2018年春季學(xué)期高中數(shù)學(xué)人教必修五第一章第1節(jié)正弦定理集體備課教案

1、.?正弦定理?集體備課教案一、學(xué)習(xí)目的1.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探究，掌握正弦定理，并能解決一些簡單的度量問題及三角形形狀和解的個數(shù)的判斷.2.從學(xué)過的知識出發(fā)，探究任意三角形中邊與其對角的關(guān)系，并通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，從而培養(yǎng)分析問題、解決問題的才能.3.在學(xué)習(xí)中體會轉(zhuǎn)化思想、方程思想、分類討論思想及由特殊到一般的思維方法.學(xué)習(xí)重點：正弦定理的探究和證明及其根本應(yīng)用.學(xué)習(xí)難點：兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù).二、課前預(yù)習(xí)1在ABC中，ABC，.2在RtABC中，C，那么sin_A，sin_B.3一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a

2、，b，c叫做三角形的元素三角形的幾個元素求其它元素的過程叫做解三角形4正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即，這個比值是三角形外接圓的直徑2R.5、在中，那么 答案：解：由正弦定理，得，即，.三、導(dǎo)入課題 想一想：如圖，在RtABC中，A30，斜邊c2.ABC的其它邊和角為多少？學(xué)生：B60，C90，a1，b.算一算：試計算，的值，三者有何關(guān)系？學(xué)生：2，2，2，三者的值相等議一議：對于任意的直角三角形是否也有類似的結(jié)論？學(xué)生：是理由如下：如圖sin A，c.sin B，c.sin C1，.議一議：在鈍角ABC中，BC30，b，試求其它邊和角學(xué)生：如圖，ACD為直角三角形，

3、C30，AC，那么AD，CD，BC3.AB，BAC120.老師：正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.即.議一議：如圖，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動.C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大. 能否用一個等式把這種關(guān)系準確地表示出來？ 四、解疑與探究老師：在RtABC中，C為直角，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，又, 那么. 從而在直角三角形ABC中，.想一想：那么對于鈍角三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？議一議：如圖，當(dāng)ABC是鈍角三角形時，不妨設(shè)C為鈍角，作

4、邊AB上的高CD，那么有CD=，故.作邊BC上的高AE，那么有AE=csinB=bsin180-ACB=bsinACB，故可得.從而在鈍角三角形ABC中，.想一想：那么對于銳角三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？當(dāng)ABC是銳角三角形時同理可得.參看教材第2頁考慮：是否可以用其他方法證明這一等式？由于涉及邊與角關(guān)系問題，從而考慮用向量來研究這個問題。對正弦定理的理解1適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立2構(gòu)造形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式3提醒規(guī)律：正弦定理指出的是三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系式，它描繪了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系4主要功能：正弦定理的主

5、要功能是實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化范例講解一三角形任意兩角和一邊解三角形例1. 假設(shè)中，那么_解析：由題意得由正弦定理得，那么，評注：求解這類問題時，畫出草圖，在圖形中標(biāo)出的邊與角，選準運用正弦定理的等式.點評：三角形任意兩角和一邊解三角形的根本思路1由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角2由正弦定理公式的變形，求另外的兩條邊注意：假設(shè)角不是特殊角時，往往先求出其正弦值這時應(yīng)注意角的拆并，即將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，如754530，再根據(jù)上述思路求解二.三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形例2. 在ABC中，假設(shè)c，C，a2，求A，B，b.解析：由，得sin A.A或A.又ca，CA，只能取A，

6、B，b1. 點評：三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形時的方法1首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值2假如的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法那么能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一3假如的角為小邊所對的角時，那么不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論三利用正弦定理判斷三角形的形狀例3.在ABC中，sin2 Asin2 Bsin2 C，且sin A2sin Bcos C試判斷ABC的形狀解析：由正弦定理，得sin A，sin B，sin C.sin2 Asin2 Bsin2 C，即a2b2c2，故A90.C90B，cos Csin B.

7、2sin Bcos C2sin2 Bsin A1.sin B.B45或B135AB225180，故舍去ABC是等腰直角三角形點評：判斷三角形的形狀，可以從考察三邊的關(guān)系入手，也可以從三個內(nèi)角的關(guān)系入手，從條件出發(fā)，利用正弦定理進展代換、轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大小，從而作出準確判斷判斷三角形的形狀，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形與“等腰三角形或直角三角形的區(qū)別五、反思與小結(jié)1.正弦定理的常用變形： 1，；2； 3，.2.正弦定理的應(yīng)用范圍：兩角和任一邊，求其他兩邊及一角；兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角.

8、3.解的判斷要把握三角形中大邊對大角，小邊對小角的關(guān)系.兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其它兩個角，這時三角形解的情況比較復(fù)雜，可能無解，可能一解或兩解例如：a、b和A，用正弦定理求B時的各種情況.三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin Aab解的個數(shù)一解兩解一解一解六、課堂反響一選擇題1.在ABC中，a3，b5，sin A，那么sin B A. B. C. D1B解：在ABC中，由正弦定理，得sin B.2.在ABC中，假設(shè)a18，b24，A45，那么此三角形 A無解 B有兩解C有一解 D解的個數(shù)不確定B解：，sin B sin Asin 45，sin B.又ab，B有兩個3、在銳角中，那么的取值范圍為 .解: 由正弦定理得，由銳角得，又，那么，故.4、在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，那么的值為_解：由正弦定理得，即cos A3cos Csin B3sin Csin Acos B，化簡可得，sinAB3sinBC，又知ABC，sin C3sin A，因此3.七、創(chuàng)新與考慮同學(xué)們在對正弦定理的探究與研究中得到=2