二次函數(shù)中根的分布問題

1、一元二次方程ax2bxc0根的分布情況ax2 bx c 0,2設(shè)萬程axbxc0a0的不等兩根為為？2且為x2,相應(yīng)的二次函數(shù)為fx方程的根即為二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，它們的分布情況見下面各表（每種情況對應(yīng)的均是充要條件）表一：（兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況）分布情況兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于0X 0,x2 0得出的結(jié)得出的結(jié)論綜合結(jié)論不討侖a 2aa f 00一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于0,一個(gè)大于0 X10x2精選表二：（兩根與k的大小比較）分布情況兩根都小于k即x1k, x2k兩根都大于k即x1k, x2 k一個(gè)根小于k , 一個(gè)大于k即xik x20得 出 的 結(jié) 論2af k 00b k

2、 2af k 000bbkk2a2afk0fk0得 出 的 結(jié) 論侖綜合結(jié)00a論2k2kafk0(2a2a不afk0afk0討表三：（根在區(qū)間上的分布）分布情況兩根都在m,n內(nèi)兩根有且僅有一根在m,n內(nèi)（圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在m,n內(nèi)，另一根在p,q內(nèi)，mnpq得出的結(jié)論0f m 0f n 0bm 一 n2afm0fn0fmfn0或fp0fpfq0fq0得出的結(jié)論fn0fmfn0或fp0fpfq0fq0f m 00fm0fn0bmn2a綜合結(jié)論1不討論根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間m,n外，即在區(qū)間兩側(cè)x1m,x2n,（圖形分別如下）需滿足的條件是對以上的根的分布表

3、中一些特殊情況作說明：(1)兩根有且僅有一根在m,n內(nèi)有以下特殊情況：1若fm0或fn0,則此時(shí)fmgfn0不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為m或n,可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間m,n內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程mx2m2x20222在區(qū)間1,3上有一根，因?yàn)閒10,所以mx2m2x2x1mx2,另一根為一，由13mmm2一得一m2即為所求；32方程有且只有一根，且這個(gè)根在區(qū)間m,n內(nèi)，即0,此時(shí)由0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗(yàn)根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程2x4mx2m60有且一根在區(qū)間3,0內(nèi)，求m的取值范

4、圍。分析：由f3gf00即15_2314m15m30得出3m一；由0即16m242m60得出m1或m，當(dāng)14233m1時(shí)，根x23,0,即m1滿足題意；當(dāng)m-時(shí)，根x33,0,故m一不滿足題意；2215綜上分析，得出3m一或m114例1、已知二次方程2m 12mx m 10有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。解：由 2m 1 gf2m 1 m 10,從而得1 ，一 ，一-m 1即為所求的范圍。2，、一 一 2例2、已知方程2xm 1 x m 0有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：由0m 1 02g2f 002m 1 8m 0m 1m 0m 3 2、.2<m 3 2,2m 032J2即為所求的范圍。例3、已知二次函數(shù)ym2x22m4x3m3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于1,一個(gè)小于1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。1解：由m2gf10即m2g2m102m-即為所求的范圍。例4、已知二次方程mx22m3x40只有一個(gè)正根且這個(gè)根小于1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。“，、，一一八，一一人，一一八八,八1解：由題意有方程在區(qū)間0,1上只有一個(gè)正根，則f0gf10