子集必含于Rk的一個(gè)緊子集中.3.7定理 度量空間X里的序列 Pn的部分極限組成X的閉子集.證 設(shè)s -:是Pn的所有部分極限組成的集，q是 Sn ' - : 的極限點(diǎn)現(xiàn)在需 要證明q E .選ni，使 阻-q (如果沒(méi)有這樣的ni，那么E“只有一個(gè)點(diǎn)，那就沒(méi)有什么要證的 了). 令 =d(q,pn丿假設(shè)已經(jīng)選好了 n 1, n2,，口，因?yàn)閝是 t 亠的極限點(diǎn)，必有 x E ，使d(x, q) ： 2丄、.因x E ，必有口 m，使

11、得d(x, p©) ： 2.于是對(duì)于 i "23廠，d(q,PnJ 乞 2心這就是說(shuō)Pn收斂于q .因此qE .Cauchy序列3.8 定義 度量空間X中的序列 Pn叫做cauchy序列，如果對(duì)于任何； 0存在 著正整數(shù)N，只要n 一 N和m 一 N便有d(pn, pm)：；.在Cauchy序列的討論中，以及在今后出現(xiàn)的其他情況下，下述幾何概念是有用的.3.9定義 設(shè)E是度量空間X的子集，又設(shè)S是一切形式為d(p,q)的實(shí)數(shù)的集， 這里p E，q E .數(shù)supS叫做E的直徑，記作diamE .如果 Pn是X中的序列，而En由點(diǎn)Pn， Pn 1， Pn 2，組成那么，從上邊

12、的兩 個(gè)定義來(lái)看，顯然可以說(shuō)： pn是Cauchy序列，當(dāng)且僅當(dāng)lim diamE N = 0 .JN3.10 定理(a) 如果E是度量空間X中的集，E是E的閉包，那么diamE 二 diamE .(b) 如果Kn是X中的緊集的序列，并且 心二"(n = 1,2,3,)，又若lim diamK n = 0，k 那么Kn由一個(gè)點(diǎn)組成.1證(a) 因?yàn)镋 E，顯然diamE < diamE固定了； .0，再取p E ,根據(jù)E的定義，必然在E中有兩點(diǎn)p , q使得d(p, p ) ： ； , d(q,q)：；.因此d(p,q)乞 d(P, p) d(p ,q ) d(q ,q)：2

13、； d(p ：q ) _ 2 ； diamE f可見(jiàn)diam E豈2 ； diamE，又因?yàn)?；是任意的，所?a)被證明了.qQ(b) 令K =Kn .根據(jù)定理 2.36, K不空.如果 K不只包含一個(gè)點(diǎn)，那就得n呂diamK 0 .然而對(duì)于每個(gè)n，有Kn二K，從而d ia m K dia mK這與假設(shè)條件diamKn > 0 矛盾.3.11 定理(a) 在度量空間中，收斂序列 Cauchy序列.(b) 如果X是緊度量空間，并且如果Pn是X中的Cauchy序列，那么p.收斂于X 的某個(gè)點(diǎn).(c) 在Rk中，每個(gè)Cauchy序列收斂.注：收斂的定義與Cauchy序列定義之間的差別是，前者明

14、顯的含有極限，而后者不然.于是定理3.11(b)可以使我們斷定已知序列是否收斂，而不需知道它要收斂的極限.定理3.1中的第三條即是Rk中的序列收斂，當(dāng)且僅當(dāng)它是 Cauchy序列;時(shí)常叫做判斷收斂的Cauchy準(zhǔn)則.證(a)若 Pnp且；0，便有正整數(shù)N，保證只要n N，便有d(p, Pn) ”：；.因此，dg. Pm) Ed(Pn,P) d(P，Pm) ：2；于是Pn是Cauchy序列.(b) 設(shè)Pn是緊空間X中的Cauchy序列,對(duì)于N =1,2,3,令En是由點(diǎn)Pn , Pn 1 ,Pn 2,組成的集.那么，按定義3.9及定理3.10(a),lim diam EN =0 ,(3)n_.每

15、個(gè)EN既是緊空間的閉子集，因而必是緊集(定理2.35).又因?yàn)镋n = En41，所以 EN j EN 1 .根據(jù)定理3.10(b)，在X中有唯一的p在每個(gè)EN中.設(shè)給定了； 0 .據(jù)，有整數(shù)N。，凡當(dāng)N _N。的時(shí)候，就有diamEN< ；.由于 p En，所以對(duì)每個(gè)En， d(p,d)：；，當(dāng)然對(duì)每個(gè)q En也有d( p,d)：；.換句 話說(shuō)，只要n _ N0，就d(p, pn)：；.這正是說(shuō)pn > p .(c) 設(shè)Xn是Rk中的Cauchy序列.像在(b)中那樣定義En，但要把Pi換成x,.有某 個(gè)N，diamEN 1 . Xn的值域是En與有限集為,人的并.所以%有界.因

16、Rk 的每個(gè)有界子集在Rk中有緊閉包(定理2.41)，由(b)即得(c).3.12定義 如果度量空間X中的每個(gè)Cauchy序列在X中收斂，就說(shuō)它是完備的.因此，定理3.11是說(shuō)，所有緊度量空間及所有歐式空間是完備的.定理 3. 11還說(shuō) 明，完備度量空間X的閉子集E是完備的.(E中每個(gè)Cauchy序列是X中的Cauchy序 列，因此它收斂于某PX，但因E是閉集，所以實(shí)際pE ).以d(x,y)=|x-y為距 離，一切有理數(shù)組成的空間是不完備度量空間的一個(gè)例子.定理3.2(c)及定義3.1的例(d)說(shuō)明，收斂序列是有界的.但Rk中的有界序列不一定 收斂.然而，還有收斂性就等價(jià)于有界性這樣一種重要

17、情況 ；對(duì)于R1中的單調(diào)序列就是 這樣.3.13定義實(shí)數(shù)序列Sn叫做(a) 單調(diào)遞增的，如果sn乞sn1(n =1,2,3,)；(b) 單調(diào)遞減的，如果Sn _Sni(n =1,2,3,).單調(diào)遞增和單調(diào)遞減序列，組成單調(diào)序列類.3.14定理 單調(diào)序列Sn收斂，當(dāng)且僅當(dāng)它是有界的.證 假定Sn乞Sn1 (另一種情形的證明和這類似)設(shè)E是Sn的值域，如果$有 界，設(shè)S是E的最小上界，那么Sn s(n =1,2,3, ) 對(duì)于每個(gè)； 0 , 定有一個(gè)正整數(shù) N，使S -Sn乞S，如果不然的話，S - ；將要是 E的上界了因?yàn)镾n遞增，所以nN時(shí)有S - ； : Sn 豈 S .這說(shuō)明Sn收斂(于S

18、).逆命題可以從定理3.2(c)推出來(lái).上極限和下極限3.15定義 設(shè)Sn是有下列性質(zhì)的實(shí)數(shù)序列：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)M，有一個(gè)正整數(shù)N，而n 一 N時(shí)有Sn -M，我們便把這寫(xiě)作Sn 二.類似地，如果對(duì)于任意的實(shí)數(shù) M，有一個(gè)正整數(shù)N，而n 一 N時(shí)有乞M，我們便 把這寫(xiě)作Sn ' -二.應(yīng)當(dāng)注意，我們現(xiàn)在對(duì)某些類型的發(fā)散序列也像對(duì)收斂序列一樣地使用了在定義3.1中引進(jìn)的符號(hào) ，但是，在定義3.1中講的收斂和極限的定義毫不改變.3.16定義 設(shè)Sn是實(shí)數(shù)序列.E是所有可能的子序列Snk的極限x (在擴(kuò)大了 的實(shí)數(shù)系里，Snk T x )組成的集.E含有定義3.5所規(guī)定的部分極限，可能還有+

19、立，-:兩數(shù).回想一下定義1.8和1.23,令s = supE ,s. = inf E .S和s.兩數(shù)叫做序列sn的上極限和下極限.采用的記號(hào)是lim sup% = s , lim inf sn = s. n ：n )：:3.17定理 設(shè)Sn是實(shí)數(shù)序列，設(shè)E和s的意義和定義3. 16中說(shuō)的一樣，那么s有以下兩種性質(zhì)：(a) sE .(b) 如果x s，那么就有正整數(shù)N，能使n 一 N時(shí)有s： x .此外，s是唯一具有性質(zhì))和(b)的數(shù).當(dāng)然，對(duì)于s.，與此類似的結(jié)論也正確.證(a) 如果& - :,那么E不是有上界；因此sn不是有上界，因而有子序列Snk合于Sn ，二.如果s*是實(shí)數(shù)，

20、那么E上有界，從而至少有一個(gè)部分極限.因此，(a)可以從定理3.7和2.28推出來(lái).如果，那么E只包含一個(gè)元素，就是-二，從而沒(méi)有部分極限.就是說(shuō)， 對(duì)于任意實(shí)數(shù)M，只有有限個(gè)n的值，使得sn M .于是s -.這就在所有情形下證明了(a).(b) 假定有一個(gè)數(shù)x s，而且有無(wú)限多個(gè)n的值使得sn x .那時(shí)，則有一個(gè)數(shù)y E，使y 一 x s .這與s ”的定義矛盾.所以s滿足條件(a)和(b).為了證明惟一性，我們假定有兩個(gè)數(shù)p和q都滿足條件(a)和(b)，并且假定p q .取x要它適合p ： x ： q 因?yàn)閜滿足(b)，那么當(dāng)n _ N時(shí)有s. ： x 但是，如果真這樣的話，q就不能滿

21、足(a)了.3.18 例(a)設(shè)Sn是包含一切有理數(shù)的序列那么，每個(gè)實(shí)數(shù)是部分極限，而且lim supsn =:, lim inf sn 廠-：n:n_)pc(b)設(shè) Sn =(-1)n/1(1/n)，則lim supsn 二 1n_lim in & 二-1 n :(C)對(duì)于實(shí)數(shù)序列sn，lnmsn，當(dāng)且僅當(dāng)lim sups. = lim inf s = s nn j：:我們用一個(gè)有用的定理來(lái)結(jié)束這一節(jié)，它的證明十分容易.3.19定理 如果N是固定的正整數(shù)，當(dāng)n 一 N時(shí)務(wù)乞tn，那么lim inf s.乞 lim inf tn，lim sups* 三 lim suptn nn上一些特

22、殊序列現(xiàn)在，我們來(lái)計(jì)算一些常見(jiàn)序列的極限. 各個(gè)證明都是根據(jù)下述事實(shí)：如果N是某 個(gè)固定的正整數(shù)，當(dāng)n _ N時(shí)，0乞xn乞sn而且q ； 0，那么xn ； 03.20定理(a) p 0 時(shí)1 lim 7=0 n “卩(b) p 0 時(shí) nm(c) lim_n n =1 (d) p 0，而是實(shí)數(shù)時(shí)哩(1+ p)n 一0 (e) x £1時(shí)”mxn =0 (a)取n .(1/；)1/p.(注意，這里用到實(shí)數(shù)的阿基米德性.) (b)如果p 1，令Xn = n p -1，那么xn 0 ,再根據(jù)二項(xiàng)式定理,1 nXn 空(1 Xn)n = P .于是cP _10 : xn n所以Xn >

23、; 0 .如果p = 1, (b)是顯然的；如果0 :： p <1，取倒數(shù)就可以得到結(jié)論.(C)令Xn J n -1 .那么Xn _ 0,再根據(jù)二項(xiàng)式定理,n =(1 - Xn)n_ n(n -1)22Xn從而n21(n-2).(d) 設(shè)k是一個(gè)正整數(shù)，k .當(dāng)n2k時(shí),(1 P)nn pk k p心1)(n k")pk 嚶 k!2k k!從而0 :(1 p)n因?yàn)?-k ：0 ,由(a)知道 n“ > 0 .(e) 在(d)中取=0 .級(jí)數(shù)在這章的后部，如果沒(méi)有相反的說(shuō)明，所考慮的一切序列和級(jí)數(shù)都是復(fù)數(shù)值的.下面有幾條定理可以推廣到以Rk里的元素為項(xiàng)的級(jí)數(shù).習(xí)題15提到

24、了它們.3.21定義 設(shè)有序列an，我們用q、an（pq）nm表示和ap - ap ,：；川-aq 聯(lián)系著an，作成序列sn，其中ns X ak -k 4我們也用印 a2 a3作為Sn的符號(hào)表達(dá)式，或者簡(jiǎn)單地記作od' an n4記號(hào)叫做無(wú)窮級(jí)數(shù)，或只說(shuō)級(jí)數(shù)，Sn叫做這級(jí)數(shù)的部分和如果Sn收斂于S，我們就說(shuō)級(jí)數(shù)收斂，并且記作odan = s .n =1S叫做這級(jí)數(shù)的和；但是必須清楚地理解，S是（部分）和的序列的極限，而不是單用加法得到的.如果Sn發(fā)散，就說(shuō)級(jí)數(shù)發(fā)散.有時(shí)為了符號(hào)上的方便，我們也考慮形式像Q0' ann咼的級(jí)數(shù).如果不致于引起誤解，或者與（5）的區(qū)別無(wú)關(guān)緊要時(shí)，也

25、常常只寫(xiě)a an來(lái)代替它們.顯然，關(guān)于序列的沒(méi)一個(gè)定定理都能按級(jí)數(shù)的語(yǔ)言來(lái)敘述.（令ai = &，當(dāng)n 1時(shí),令an二sn - sn1 ）反過(guò)來(lái)也是如此.雖然如此，一并考慮這兩個(gè)概念還是有益處的.Cauchy準(zhǔn)則（定理3.11）可以按以下形式重新敘述：3.22 定理 ' an收斂，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于任意的；，存在著整數(shù)N，使得送 ak 蘭 S -(6)k蘭特別地，當(dāng)m二n時(shí)，(6)變作an 蘭 e (n 色 N)換句話說(shuō)：3.23 定理 如果a an收斂，那么lim a0 .n_c但是條件an > 0不能保證an收斂例如，級(jí)數(shù) : 1' -n=1 n發(fā)散;至于證明，見(jiàn)

26、定理3.28.對(duì)于單調(diào)序列的定理3.14，在級(jí)數(shù)方面也有相應(yīng)的定理.3.24定理 各項(xiàng)不是負(fù)數(shù)的級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)且僅當(dāng)它的部分和構(gòu)成有界數(shù)列.現(xiàn)在來(lái)講另一種性質(zhì)的收斂檢驗(yàn)法，即是所謂比較驗(yàn)斂法”3.25 定理(a) 如果N0是某個(gè)固定的正整數(shù)，當(dāng)n_ N0時(shí)an乞q而且cn收斂，那么級(jí)數(shù)an也收斂.(b) 如果當(dāng)n_No時(shí)an _dn_0而且dn發(fā)散，那么an也發(fā)散.注意，檢驗(yàn)法(b)只能用于各項(xiàng)an都不是負(fù)數(shù)的級(jí)數(shù).證 根據(jù)Cauchy準(zhǔn)則，給定了； 0，存在著n _ n0，能使m n N時(shí)成立m7 Ck 乞；.k zn所以mmm送ak<Eak蘭送ck蘭kHk hkn隨之也就得到(a).其

27、次，(b)可以由(a)推出來(lái)，因?yàn)?，如果an收斂，那么a dn也應(yīng)當(dāng)收斂(注意,(b)也可以由定理3.24推出來(lái)).比較驗(yàn)斂法師非常有用的一個(gè)方法；為了有效地應(yīng)用它，我們必需熟悉許多已知其收斂或發(fā)散的非負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù).非負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一切級(jí)數(shù)之中，最簡(jiǎn)單的大約是幾何級(jí)數(shù)了.3.26 定理 如果0空x ： 1，那么O0- n' X11 -X如果X _1，這級(jí)數(shù)就發(fā)散. 證如果X ",1-Xn1k=01 -X令n，就得出定理的結(jié)論.當(dāng)X/時(shí)，得到1 . 1 .1 .，它顯然是發(fā)散的.應(yīng)用中出現(xiàn)的許多情況是，級(jí)數(shù)的各項(xiàng)單調(diào)遞減.于此，下邊的Cauchy定理特別有價(jià)值.定理的明顯的特點(diǎn)是由an

28、的一個(gè)相當(dāng) 稀”的子序列，可以判斷a an的收斂或發(fā)散.qQ3.27 定理 假定印a? "3 一-0，那么，級(jí)數(shù)an收斂，當(dāng)且僅當(dāng)級(jí)數(shù)n=1oO' 2ka2k = a1 2a2 4a4 8a&(7)k =0收斂.證根據(jù)定理3.24,現(xiàn)在只考慮兩者的部分和是否有界就行了 .設(shè)Sn F a' an，tk = a1 ' 2a2 2 a?k .當(dāng) n ：2k 時(shí)，Sn g 2 a3)(a2ka2k乞 a1 2a2 '2ka2k = tk，因此，Sn 乞 tk(8)另一方面，當(dāng)n .2k時(shí),Sn 一 a a? a4)(a2k±a2k)ai a2

29、 2a4因此,(9)由（8）和（9）來(lái)看，序列Sn和tk，或者同時(shí)有界，或者同時(shí)無(wú)界.證畢.13.28定理 如果p 1，、丄就收斂，如果P乞1，它就發(fā)散.n p證 如果p空0，發(fā)散性可由定理3.23得出.如果p .0,用定理3.27,這就要看級(jí)CO4CO2kW 八，2k(5 k=02k=0然而，當(dāng)且僅當(dāng)1 -p <0時(shí)才能夠21" ：1,再與幾何級(jí)數(shù)比較一下，（在定理3.26中取x=27 ）就把定理推出來(lái)了.我們進(jìn)一步用定理3.27來(lái)證明:3.29定理如果p -1Zn=21n(log n)p(10)就收斂;如果p乞1，這級(jí)數(shù)就發(fā)散.評(píng)注 lbg n ”表示數(shù)n以e為底的對(duì)數(shù)（參

30、看第1章習(xí)題9）;這個(gè)數(shù)e馬上就要定 義（參看定義3.30）讓級(jí)數(shù)從n =2開(kāi)始，是因?yàn)閘og 0 .證 對(duì)數(shù)函數(shù)（第8章將要詳細(xì)的討論它）的單調(diào)性說(shuō)明log n是遞增的，所以盤(pán)是遞減的從而可以把定理3.27用于(10);這就要看O02k2k(log2k)pk4 (k log 2)(log 2)p1kp(11)于是，定理3.29就從定理3.28推出來(lái)了.這種(構(gòu)造級(jí)數(shù)的)方法，顯然可以繼續(xù)進(jìn)行例如(12)1n log n log log n發(fā)散，然而級(jí)數(shù)oOzn log n(log log n)(13)收斂.級(jí)數(shù)(12)的各項(xiàng)與(13)的各項(xiàng)差得很少.但是一個(gè)發(fā)散而另一個(gè)卻收斂.從定理3.28 到定理3.29,然后到(12)和(13)這樣的過(guò)程，如果繼續(xù)下去，我們將得到一對(duì)一的收斂 和發(fā)散的級(jí)數(shù)，它們的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之差比(12)和(13 )的更要小.可能有人因此猜想，應(yīng)該有 一種終極的境界，搞到一個(gè)界限”它把一切收斂級(jí)數(shù)和一切發(fā)散級(jí)數(shù)分在兩旁最低限度哪怕是只考慮