實驗題目維納濾波器的計算機實現(xiàn)

1、實驗題目：維納濾波器的計算機實現(xiàn)專業(yè)：姓名：學號：指導老師：2012-11-26維納濾波器的計算機實現(xiàn)一、實驗目的1、利用計算機編程實現(xiàn)加性噪聲信號的維納濾波。2、將計算機模擬實驗結(jié)果與理論分析結(jié)果相比較，分析影響維納濾波效果的各種因素，從而加深對維納濾波的理解。3、利用維納濾波一步純預測方法實現(xiàn)對信號生成模型的參數(shù)估計。二、實驗原理1、維納濾波器是一種從噪聲中提取信號的最佳線性估計方法，假定一個隨機信號形式為：x(n)=s(n)+v(n), 其中 s(n)為有用信號，v(n)為噪聲信號。而維納濾波的作用就是讓x(n)通過一個系統(tǒng)h(n)盡可能濾掉噪聲，提取近似 s(n),h(n)的選擇以最小

2、均方誤差為準則。由維納 -霍夫方程知，只要求出 xx 及xs 就可求出h（h=-1 xxxs ）。但要求 h(n) 滿足因果性要求，維納 - 霍夫方程便是一個難題， 這里利用最佳FIR 維納濾波方法求解h(n) 的近似，這也便于在計算機上實現(xiàn)，公式為：h =R-1 xx r xs 。實驗中s(n) 由 信 號 生 成 模 型 ： s(n)=as(n-1)+w(n)確 定 ， 其 中2a=0.95,w(n) 是均值為 0，方差為 w =1 的高斯白噪聲， v(n) 為均值為 0，方差為 1 的高斯白噪聲，且 s(n) 與 v(n) 不相關(guān)。實驗中 s(n) 是已知的，但實際中如果 s(n) 已知

3、，維納濾波也就失去意義了，因此實驗純粹是為了理解維納濾波原理而設(shè)計。2、維納一步純預測問題S(n) 的生成模型：s(n)+a 1(n-1)+ +aps(n-p)=w(n), 已知 xx（n）,利用 Yule-walker 方程即可得到信號生成模型參數(shù) ai (i=1,2 p) 和2 w 。三、實驗步驟及結(jié)果分析1、根據(jù)維納濾波原理繪制程序流程圖開始輸入樣本個數(shù)L,FIR 濾波器階數(shù)N產(chǎn)生 L個 v(n),w(n),s(n) 和 x(n) ，利用 L 個 s(n)和 x(n) ，估計 RSS和 r xsN檢驗產(chǎn)生序列 x(n 的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)Y在同一坐標內(nèi)繪出x(n) 自相關(guān)函數(shù)的理論值和實

4、際值在同一坐標內(nèi)繪出最后100個 s(n) 和調(diào)矩陣求逆子程序計算, 將N個理想的 h(n) 和估計的 h(n)繪于同一坐標內(nèi)進行理想的維納濾波得L 個 SI (n),和最后 100 個 s(n)繪制于同一坐標對 x(n) 進行過濾得 L個 SR(n) ，和最后 100 個s(n)和繪于同一坐標內(nèi)L 個 x(n),s(n), S I (n), SR(n),2,e I2,2統(tǒng)計 ex,e R結(jié)束2、根據(jù)流程圖編寫程序（見附錄1）并分析運行結(jié)果：選擇 L=5000,N=10 觀察并記錄、分析實驗結(jié)果。1）與 s(n)相比，信號 x(n)在維納濾波前后效果比較：最 后 100個 sn（黑色 ） 和由

5、維納 濾波 器 得到 的 snw （ 紅色 ）的 比 較最 后100個 s(n)（ 黑色 ）和 x(n)（紅色 ）251.54130.5201-0.50-1-1-1.5-2-2-3-2.5-401020304050607080901000102030405060708090100圖1圖2圖 1 為維納濾波后的 s(n)與最后 100 個 s(n)比較圖圖 2 為未經(jīng)維納濾波的 x(n)與最后 100 個 s(n)比較圖。分析：顯然與 s(n)相比，x(n)在維納濾波前與 s(n)相差很大，維納濾波后較接近 s(n),可見濾波效果比較好。2）估計 ?(n)與理想 h(n)的比較：hh(n) 估

6、計 值 （ 紅 色 ） ， 與 真 值 （ 黑 色 ） 的 比 較0.250.20.150.10.05012345678910圖 3圖 3 為估計 ?(n)與理想 h(n)的對比圖。h分析：由圖可見，二者近似程度除最后幾個點外，其他近似度還是滿高的，總體而言，近似效果不錯。3）理想的維納濾波與FIR 維納濾波效果對比：最后100個sn（黑色）和由維納濾波器得到的sn （紅色）的比較最后100個sn（黑色）和由 FIR濾波器得到的sn（紅色）的比較2w2w1.51.5110.50.500-0.5-0.5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.501020304050607080901000

7、102030405060708090100圖4圖5圖 4 為理想維納濾波效果，圖 5 為 FIR 維納濾波效果分析：直接從圖形觀察，差異太小，無法觀察其精度。只能通過最小均方差來比較其差異，結(jié)果為：理想維納濾波 ei= 0.2287,FIR 維納濾波 ef=0.2254?？梢?，理想維納濾波效果要好過 FIR 維納濾波。4）自相關(guān)與互相關(guān)數(shù)據(jù)判斷對效果的影響分析：若去掉流程圖中自相關(guān)與互相關(guān)數(shù)據(jù)判斷步驟，可能會得到理想維納濾波不如FIR 濾波的效果，如其中一個結(jié)果： ei= 0.2503，ef= 0.2495。這里的判斷步驟就是為了檢測實際產(chǎn)生序列的自相關(guān)或互相關(guān)特性與理論值的近似程度，若誤差很

8、小且通過我們設(shè)定的某一下限則認為二者近似，所以最終的濾波效果才很近似。如果沒有這里的判斷，實際自相關(guān)或互相關(guān)則是任意的，完全有可能出現(xiàn)比理想維納濾波更好的效果。3、固定 L=5000,分別取 N=3、 20，根據(jù)實驗結(jié)果，觀察N 的大小對 ? (n)的估計和濾波效果的影響并記錄實驗結(jié)果。h實驗結(jié)果：圖 6 為 N=3 時估計 ?(n)與理想 h(n)的對比圖。h圖 7 為 N=20 時估計 ? (n)與理想 h(n)的對比圖。h圖 8 為 N=3 的 FIR 濾波后所得 s(n)與實際 S(n)后 100 位的比較圖。圖 9 為 N=20 的 FIR 濾波后所得 s(n)與實際 S(n)后 1

9、00 位的比較圖。其均方誤差分別為： ei= 0.3175(N=3), 0.2500（N=20）ef = 0.2762(N=3), 0.2488(N=20)0.35h(n)估計 值（ 紅 色） ，與 真 值（ 黑色 ）的 比 較0.3h(n)估計值（紅 色） ，與 真值 （黑 色） 的比 較0.30.250.250.20.20.150.150.10.10.050.0500-0.0511.21.41.61.822.22.42.62.8302468101214161820圖6圖7最后100個sn（黑色）和由 FIR濾波器得到的snw（紅色）的比較最后 100個sn（黑 色） 和由 FIR濾波 器得

10、 到的 snw （紅色）的比較1.5211.50.5100.50-0.5-0.5-1-1-1.5-1.5-2102030405060708090100-210203040506070809010000圖 8圖 9分析：由圖 6、7 可知，N 的大小決定?(n)與取值的個數(shù)，并hh(n)通過觀察并結(jié)合 N=10 的情況可知， N 越大?(n)與 h(n)越接近。h從最終均方誤差的比較可知，N 越大，濾波效果越好。4、固定 N=10,改變 L=1000 、5000，根據(jù)實驗結(jié)果，觀察并記錄 L 的大小對 ? (n)的精度和濾波效果的影響。h實驗結(jié)果：圖 10 為 L=1000 時估計 ? (n)與

11、理想 h(n)的對比圖。h圖 11 為 L=5000 時估計 ? (n)與理想 h(n)的對比圖。h圖 12 為 L=1000 的 FIR 濾波后所得 s(n)與實際 S(n)后 100 位的比較圖。圖 13 為 L=5000 的 FIR 濾波后所得 s(n)與實際 S(n)后 100 位的比較圖。其均方誤差分別為： ei=0.2400 (L=1000), 0.2381（L=5000）ef = 0.2390 (L=1000), 0.2375(L=5000)h(n)估計值（紅色），與真值（黑色）的比較h(n)估計值（紅色），與真值（黑色）的比較0.250.250.20.20.150.150.10

12、.10.050.05023456789100234567891011圖 10圖 11最后 100個sn（黑色）和由FIR濾波器得到的snw（紅色）的比較最后100個sn（黑色）和由 FIR濾波器得到的 snw （紅色）的比較2.52.5221.51.510.5100.5-0.50-1-0.5-1.5-2-1-2.5102030405060708090100-1.510203040506070809010000圖 12圖 13?與越接近，?的精度分析：由圖 10、11 可知， L 越大 h(n)h (n)h(n)越高。由均方誤差可知， L 越大，濾波效果越高。 這也容易理解，樣本越大，精度自然越

13、高。5、維納一步純預測1）畫出信號生成模型參數(shù)估計的流程圖開始輸入信號生產(chǎn)模型的階數(shù)p, AR 模型的參數(shù)2, 信號 s(n) 的樣本數(shù) Lai (i=1,2 p), w利用 randn 函數(shù)產(chǎn)生L 個 w(n), 并產(chǎn)生 L 個s(n)利用 Yule-Walker方程，求出a? 1 . a?p結(jié)束2）根據(jù)流程圖編寫程序（見附錄2）3）運行信號生成模型程序，選擇p=1,a1=-0.6,L=100.理論值：w2=1-a12=0.6400a1=-0.6估計值：? 2= 0.9860a1= -0.5876w?相對誤差： error-w 2= -0.0140error-a1= -0.02064)固定

14、p=1,a1=-0.6, w 2=1,改變 L=50、500，觀察 L 的大小對信號生成模型參數(shù)估計精度的影響。實驗結(jié)果：理論值： w2=1-a12=0.6400a1=-0.6估計值： L=50? 2a1= -0.5760w = 0.9730?估計值： L=500? 2a1= -0.5965w = 0.9967?相對誤差： L=50error-w2= -0.0270error-a1= -0.0401相對誤差： L=500 error-w2= -0.0033error-a1= -0.0058分析：顯然樣本個數(shù)L 的增大，使得信號模型參數(shù)精度明顯提高。四、實驗總結(jié)通過實驗結(jié)果及分析可得出以下結(jié)論：

15、1、樣本個數(shù)越大，參數(shù)精度越高。2、影響維納濾波效果的因素包括樣本個數(shù)L 、 FIR濾波階數(shù)，且均成正比關(guān)系。3、維納一步純預測， 只要調(diào)整ai(1,2 p)即可實現(xiàn)最小均方誤差。五、思考題答案1、推導公式0.23792?2H ( Z )1 0.7239 Z 1 ,驗證式 Ee(n)E s(n)s(n)0.2379推導：已知 a= 0.95,w(n)為零均值方差為22的高斯白噪聲，w1 av(n)是與 s(n)互不相關(guān)的高斯白噪聲，其均值為零，方差21。v1W (z)A(z)= 1 az1 ,所有 S(z)=W(z)A(z)=1 az 1S(z)1S( z)W (z)s( n) a(n 1)

16、w(n)aza0.95220.0975w1 ax(n)xx (m)其中s(n) v( n)而且 v( n)與 s( n)不相關(guān)，所有有ss ( m)vv ( m)xx( z)ss( z)vv( z)12ss(z)10.95, vv(Z ) 1ww( z)A(Z ) A( Z )0.95Z1)(1 0.95Z1(1)xx( Z )10.9521a(1bz 1 )(1bz)(10.95Z1 )(10.95Z1 )(10.95z 1 )(10.95z)化解得 0.95b 22b0.950b1, 21.3813151.312249, a0.723947代入可得xx ( Z)1.312249(10.72

17、3947 Z10.723947 Z )w1 B( Z ) B(Z).)(121(10.95Z1)(10.95Z )11 0.72394Z21.312249, B( Z )1 0.723947 Z, B(Z1，sx (Z )ss (Z )w110.95Z 1)10.95Z21Y(Z )G(Z)11Y(Z) G(Z)X(Z)，G(Z)0.95B(Z )H (Z)B(Z)2(10.95Z1)(1 0.723947Z )X(Z )w110.95 2AZBZ(110.723947 Z)Z0.95Z0.72394710.95Z )(1A0.312248 , B0.312248G(Z)0.31224810.

18、723947 Z0.23794810.723947 Z1.31224810.95Z 110.72394Z0.95Z 110.72394 Z1110.723947 Z0.95n u(n)0.723947 n u (n1)1 0.95Z10.72394 Z10.723947 Z1G(Z )0.23794810.95Z110.72394Z1110.95Z10.95z所有 H opt ( z)G(Z)0.2379481 , 四舍五入取四位小數(shù)點就是所求公式B(Z)10.723947 z由H opt ( z)2E e (n )minE e2 (n) min1jc ss (z)H opt ( z)xs (

19、 z 1) dz2z110.952.10.237948dz2jc(10.95 z1)(11 z0.95z)10.72394 z1c(10.952） 0.7620521dz2j0.95.10.723947)(z0.95 )( z0.0782106110.23795，四舍五入即為所求值0.7239470.95E e2 (n )min0.078210610.95 10.2379500.7239472、由公式 s(n)+a1 (n-1)+ a p s(n-p)=w(n),怎樣得到 a1 ap 和 w2 ？分析： 理論 w(n) 已知，即均值及w2 已知，那么根據(jù) Yule-Walker方程有RSS A

20、W2, 其中 RSS 為(p+1)*(p+1) 的s(n)自相關(guān)矩陣 ,A 為（ p+1）*1 的系數(shù)列向量及A= 1,a1 .ap T,而1,0.0T由給出的理論 w2 ，解方程即可得到估計值 a1 a p ；用估計值 a1 a p 代入方程即可得到估計值 w2 。六、源程序見附錄1、 2附錄 1clear allL=input(' 請輸入信號樣本個數(shù)L=');N=input(' 請輸入 FIR 濾波器的階數(shù) N=');a = 0.95;K=50;sigma_a2 = 1-a2;a_ = 1, -a;while(1)% 利用 randn()函數(shù)產(chǎn)生白噪聲wn

21、= sqrt(sigma_a2)*( randn(L,1);sn = filter(1, a_, wn);%H(Z)=1/(1-az_-1)vn = randn(L,1);xn = sn + vn;r_xx = xcorr(xn,'unbiased'); %x(n)z 自相關(guān)估計值r_xx_t = a.abs(-K:K); % x(n)自相關(guān)理論值 r_xx_t(K+1)=r_xx_t(K+1)+1;p = xcorr(sn,xn,'unbiased');%x(n)與 s(n)互相關(guān)估計值 r_xs = p(L : L+K);r_xs_t=a.0:K;%x(n)

22、 與 s(n)互相關(guān)理論值%檢測實際值與理論值的近似程度rou_xx = sum(r_xx(L-K:L+K)-r_xx_t').2)/sum(r_xx_t.2);rou_xs = (sum(r_xs-r_xs_t').2)/sum(r_xs_t.2); if rou_xx < 0.03 & rou_xs < 0.01 break;endend%同一坐標繪制 x(n)自相關(guān)函數(shù)理論值與實際值figure(1),clfstem(r_xx(L-K:L+K),'r')hold onstem(r_xx_t,'k')title('

23、r_xx 的實際值（紅色）及理論值（黑色）')%同一坐標繪制 x(n)與 s(n)互相關(guān)函數(shù)理論值與實際值figure(2),clfstem(r_xs,'r')hold onstem(r_xs_t,'k')title('r_xs 的實際值（紅色）及理論值（黑色）')%同一坐標繪制最后100 個 s(n)與 x(n)figure(3),clfstem(xn(L-99:L),'r')hold onstem(sn(L-99:L),'k')title(' 最后 100 個 s(n)（黑色）和 x(n)（紅色

24、） ');%計算 h(n)的估計值并與理想值比較%構(gòu)造 x(n)的 N 階自相關(guān)矩陣 R_xxn=0:N-1;for i=1:Nfor j=1:NR_xx(i,j)=r_xx(i-j+L);endendhopt=inv(R_xx)*r_xs(1:N);% 利用維納霍夫方程求hhopt_t=0.238*(0.724).n; %理想 h%同一坐標繪制 h(n)的實際值與理想值figure(4),clfstem(hopt,'-','r');hold onstem(hopt_t,'*','k');title('h(n) 估

25、計值（紅色），與真值（黑色）的比較');%同一座標繪制理想維納濾波后的s(n)和最后 100 個 s(n)sn_w=filter(hopt_t,1,xn);% 理想維納濾波figure(5),clfstem(sn_w(L-99:L),'*','r');hold onstem(sn(L-99:L),'.','k')title(' 最后 100 個 sn（黑色）和由維納濾波器得到的sn_w（紅色）的比較 ');%同一坐標繪制實際維納濾波后s(n)與最后 100 個 s(n)sn_f=filter(hopt,1,xn);figure(6),clfstem(sn_f(L-99:L),'*','