數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力

1、數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力馮永霞在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生既要能抓住問題的特征，又要能自覺地排除一些非本質(zhì)因素的干擾，由此及彼、由表及里地進(jìn)行分析和綜合的能力。還要有發(fā)現(xiàn)問題中條件的細(xì)微變化的能力，抓住問題的關(guān)鍵點(diǎn)和切入點(diǎn)，從而進(jìn)行嘗試和突破。然而由于數(shù)學(xué)本身的抽象性，導(dǎo)致一些學(xué)生理解上的偏差，因此教師在教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象概括，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。學(xué)會(huì)把本質(zhì)的和非本質(zhì)的東西區(qū)分開，把具體問題抽象概括為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。我個(gè)人認(rèn)為應(yīng)從以下幾方面入手：（一）在創(chuàng)設(shè)問題情境中，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。所謂問題情境，就是教師通過設(shè)立一系列有難度的問題活躍學(xué)生的思維，激發(fā)

2、學(xué)生的求知欲望，從而營造一種強(qiáng)烈的課堂求知?dú)夥铡Ｔ诮虒W(xué)中，應(yīng)根據(jù)教材內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況，不失時(shí)機(jī)地結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知需要，把握各部分的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用綜合、聯(lián)系、分析、比較的方法，捕捉每個(gè)機(jī)會(huì)，提出發(fā)人深思的問題，創(chuàng)設(shè)問題情境，激起學(xué)生更深層次的認(rèn)識(shí)興趣和求知欲望，引導(dǎo)學(xué)生想象、探討，發(fā)展學(xué)生積極思考。它與問題不同，問題指的是個(gè)人不能理解的事物與確定的客觀世界的矛盾。問題與情境是兩個(gè)不同的概念，但又有聯(lián)系。問題情境的產(chǎn)生必須依賴于問題。沒有了問題，學(xué)生也就不會(huì)產(chǎn)生心理困境。因此問題情境應(yīng)該具備三要素：第一，新的、未知的事物（目的），這是產(chǎn)生問題情境的核心要素。第二，思維動(dòng)機(jī)（如何達(dá)到），即對(duì)未知

3、事物的需要。第三，學(xué)生的知識(shí)能力水平（察覺到問題），包括學(xué)生的創(chuàng)造能力和學(xué)生已達(dá)到的知識(shí)水平。1、創(chuàng)設(shè)的問題情境，要有趣味性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。 學(xué)生學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性對(duì)科學(xué)學(xué)習(xí)有著重要的影響。因此，在創(chuàng)設(shè)問題情境時(shí)，一定要保證所設(shè)情境能誘發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，造成學(xué)生心理上的懸念，從而喚起學(xué)生的求知欲望，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，把學(xué)生帶入一種與問題有關(guān)的情境中去，進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)。也就是說教師可根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”為學(xué)生提供豐富的背景材料，采用猜謎、講故事、競賽等形式，創(chuàng)設(shè)一個(gè)個(gè)富有兒童情趣的問題情境，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，主動(dòng)參與學(xué)習(xí)。2、創(chuàng)設(shè)的問題情境，體現(xiàn)層次性，滿足每位學(xué)生。實(shí)踐表明，每個(gè)學(xué)生都是不

4、同的，他們的知識(shí)水平、接受能力存在著明顯的差異。因此，教師在創(chuàng)設(shè)問題情境時(shí)，應(yīng)根據(jù)特定的知識(shí)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，將學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與將要學(xué)習(xí)的知識(shí)聯(lián)系起來，設(shè)置難易適度、科學(xué)的、有梯度的、有層次的問題鏈，考慮好問題的銜接和過渡，用組合、鋪墊或設(shè)臺(tái)階等方法提高問題的整體效益。3、創(chuàng)設(shè)的問題情境，具有探究性，發(fā)展學(xué)生思維。 體驗(yàn)科學(xué)的應(yīng)用思維發(fā)展心理學(xué)的研究表明，兒童思維的發(fā)展是外部活動(dòng)轉(zhuǎn)化為內(nèi)部活動(dòng)的過程。因此，教師應(yīng)盡量給學(xué)生提供具有自主探究的感性材料，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生形成“心求通而未得”的認(rèn)知沖突的問題情境，這樣的問題既構(gòu)建著當(dāng)前教學(xué)應(yīng)當(dāng)解決的問題，又蘊(yùn)含著與當(dāng)前問題有關(guān)但要讓學(xué)生自己回味、思考的

5、問題，學(xué)生有了問題才會(huì)有探索，只有主動(dòng)探索才會(huì)有創(chuàng)造。這樣的問題情境營造出了一種完而未完、意味無窮的境界，讓學(xué)生迫不及待而又興趣盎然地去學(xué)習(xí)。目的在于激發(fā)學(xué)生循著教師講課的線索自己去思考問題、進(jìn)行猜想、驗(yàn)證，甚至進(jìn)行自主、獨(dú)立、系統(tǒng)地自學(xué)，從而提高課堂教學(xué)的效率。4、創(chuàng)設(shè)的問題情境，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造性，體驗(yàn)“再發(fā)現(xiàn)”。中科院心理所的張梅玲教授曾說過：“再完美的模仿畢竟是模仿，有缺損的創(chuàng)造畢竟是創(chuàng)造，要?jiǎng)?chuàng)造要發(fā)展不能一次求完美，但畢竟是在前進(jìn)在發(fā)展，路是人走出來的”。張教授的話非常有哲理，學(xué)生只有親手“做科學(xué)”，才能親身體驗(yàn)獲得知識(shí)的快樂。所以，在教學(xué)中教師創(chuàng)設(shè)的問題情境首先要利于學(xué)生獨(dú)立探究，要給學(xué)生

6、自由探索的時(shí)間和空間，其次要鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、質(zhì)疑問難、發(fā)表不同意見，最后還要給學(xué)生以思考性的指導(dǎo)，特別是當(dāng)學(xué)生的見解出現(xiàn)錯(cuò)誤或偏頗時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、自我矯正，將機(jī)會(huì)留給學(xué)生，不要代替學(xué)生自己的思考。（二）在概括文本知識(shí)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力1、概念教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力從特殊入手，研究數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，再逐步擴(kuò)展到一般，這是數(shù)學(xué)常用的研究方法。下面以教授等差數(shù)列及等比數(shù)列的概念為例，說明如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。例1、在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會(huì)遇到下面的特殊數(shù)列。我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5， ， ，20 ， 25 ，2000年，在澳大

7、利亞悉尼舉行的奧運(yùn)會(huì)上，女子劇中被正式列為比賽項(xiàng)目。該項(xiàng)目共設(shè)置了7個(gè)級(jí)別，其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48，53，58，63. 水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水的辦法清理水庫的雜魚。如果一個(gè)水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天水位組成數(shù)列（單位：m）:18,15.5,13,10.5,8,5.5.我國現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計(jì)算下一期的利息。按照單利計(jì)算本利和的公式是：本利和=本金（1+利率存期）。例如，按活期存入10000元錢，

8、年利率是0.72%，那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和分別是：時(shí)間年初本金（元）年末本利和（元）第1年1000010072第2年1000010144第3年1000010216第4年1000010288第5年1000010360引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們共同的規(guī)律：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)。教師適時(shí)概括：我們把有這一特點(diǎn)的數(shù)列叫做等差數(shù)列。板書：等差數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d來表示。2.公式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力如學(xué)習(xí)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，注重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)與首項(xiàng)、公

9、差的本質(zhì)關(guān)系，達(dá)到培養(yǎng)抽象概括能力的目的。例如：四個(gè)數(shù)列：0，5，10，15，20 48，53，58，63 18，15.5，13，10.5，8，5.5 10072，10144，10216， 10288，10360 提問：對(duì)于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項(xiàng)公式將它們表示出來呢？ 我們是通過研究數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系去寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式的。下面由同學(xué)們根據(jù)通項(xiàng)公式的定義，寫出這四組等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。由學(xué)生經(jīng)過分析寫出通項(xiàng)公式： 猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是 猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是 猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是 猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是那么，如果任意給了一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差

10、d，它的通項(xiàng)公式是什么呢？引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行歸納： （n-1）個(gè)等式 所以 思考：那么通項(xiàng)公式到底如何表達(dá)呢？得出通項(xiàng)公式：以為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：。也就是說，只要我們知道了等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差d，那么這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)就可以表示出來了。數(shù)學(xué)公式反映了事物內(nèi)部和外部的關(guān)系，是我們更好地理解事物的本質(zhì)和內(nèi)涵的依據(jù)，也是一個(gè)由具體到抽象的過程。公式的應(yīng)用是對(duì)學(xué)生將具體的抽象到解題中的一個(gè)應(yīng)用，對(duì)公式的概括能力也是非常重要的。在教學(xué)中不免存在學(xué)生記不住公式或記住公式不會(huì)應(yīng)用的現(xiàn)象。再如在“學(xué)習(xí)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”的時(shí)候，由于誘導(dǎo)公式很多，形式又很相似，導(dǎo)致它的記憶就使很

11、多學(xué)生感到困難。公式一： 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin（2k）sin （kZ） cos（2k）cos （kZ） tan（2k）tan （kZ） cot（2k）cot （kZ） 公式二： 設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公

12、式五： 利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六： /2±及3/2±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（/2）cos cos（/2）sintan（/2）cot cot（/2）tansin（/2）cos cos（/2）sintan（/2）cot cot（/2）tansin（3/2）cos cos（3/2）sintan（3/2）cot cot（3/2）tansin（3/2）cos cos（3/2）sintan（3/2）cot cot（3/2）tan （以上kZ） 規(guī)律總結(jié) 上

13、面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：對(duì)于/2*k ±（kZ）的三角函數(shù)值， 當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，得到的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變； 當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，得到相應(yīng)的余函數(shù)值，即sincos；cossin；tancot，cottan. （奇變偶不變） 然后在前面加上把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。 （符號(hào)看象限） 例如： sin（2）sin（4·/2），k4為偶數(shù)，所以取sin。 當(dāng)是銳角時(shí)，2（270°，360°），sin（2）0，符號(hào)為“”。 所以sin（2）sin 上述的記憶口訣是： 奇變偶不變，符號(hào)看象限。 公式右邊的符號(hào)為把視為銳角時(shí)，角k·360°+（kZ），-、180°±，360°- 所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶。水平誘導(dǎo)名不變；符號(hào)看象限。 教師可以通過分析概括，把誘導(dǎo)公式概括為十個(gè)字：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。（三）、在類比和對(duì)比中，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。    數(shù)學(xué)的完整性和嚴(yán)密性，使得數(shù)學(xué)結(jié)論