等差數(shù)列的前n項和公式推導(dǎo)及例題解析

1、等差數(shù)列的前n項和例題解析一、等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)：(1) Sn二a1+a2+an-1+an也 可寫成Sn二an+an-1+ a2+a1兩式相加得 2Sn二(a1+an)+(a2+an-1)+ (an+a1)=n( a1+a n)所以 Sn二n ( a1+an)/2 (公式一)(2) 如果已知等差數(shù)列的首項為a1，公差為d,項數(shù)為n，則an=a1+( n-1)d代入公式公式一得Sn=na1+ n(n+1)d/2 (公式二)二、對于等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用【例1等差數(shù)列前10項的和為140，其中，項數(shù)為奇數(shù)的各項的和為125,求其第6項.解依題意，得扁 1)d = 140“ 2L_a1 +

2、 a3 + a5 + a7 + a9 = 5a1+ 20d =125解得 a1=113, d=- 22.其通項公式為an =113 + (n 1) ( 22)= 22n+ 135a6= 22 x 6+ 135= 3說明 本題上邊給出的解法是先求出基本元素a1、d, 再求其他的.這種先求出基本元素，再用它們?nèi)?gòu)成其他 元素的方法，是經(jīng)常用到的一種方法.在本課中如果注意 到a6=ai + 5d,也可以不必求出 an而（2a1 + 9d = 28直接去求a6，所列方程組化簡后可得1相減即得a1 + 5d = 3,6a1 + 4d = 251即a6= 3.可見，在做題的時候，要注意運算的合理性.當(dāng) 然

3、要做到這一點，必須以對知識的熟練掌握為前提.【例2】在兩個等差數(shù)列2, 5, 8,，197與2,7, 12,，197中，求它們相同項的和.解 由已知，第一個數(shù)列的通項為an = 3n - 1;第二個 數(shù)列的通項為bN=5N- 3若 am= bN,則有 3n- 1 = 5N- 3即n= N +込1）3若滿足n為正整數(shù)，必須有N= 3k + 1（k為非負(fù)整數(shù)）.又 2< 5N- 3< 197,即 1< N<40，所以N= 1, 4, 7,，40 n=1 , 6, 11,，66二兩數(shù)列相同項的和為2+17+32+ 197=1393【例3】選擇題：實數(shù)a, b, 5a,乙3b,

4、，c組 成等差數(shù)列，且 a + b + 5a+ 7 + 3b+ c = 2500,則 a, b, c的值分別為A. 1, 3, 5B. 1, 3, 7C. 1, 3, 99 D. 1, 3, 9 解 C 由題設(shè) 2b = a+ 5a= b = 3a又 v 14 = 5a + 3b,a = 1, b = 3首項為1，公差為2n(n -1)22500= n +n(n -1)2n= 50a50=c=1 + (50 1) 2=99 a = 1, b= 3, c= 99【例4】在1和2之間插入2n個數(shù)，組成首項為1、 末項為2的等差數(shù)列，若這個數(shù)列的前半部分的和同后半 部分的和之比為9 : 13，求插入

5、的數(shù)的個數(shù).解依題意 2= 1 + (2n + 2 1)d前半部分的和Sn+1 = (n + 1) +(n 1)n2后半部分的和S'n+1 = (n+ 1) 2 +(n 1)n2(d)Sn 1由已知，有 ，S(n 1)(1 羅)(n 1)(2 一羅)=13nd1 +一化簡，得 2nd 132 -2解之，得 nd =11由，有(2n + 1)d=11由，解得d =, n = 511共插入10個數(shù).【例5】在等差數(shù)列a n中，設(shè)前m項和為Sm前n項和為N，且乩喬n，求Sm+n1解/ Sm+n = (m+ n)a1+ (m + n)(m+ n 1)d1=(m+ n)a 1 + (m+ n 1

6、)d且 SmFSn,n1 1ma1 + 2 m(m 1)d = na1 + 2 n(n _ 1)d整理得(m n)a1 + £ (m n)(m + n 1) = 01即(m n)a1 +(m+ n 1)d = 01由 mHn,知a1 + ? (m+ n 1)d= 0二 Sm+rr 0【例6】已知等差數(shù)列an中，S3=21，S6=64,求數(shù)列|a n| 的前n項和Tn.含有兩個未知數(shù)a1,分析 等差數(shù)列前n項和Sn = na1+ n（； ° d.d,已知S3和S6的值，解方程組可得ai與d,再對數(shù)列的前若干項的正負(fù)性進(jìn)行判斷，則可求出Tn 來.解設(shè)公差為d,由公式Sn = n

7、q + n（n 1）d得 3印 + 3d =21寸 ba1 + 15d = 24解方程組得：d= 2, a1 = 9 an= 9 + (n 1)(n 2) = 2n + 1111由an = 2n+ 11> 0得nv=5.5，故數(shù)列a n的前5項為正,其余各項為負(fù).數(shù)列a n的前n項和為:Sn = 9n +n(n -1)22(2) = n + 10n當(dāng) nW 5 時，Tn= n2+10n當(dāng) n> 6 時，Tn =豈+心門E1 = S5 (S n S5) = 2S5SnnW 5n> 6 Tn= 2( 25+ 50) ( n2+ 10 n) = n2 10n+ 50即- n2 +

8、10nn2 10 n+ 50說明 根據(jù)數(shù)列a n中項的符號，運用分類討論思想可求|a n| 的前n項和.【例7】 在等差數(shù)列a n中，已知a6 + ag + a2 + a5=34,求前20項之和.解法一一 由 ae + ag + a2 + a5 = 34得 4ai + 38d= 3420X19又 S20 = 20a1 +2 d=20ai + 190d=5(4a1 + 38d)=5 X 34=170(ai + a20 ) X 20解法一 S20 = - 2= 10(a1+ a20)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a6+ a15=ag + a12 = a1 + a20+ a20=17S20= 170【例8已

9、知等差數(shù)列a n的公差是正數(shù)，且a3 £7二12, a4+ a6= -4,求它的前20項的和S20的值.解法一 設(shè)等差數(shù)列aj的公差為d,則d>0,由已知 可得I® + 2d)(a1+ bd) = 12i_a1+ 3d + a1 + 5d = 4由，有a1 = 2 4d,代入，有d2=4再由 d>0,得 d = 2 二a1=10最后由等差數(shù)列的前n項和公式，可求得S20= 180解法二由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a4 + a6= a3+ a7 即 a3+ a7= 4又a3 a7=-12,由韋達(dá)定理可知：a3, a7 是方程 x2 + 4x 12 = 0 的二根解方程可

10、得xi= 6, X2 = 2T d > 0二a n是遞增數(shù)列a3= 6, a7=2a a3d = "T = 2，a1 = 10, % = 180【例9】等差數(shù)列a n、b n的前n項和分別為Sn和Tn,若SnTn2n ，則色匹等于b1003n 1C.1992992B.3200 D .301分析該題是將詈與捫發(fā)生聯(lián)系可用等差數(shù)列的前顧和公式Sn = “屮把前n項和的值與項的值進(jìn)行聯(lián)系.解法一 T Sn二n（aan），Tnn（bbn）Sna1an2a1 an2nTnb1bnb1 bn3n 1a100a1 ' a1992X 199199t 2a100 = a+ a199，2b

11、100= X + X99選cb100 b1 b1993X 199+1299解法二利用數(shù)列a"為等差數(shù)列的充要條件：Sn =an2 +bn Sn _ 2nTn 3n 1可設(shè) Sn = 2n2k, Tn = n(3n + 1)k亞 _ Sn -Sn2n2k-2(n-1)2kbn _ Tn _TnJ1 一 n(3n 1)k - (n -1)3(n - 1) 1k4n - 2 2n -16n - 2 3n - 1 aw。2X 100_1199So。一 3X 100-1 一 299說明該解法涉及數(shù)列a n為等差數(shù)列的充要條件Sn=an2+ bn,由QQ n已知，將Sn和Tn寫成什么？若寫成Sn

12、 =2nk, Tn = (3n + 1)k,Tn 3n+1k是常數(shù)，就不對了.【例10】解答下列各題：(1) 已知：等差數(shù)列a n中a2=3,弔=17,求ag;(2) 在19與89中間插入幾個數(shù)，使它們與這兩個數(shù)組成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項之和為1350,求這幾個數(shù)；(3) 已知：等差數(shù)列a n中，a4 + a6 + a5 + *仃=50, 求 S20； 已知：等差數(shù)列an中，an=33 3n,求Sn的最大值.分析與解答_17 _3(1)a6 = a2 + (6 2)d d = 54a9=a6 + (9 6)d= 17 + 3 X ( 5)= 32a 1=19, an+2=89, Sn+2=

13、1350- Sn+2(ai +an+2)(n +2)22 X1350n+ 2 = 25 n = 2319 + 8935an+2 = a25 = a1+ 24d d =衫故這幾個數(shù)為首項是2譯末項是吒公差為35的23個數(shù).(3) t a4 + a6 + a5+ a7=50又因它們的下標(biāo)有4+ 17 = 6+ 15=21二 a4+ a17=a6+ a5=25S20 = (a1 + a；0)X 20 = 10X (a4 a17) = 250(4) - an=33 3n a = 30(a1 +an) n (63 3n)n 3 2 Sn =nn 2 2 2321 23X 21237 丁63n2/ n N

14、,.當(dāng) n=10或 n=11 時,取最大值165.【例11】 求證：前n項和為4n2 + 3n的數(shù)列是等差數(shù)列.證 設(shè)這個數(shù)列的第n項為an,前n項和為Sn.當(dāng) n2 時，an = Sn Sn-1.an= (4n2+3n) 4(n - 1)2 + 3(n - 1)=8n 1當(dāng) n=1 時，ai=Si=4 + 3=7由以上兩種情況可知，對所有的自然數(shù)n,都有an=8n-1又 an+i an= 8(n +1) 1 (8n 1) = 8二這個數(shù)列是首項為乙公差為8的等差數(shù)列.說明 這里使用了“ an=Sn S>1 ”這一關(guān)系.使用這 一關(guān)系時，要注意，它只在n2時成立.因為當(dāng)n= 1時， Sn

15、-1=S0，而Sq是沒有定義的.所以，解題時，要像上邊 解答一樣，補(bǔ)上n= 1時的情況.【例12 證明：數(shù)列a n的前n項之和Sn= an2 + bn(a、b為常數(shù))是這個數(shù)列成為等差數(shù)列的充分必要條件.證=由 Sn = an2 + bn,得當(dāng) n2 時，an = 6 Sn-1=an2 + bn a(n 1)2 b(n 1)=2na+ b aa1 = S1 = a + b二對于任何 n N, an=2na+ b aan an_i =2na+ (b a) 2(n 1)a b+ a=2a(常數(shù)) an是等差數(shù)列.若an是等差數(shù)列，則n(n 1)Sn = naj +dn 1 2(1 n) n=d +

16、 n(ai d)d 2d=尹 n(ai -？)若令 Q 二 a,貝V a1 = b，即卩2 2Sn=an2+ bn綜上所述，Sn=a n2+ bn是a n成等差數(shù)列的充要條件.說明 由本題的結(jié)果，進(jìn)而可以得到下面的結(jié)論：前n項和為Sn=an2+bn + c的數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件 是c = 0.事實上，設(shè)數(shù)列為u n，貝心充分性c = 0= Sn = an2 + bn= u n是等差數(shù)列.必要性u n是等差數(shù)列 =Sn = an2 + bn= c= 0.【例13】等差數(shù)列a n的前n項和Sn= m前m項和SnT= n(m>n)，求前 m+ n 項和 Sm+n解法一設(shè)a n的公差d按

17、題意，則有oi n(n-1)Sn 二 nc+-d = mc+ mg-1).Sm = ma1 +d = nL2(m - n)(m n1)一，得(m n) ai + d = n m即 ai + d=-1 Sm n5 n)ai(m n)(m n) d1 22m + n 1=(m n)(ai- d)=(m+ n)解法二 設(shè) SX = Ax2 + Bx(x N)Am2 + Bm = nAn2 + Bn = m，得 A(mi2 n2) + B(m n) = n mt m nA(m + n) + B= 1故 A(m+ n)2+ B(m+ n) = (m+ n)即 Sm+n= (m+n)說明a 1, d是等差

18、數(shù)列的基本元素，通常是先求出基本元素，再m + n _ 1解決其它問題，但本題關(guān)鍵在于求出了 a1+d = 1,這種設(shè)而不2解的“整體化”思想，在解有關(guān)數(shù)列題目中值得借鑒.解法二中，由于是等差數(shù)列，由例22,故可設(shè)SX=Ax2 + Bx. (x N)【例14】在項數(shù)為2n的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項之和為75,各偶數(shù)項之和為90,末項與首項之差為27,則n之 值是多少？解/ S偶項S奇項=ndn d=90- 75=15又由 a2n = 27,即(2n 1)d=27nd= 15丿 n = 5i (2n 1)d = 27【例15】 在等差數(shù)列an中，已知a1 = 25, S9 = S17, 問數(shù)列前多少項和最大，并求出最大值.解法一 建立Sn關(guān)于n的函數(shù)，運用函數(shù)思想，求最 大值.17X169 x 8根據(jù)題意：S17 =17a1