對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)間序列yt假定經(jīng)過(guò)d次差分之后可表達(dá)為一個(gè)自回歸_第1頁(yè)
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1、時(shí)間序列模型時(shí)間序列分析方法由 Box-Jenkins 1976年提出。它適用于各種領(lǐng)域的時(shí)間序列分析。 時(shí)間序列模型不同于經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型的兩個(gè)特點(diǎn)是: 這種建模方法 不以經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù),而是依據(jù)變量自身的變化規(guī)律,利用外推機(jī)制 描述時(shí)間序列的變化。明確考慮時(shí)間序列的非平穩(wěn)性 。如果時(shí)間序列非平穩(wěn),建立模型之前應(yīng)先通過(guò)差分 把它變換成平穩(wěn)的時(shí)間序列,再考慮建模問(wèn)題。時(shí)間序列模型的應(yīng)用:1研究時(shí)間序列本身的變化規(guī)律建立何種結(jié)構(gòu)模型,有無(wú)確定性趨勢(shì),有無(wú)單位 根,有無(wú)季節(jié)性成分,估計(jì)參數(shù)。2 在回歸模型中的應(yīng)用預(yù)測(cè)回歸模型中解釋變量的值。3時(shí)間序列模型是非經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的根底之一不懂時(shí)間序列模型學(xué)不

2、好非經(jīng)典 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。分節(jié)如下:1 隨機(jī)過(guò)程、時(shí)間序列定義2 時(shí)間序列模型的分類(lèi)3.自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)4 建模步驟識(shí)別、參數(shù)估計(jì)、診斷檢驗(yàn)、案例分析5回歸與時(shí)間序列組合模型6 季節(jié)時(shí)間序列模型案例分析2.1隨機(jī)過(guò)程、時(shí)間序列為什么在研究時(shí)間序列之前先要介紹隨機(jī)過(guò)程?就是要把時(shí)間序列的研究提高到理論 高度來(lái)認(rèn)識(shí)。時(shí)間序列不是無(wú)源之水。它是由相應(yīng)隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的。只有從隨機(jī)過(guò)程的高度 認(rèn)識(shí)了它的一般規(guī)律。對(duì)時(shí)間序列的研究才會(huì)有指導(dǎo)意義。對(duì)時(shí)間序列的認(rèn)識(shí)才會(huì)更深刻。自然界中事物變化的過(guò)程可以分成兩類(lèi)。一類(lèi)是確定型過(guò)程,一類(lèi)是非確定型過(guò)程。確定型過(guò)程即可以用關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)描述的過(guò)程。例如,真空中

3、的自由落體運(yùn)動(dòng)過(guò)程,電容器通過(guò)電阻的放電過(guò)程,行星的運(yùn)動(dòng)過(guò)程等。非確定型過(guò)程即不能用一個(gè)或幾個(gè)關(guān)于時(shí)間t確實(shí)定性函數(shù)描述的過(guò)程。換句話說(shuō), 對(duì)同一事物的變化過(guò)程獨(dú)立、重復(fù)地進(jìn)行屢次觀測(cè)而得到的結(jié)果是不相同的。例如,對(duì)河流水位的測(cè)量。其中每一時(shí)刻的水位值都是一個(gè)隨機(jī)變量。 如果以一年的水位紀(jì)錄作為實(shí)驗(yàn)結(jié)果,便得到一個(gè)水位關(guān)于時(shí)間的函數(shù)xt。這個(gè)水位函數(shù)是預(yù)先不可確知的。只有通過(guò)測(cè)量才能得到。而在每年中同一時(shí)刻的水位紀(jì)錄是不相同的。隨機(jī)過(guò)程:由隨機(jī)變量組成的一個(gè)有序序列稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程,記為x s, t , s S , t T 。S中的一個(gè)隨其中S表示樣本空間,T表示序數(shù)集。對(duì)于每一個(gè)t, t T,

4、x -t 是樣本空間機(jī)變量。對(duì)于每一個(gè)s, s S , x s, 是隨機(jī)過(guò)程在序數(shù)集 T中的一次實(shí)現(xiàn)。隨機(jī)過(guò)程簡(jiǎn)記為 Xt或xt。隨機(jī)過(guò)程也常簡(jiǎn)稱(chēng)為過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程一般分為兩類(lèi)。一類(lèi)是離散型的,一類(lèi)是連續(xù)型的。如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程Xt對(duì)任意的t.T都是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,那么稱(chēng)此隨機(jī)過(guò)程為連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程。如果一個(gè)隨機(jī) 過(guò)程Xt對(duì)任意的tT都是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,那么稱(chēng)此隨機(jī)過(guò)程為離散型隨機(jī)過(guò)程。本書(shū)只考慮離散型隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程連續(xù)型離散型平穩(wěn)的嚴(yán)(強(qiáng))平穩(wěn)過(guò)程-寬平穩(wěn)過(guò)程非平穩(wěn)的嚴(yán)(強(qiáng))平穩(wěn)過(guò)程:一個(gè)隨機(jī)過(guò)程中假設(shè)隨機(jī)變量的任意子集的聯(lián)合分布函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān),即無(wú)論對(duì)T的任何時(shí)間子集(ti, t 2

5、,,tn)以及任何實(shí)數(shù)k, (ti + k) T, i = 1,2, n都有F( X(ti), x(t2),x(tn) ) = F(x(ti + k), x(t2 + k),x(tn+ k)成立,其中F()表示n個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù),那么稱(chēng)其為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程或強(qiáng)平穩(wěn)過(guò)程。嚴(yán)平穩(wěn)意味著隨機(jī)過(guò)程所有存在的矩都不隨時(shí)間的變化而變化。嚴(yán)平穩(wěn)的條件是非常嚴(yán)格的,而且對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程, 上述聯(lián)合分布函數(shù)不便于分析和使用。因此希望給出不象強(qiáng)平穩(wěn)那樣嚴(yán)格的條件。假設(shè)放松條件,那么可以只要求分布的主要參數(shù)相同。如只要求從一階到某階的矩函數(shù)相同。這就引出了寬平穩(wěn)概念。如果一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 m階矩以下的矩的取值全部與時(shí)

6、間無(wú)關(guān),那么稱(chēng)該過(guò)程為m階平穩(wěn)過(guò)程。比方E x(ti) = E x(ti + k)=:,2Varx(ti) = Var x(ti + k)=匚 二,2Covx(ti), x(tj) = Cov x (ti + k), x (tj + k) = G j :,其中 2和Gj2為常數(shù),不隨t, (b T ); k, ( (tr + k) T, r = i, j )變化而變化,那么稱(chēng)該隨機(jī)過(guò)程xt為二階平穩(wěn)過(guò)程(協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程)。該過(guò)程屬于寬平穩(wěn)過(guò)程。如果嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的二階矩為有限常數(shù)值,那么其一定是寬平穩(wěn)過(guò)程。反之,一個(gè)寬平穩(wěn)過(guò)程不一定是 嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。但對(duì)于正態(tài)隨機(jī)過(guò)程而言,嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)是一致的。這

7、是因?yàn)檎龖B(tài)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合分布函數(shù)完全由均值、方差和協(xié)方差所惟一確定。本書(shū)簡(jiǎn)稱(chēng)二階平穩(wěn)過(guò)程為平穩(wěn)過(guò)程。時(shí)間序列:隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)稱(chēng)為時(shí)間序列,也用x t或x t表示。與隨機(jī)過(guò)程相對(duì)應(yīng),時(shí)間序列分類(lèi)如下,-連續(xù)型*(心電圖,水位紀(jì)錄儀,溫度紀(jì)錄儀)時(shí)間序列.從相同的時(shí)間間隔點(diǎn)上取自連續(xù)變化的序列(人口序列)匚離散型彳I 一定時(shí)間間隔內(nèi)的累集值(年糧食產(chǎn)量,進(jìn)出口額序列)時(shí)間序列中的元素稱(chēng)為觀測(cè)值。xt既表示隨機(jī)過(guò)程,也表示時(shí)間序列。xt既表示隨機(jī)過(guò)程的元素隨即變量,也表示時(shí)間序列的元素觀測(cè)值。在不致引起混淆的情況下,為方便,xt也直接表示隨機(jī)過(guò)程和時(shí)間序列。隨機(jī)過(guò)程與時(shí)間序列的關(guān)系如下所示:隨機(jī)

8、過(guò)程:x1,X2,XT-1,XT,第1次觀測(cè):1 1x1 , X2 ,-,XT-11,XT1第2次觀測(cè):xi2, X22,2XT-1 ,XT)第 n 次觀測(cè):Xin, X2,XT-1n, XT某河流一年的水位值,Xi, X2,XT-1, XT,可以看作一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。 每一年的水位紀(jì)錄 那么是一個(gè)時(shí)間序列,Xi1, X21,XT-11, XT1。而在每年中同一時(shí)刻(如 t = 2時(shí))的水位紀(jì)錄 是不相同的。 X21, X22,,乂2:構(gòu)成了 X2取值的樣本空間。例如,要記錄某市日電力消耗量,那么每日的電力消耗量就是一個(gè)隨機(jī)變量,于是得到一個(gè)日電力消耗量關(guān)于天數(shù) t的函數(shù)。而這些以年為單位的函數(shù)族

9、構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)過(guò)程人, t=1,2,365。因?yàn)闀r(shí)間以天為單位,是離散的,所以這個(gè)隨機(jī)過(guò)程是離散型隨機(jī)過(guò)程。而一年的日電力消耗量的實(shí)際觀測(cè)值序列就是一個(gè)時(shí)間序列。自然科學(xué)領(lǐng)域中的許多時(shí)間序列常常是平穩(wěn)的。如工業(yè)生產(chǎn)中對(duì)液面、壓力、溫度的控制過(guò)程,某地的氣溫變化過(guò)程,某地100年的水文資料,單位時(shí)間內(nèi)路口通過(guò)的車(chē)輛數(shù)過(guò)程等。但經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中多數(shù)宏觀經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列卻都是非平穩(wěn)的。如一個(gè)國(guó)家的年GDP序列,年投資序列,年進(jìn)出口序列等。為便于計(jì)算,先給出差分定義。差分:時(shí)間序列變量的本期值與其滯后值相減的運(yùn)算叫差分。差分分為一階差分和高階差分。首先給出差分符號(hào)。對(duì)于時(shí)間序列xt,一階差分可表示為Xt-Xt

10、-1 = - xt = (1- L) xt = xt - L xt(2.1)其中稱(chēng)為一階差分算子。L稱(chēng)為滯后算子,其定義是Ln Xt = Xt- n。差分算子和滯后算子可以直接參與運(yùn)算。二次一階差分表示為,Xt = : Xt - : Xt -1 = (Xt - Xt -1)-(Xt-1 - Xt -2)= Xt - 2 Xt -1+ Xt 或x22Xt = (1- L) Xt = (1 -2L + L ) Xt = Xt Xt-1+ xt-2(2.2)k階差分可表示為k .kXt-Xt -k = k Xt = (1- L ) Xt = Xt -L Xtk階差分常用于季節(jié)性數(shù)據(jù)的差分,如4階差分

11、、12階差分。滯后算子有如下性質(zhì)。(1) 常數(shù)與滯后算子相乘等于常數(shù)。Lc = c(2) 滯后算子適用于分配律。(L + Lj) xt= Li xt+ Lj xt= xt -i+ xt -(3) 滯后算子適用于結(jié)合律。Li Lj Xt= Li+ j Xt= Xt -i -(4) 滯后算子的零次方等于1。Lxt= xt(5) 滯后算子的負(fù)整數(shù)次方意味著超前。L-i Xt = Xt+i下面介紹兩種根本的隨機(jī)過(guò)程(1) 白噪聲(white noise)過(guò)程(file : 5gener1, u)2白噪聲過(guò)程:對(duì)于隨機(jī)過(guò)程 Xt, t T ,如果 E(xt) = 0, Var (Xt)=二:二,t T;

12、 Cov (xt, Xt + k) =0, (t + k ) w T ,0 ,那么稱(chēng)xt為白噪聲過(guò)程。圖2.1a由白噪聲過(guò)程產(chǎn)生的時(shí)間序列nrnd圖2.1b日元對(duì)美元匯率的收益率序列0.3 :0.25 :0.2 :0.15 :0.1 :0.05 :-0 00.511.522.53圖2.1c白噪聲過(guò)程的總體譜白噪聲是平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程,因其均值為零,方差不變,隨機(jī)變量之間非相關(guān)。顯然上述 白噪聲是二階寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。如果Xt同時(shí)還服從正態(tài)分布,那么它就是一個(gè)強(qiáng)平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。白噪聲源于物理學(xué)與電學(xué),原指音頻和電信號(hào)在一定頻帶中的一種強(qiáng)度不變的干擾聲。2隨機(jī)游走random walk 過(guò)程file :

13、 5gener1, x1對(duì)于下面的表達(dá)式圖2.1e.由隨機(jī)游走過(guò)程產(chǎn)生時(shí)間序列圖2.1f.深圳股票綜合指數(shù)隨機(jī)游走 一詞首次出現(xiàn)于 1905年自然Nature雜志第72卷Pearson K.和RayleighL.的一篇通信中。該信件的題目是“隨機(jī)游走問(wèn)題。文中討論尋找一個(gè)被放在野地中央的醉漢的最正確策略是從投放點(diǎn)開(kāi)始搜索。隨機(jī)游走過(guò)程的均值為零,方差為無(wú)限大。xt = xt -1 + ut = ut + Ut-1 + xt -2 = ut + Ut-1 + Ut-2 + E(xt) = E(ut + ut-i + ut-2 + )=0,Var(xt) = Var(ut + ut-1 + ut-

14、2 + )=t - _ 2 _ _ u二-所以隨機(jī)游走過(guò)程是非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。2.2時(shí)間序列模型的分類(lèi)(1)自回歸過(guò)程 如果一個(gè)剔出均值和確定性成分的線性過(guò)程可表達(dá)為xt = iXt-1 + $2 xt-2 + + % Xt-P + ut ,(2.4)其中i, i = 1,p是自回歸參數(shù),ut是白噪聲過(guò)程,那么稱(chēng)xt為P階自回歸過(guò)程,用 AR(p)表示。xt是由它的p個(gè)滯后變量的加權(quán)和以及ut相加而成。假設(shè)用滯后算子表示(1-咖L - 2 L2 -% LP) xt=(L) xt = ut(2.5)其中(L) = 1-如L - *2 L2 -% LP稱(chēng)為特征多項(xiàng)式或自回歸算子。與自回歸模型常聯(lián)系

15、在一起的是平穩(wěn)性問(wèn)題。對(duì)于自回歸過(guò)程 AR(p),如果其特征方程 (z) = 1-如 z - *2 Z2 -% z p = (1 -G1 z) (1 -G2 z) . (1 -Gp z) = 0(2.6)的所有根的絕對(duì)值都大于1,那么AR(p)是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。AR(1)過(guò)程分析。4圖 2.2AR(1)過(guò)程(file : 5gener1, x2)(2.7)xt = 1 xt-1 + u t保持其平穩(wěn)性的條件是特征方程(1 -1 L) = 0根的絕對(duì)值必須大于1,滿足11/ 1也就是| *i| 1解釋如下:一階自回歸過(guò)程,xt = * 1 xt-1 + ut,可寫(xiě)為(1- iL) xt =

16、ut xt = (1- i L)-1 ut在丨1| 1條件下,有Xt = (1+ 1L + ( 1 L) + ( 1 L)+ )ut假設(shè)保證AR(1)具有平穩(wěn)性,瓦,hiLi必須收斂,即*1必須滿足|咖| 1。這是容易理解的,如果| 1| _1,、:: TU發(fā)散,于是xt變成一個(gè)非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。i q0由(2.7)式有2 . . 2xt=ut+1 Ut-1 + 1Xt-2=Ut+ 1Ut-1+ 1Ut-2 + (短記憶過(guò)程)因?yàn)閁t是一個(gè)白噪聲過(guò)程,所以對(duì)于平穩(wěn)的AR(1)過(guò)程E(xt) = 02.22.4212Var (xt) = :u + 1 cu + 1 ;:u + =;u1 g上式也說(shuō)

17、明假設(shè)保證 xt平穩(wěn),必須保證| 1| 1, L2 1(在單位圓外)或1 1, 2 1 (2)對(duì)于AR(2)模型,求特征方程的根要比AR(1)模型困難得多。下面利用特征方程的根與模型參數(shù),如的關(guān)系求保證 AR2過(guò)程平穩(wěn)的* 2, 1的取值條件或值域。由1式得_ _*|+誣2+4電電州+4歸 .Z1 + 盂2 = + = 12 2 也2審2 +4幅.1 2 =- = - 244利用,式得2+ 1 = - 1 2 + (二1 + 2)= 1 -(1- .1)(1- .2 )2 - 1 = - 1 2 -(二1 +二2)= 1 _(1+ 1)(1+ 2 )無(wú)論1,,2為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù),由 1 1,

18、-2 0,從而得(6)由(2)和式得-1 2 0時(shí),L1,L2為不等實(shí)數(shù)根。2, 1的值位于過(guò)阻尼區(qū)自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減 。當(dāng) 12 + 4 2 0 時(shí),根為共軛復(fù)根。* 2, 1的值位于欠阻尼區(qū)自相關(guān)函數(shù)呈正弦震蕩衰減。例2有AR2模型xt = 0.7 xt -1 - 0.1 xt -2 + ut, 試判別Xt的平穩(wěn)性。解:有3種方法。解法1:檢查1, 2約束條件疇+歐=0.6,- + $ = -0.8 ,禺=-0.1,滿足條件5 6 7,所以xt是平穩(wěn)的。解法2:(因式分解求根)特征方程為,由原式得(1 - 0.7 L + 0.1 L2) xt = ut(1 - 0.7 L + 0.1 L

19、 2 ) = 0(1 - 0.2 L) (1- 0.5 L) = 0特征方程的兩個(gè)根是,L1 = 5 , L2 = 2。因?yàn)閮蓚€(gè)根都在單位圓之外,所以xt是平穩(wěn)的。解法3:觀察1, 2點(diǎn)是否落在三角區(qū)從圖1看,因?yàn)?, 2= 0.7, -0.1,落在了 AR2過(guò)程的平穩(wěn)域,落在了過(guò)阻尼區(qū), 所以xt為平穩(wěn)過(guò)程。例3 :有AR2模型x t = 0.6 x t-1 - 0.1 x t-2 + ut ,試判別xt的平穩(wěn)性。解:解法1:檢查1, 2約束條件哺+瞰=0.5,-哦+ % = -0.7,% = - 0.1,滿足條件567,所以xt是平穩(wěn)的。解法2:因式分解求根由原式得,1 - 0.6 L +

20、 0.1 L2 x t = ut,特征方程為,1 - 0.6 L + 0.1 L2 = 0因?yàn)樘卣鞣匠讨懈黜?xiàng)都是實(shí)數(shù),所以其虛根必然是共軛的。1- (0.3 - 0.1 i ) L 1- (0.3 + 0.1 i ) L = 0特征方程的兩個(gè)根是,L1 =10.30.1(0.3 - 0.1i)(0.3-0.1i)(0.3 O1i)L2 =10.30.1i因?yàn)閮蓚€(gè)根都在單位圓之外,所以xt是平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。過(guò)程的平穩(wěn)域,落在了欠阻尼區(qū),解法3:觀察1, 2點(diǎn)是否落在三角區(qū)從圖 1 看,因?yàn)?, 2= 0.6, -0.1,落在了 AR2所以xt為平穩(wěn)過(guò)程。例4 :有AR2模型x t = 0.7 x

21、 t-1 + 0.6 x t-2 + ut,試判別xt的平穩(wěn)性。解:解法1:檢查1, 2約束條件礙+ % = 1.3,-% + % = -0.1,= 0.6,條件5不滿足,所以xt是非平穩(wěn)的。解法2:因式分解求根由原式得,1 - 0.7 L - 0.6 L2 xt = ut ,特征方程為,21 - 0.7 z - 0.6 z = 01 + 0.5 z 1- 1.2 z = 0特征方程的兩個(gè)根是,Z1 = -2,z2 = 0.83。因?yàn)橐粋€(gè)根0.83在單位圓內(nèi),所以 xt是一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。解法3:觀察, 2點(diǎn)是否落在三角區(qū)從圖1看,因?yàn)?,=0.7, 0.6,落在了 AR2過(guò)程的非平穩(wěn)域,

22、所以 xt為非平穩(wěn) 過(guò)程。對(duì)于一般的自回歸過(guò)程 AR p,特征多項(xiàng)式2pG (L) = 1 - 1 L - 2 L -pLP = (1 -Gi L) (1 -G2 L) . (1 -Gp L)那么xt可表達(dá)為k11-G1 L1 - G2 Lk p+ 1-G pL)ut(2.8)其中k1, k 2,Kp是待定系數(shù)。xt具有平穩(wěn)性的條件是 G-1 (L)必須收斂,即應(yīng)有|G | 1。由上式可看出一個(gè)平穩(wěn)的 AR(p)過(guò)程可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階的移動(dòng)平均過(guò)程( p個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù) 之和)。保證AR( p)過(guò)程平穩(wěn)的一個(gè) 必要但不充分 的條件是p個(gè)自回歸系數(shù)之和要小于1,即pi1i 4重新分析隨機(jī)游走過(guò)程。因

23、為1 = 1,所以隨機(jī)游走過(guò)程是一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。(2)移動(dòng)平均過(guò)程如果一個(gè)剔出均值和確定性成分的線性隨機(jī)過(guò)程可用下式表達(dá)xt = Ut + 日 1 Ut -1 + 日2 Ut -2 + + 0 q Ut -q=(1 + RL + 七 L2 + + R Lq) ut =心 L) ut(2.9)其中n 1, -2,Vq是回歸參數(shù),Ut為白噪聲過(guò)程,那么上式稱(chēng)為 q階移動(dòng)平均過(guò)程,記為 MA(q)。之所以稱(chēng)“移動(dòng)平均,是因?yàn)閤t是由q +1個(gè)山和山滯后項(xiàng)的加權(quán)和構(gòu)造而成?!耙苿?dòng)指t的變化,“平均指加權(quán)和。由定義知任何一個(gè) q階移動(dòng)平均過(guò)程都是由q + 1個(gè)白噪聲變量的加權(quán)和組成,所以任何一個(gè)移

24、動(dòng)平均過(guò)程都是平穩(wěn)的。與移動(dòng)平均過(guò)程相聯(lián)系的一個(gè)重要概念是可逆性。移動(dòng)平均過(guò)程具有可逆性的條件是特征方程。G? z) = (1 + V1Z + )2 Z2 + + ?! q zq) = 0(2.10)的全部根的絕對(duì)值必須大于1。由(2.9)有心L)-1xt = ut。由于。L)可表示為O L) = (1 -H1 L) ( 1 -H2 L)1 -HqL)所以有-1/ m1m2mq4 L) 1 = (+2 + + q) ,(2.11)1 _比1_ 1 _H2L1 _HqLmi為待定參數(shù)。可見(jiàn)保證 MA( q)過(guò)程可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階自回歸過(guò)程,即MA( q)具有可逆性的條件0L)-1收斂。對(duì)于|

25、L | 1,必須有|Hj| 1 , j = 1 , 2,,q成立。 而Hj-是特征方程。L) = (1 -H1 L) ( 1 -H2L)1 -Hq L) = 0的根,所以 MA( q)過(guò)程具有 可逆性的條件是特征方程 0 L) = 0的根必須在單位圓之外。(因?yàn)閤 t =1 L) Ut是平穩(wěn)的,如 果變換成。L)-1 xt = Ut后,變得不平穩(wěn),顯然失去可逆性。)注意,對(duì)于無(wú)限階的移動(dòng)平均過(guò)程xt =00:瓦(日 i u t -i )= ut (1 + 0i L + i衛(wèi)nL 2 + )其方差為00oOVar(Xt)=、(2v i Var (ut-)=Cu2 ,:i衛(wèi)i 4(2.12)(2.

26、13)很明顯雖然有限階移動(dòng)平均過(guò)程都是平穩(wěn)的,但對(duì)于無(wú)限階移動(dòng)平均過(guò)程還須另加約束條件才能保證其平穩(wěn)性。這條件就是 x t的方差必須為有限值,即cdZ 62 i z0MA(q)過(guò)程中最常見(jiàn)的是一階移動(dòng)平均過(guò)程,xt = (1+ 門(mén) L) ut(2.14)其具有可逆性的條件是(1 +二化)=0的根(絕對(duì)值)應(yīng)大于 1,即卩|1/力| 1,或|知 1。 當(dāng)|如 1時(shí),MA(1)過(guò)程(2.14)應(yīng)變換為ut = (1+ 日 1L) xt = (1 - 6 1L + 6 1 L - 6 1 L + )xt(2.15)這是一個(gè)無(wú)限階的以幾何衰減特征為權(quán)數(shù)的自回歸過(guò)程。MA(1)過(guò)程分析。3圖 2.3MA

27、(1)過(guò)程(file : 5gener1, x5)E(x t) = E(ut) + E( J 1 ut - 1) = 02 2Var(xt) = Var(ut) + Var( v 1 ut -1) = (1+ x ) ;:u自回歸與移動(dòng)平均過(guò)程的關(guān)系 一個(gè)平穩(wěn)的AR( p)過(guò)程(1 - 1L - 2L2 -pLp ) xt = ut可以轉(zhuǎn)換為一個(gè)無(wú)限階的移動(dòng)平均過(guò)程,xt = (1 - 1L - 2L2 -pLp)-1 u t =L)-1 ut 一個(gè)可逆的MA(q)過(guò)程xt = (1 + -1L + -2 L2 + +1 q Lq ) ut = 4 L) ut可轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階的自回歸過(guò)程,亠

28、r 2r 4 j-1(1 + fL + 712 L + + q Lq) xt = 0 L) xt= ut 對(duì)于AR(p)過(guò)程只需考慮平穩(wěn)性問(wèn)題,條件是 門(mén)L)= 0的根(絕對(duì)值)必須大于 1。 不必考慮可逆性問(wèn)題。 對(duì)于MA(q)過(guò)程,只需考慮可逆性問(wèn)題, 條件是O L) = 0的根(絕對(duì)值)必須大于1, 不必考慮平穩(wěn)性問(wèn)題。(3) 自回歸移動(dòng)平均過(guò)程由自回歸和移動(dòng)平均兩局部共同構(gòu)成的隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)為自回歸移動(dòng)平均過(guò)程,記為ARMA( p, q),其中p, q分別表示自回歸和移動(dòng)平均局部的最大階數(shù)。ARMA( p, q)的一般表達(dá)式是Xt =如Xt-1 + 2Xt-2 + p Xt-p + Ut

29、+8 1Ut-1 + 02 Ut-2 + .+ 8q Ut-q(2.16)即(1 - $ 1L - % L2 -%LP ) Xt = (1 + 日 1 L + 02 L2+ 出 q Lq ) ut或:(L) Xt = 0 (L) ut(2.17)其中:(L)和(j(L)分別表示L的p, q階特征多項(xiàng)式。ARMA( p, q)過(guò)程的平穩(wěn)性只依賴(lài)于其自回歸局部,即G (L) = 0的全部根取值在單位圓之外(絕對(duì)值大于1)。其可逆性那么只依賴(lài)于移動(dòng)平均局部,即0(L) = 0的根取值應(yīng)在單位圓之外。圖 2.4ARMA(1,1) 過(guò)程(file : 5gener1, x7)圖 2.5 ARIMA(1,

30、1,1)過(guò)程實(shí)際中最常用的是 ARMA(1, 1)過(guò)程。xt - 1Xt-1 = ut+r 1 ut - 1(2.18)或(1 - 1 L) Xt = (1 + -1 L) ut很明顯只有當(dāng)-1 *1 1和 - 01 1時(shí),上述模型才是平穩(wěn)的,可逆的。(4) 單整自回歸移動(dòng)平均過(guò)程以上介紹了三種平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。對(duì)于 ARMA過(guò)程(包括 AR過(guò)程),如果特征方程 :j(L) = 0的全部根取值在單位圓之外, 那么該過(guò)程是平穩(wěn)的;如果假設(shè)干個(gè)或全部根取值在單位 圓之內(nèi),那么該過(guò)程是強(qiáng)非平穩(wěn)的。例如,Xt = 1.3 Xt-1 + ut(特征方程的根=1/ 1.3 = 0.77 )上式兩側(cè)同減Xt-

31、1得St = 0.3 Xt-1 + ut仍然非平穩(wěn)。除此之外還有第三種情形,即特征方程的假設(shè)干根取值恰好在單位圓上。這種根稱(chēng)為單位根,這種過(guò)程也是非平穩(wěn)的。下面介紹這種重要的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。假設(shè)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程含有 d個(gè)單位根,其經(jīng)過(guò)d次差分之后可以變換為一個(gè)平穩(wěn)的自回歸 移動(dòng)平均過(guò)程。那么該隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)為單整自回歸移動(dòng)平均過(guò)程。伯克斯一詹金斯積數(shù)十年理論與實(shí)踐的研究指出,時(shí)間序列的非平穩(wěn)性是多種多樣的, 然而幸運(yùn)的是經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列常常具有這種特殊的線性齊次非平穩(wěn)特性(即參數(shù)是線性的,Xt及其滯后項(xiàng)都是一次幕的)。對(duì)于一個(gè)非季節(jié)性經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列常??梢杂煤幸粋€(gè)或多個(gè)單 位根的隨機(jī)過(guò)程模型描述??紤]如下

32、模型:(L). d yt = O (L) ut(2.19)其中:.:(L)是一個(gè)平穩(wěn)的自回歸算子。即G(z) = 0的根都大于1。0(L)表示可逆的移動(dòng)平均算子。假設(shè)取Xt =也d yt(2.20)那么(2.19)可表示為G(L) xt = 0 (L) ut(2.21)說(shuō)明yt經(jīng)過(guò)d次差分之后,可用一個(gè)平穩(wěn)的、可逆的 ARMA過(guò)程人表示。隨機(jī)過(guò)程yt經(jīng)過(guò)d次差分之后可變換為一個(gè)以 G (L)為p階自回歸算子(L)為q階移 動(dòng)平均算子的平穩(wěn)、可逆的隨機(jī)過(guò)程,那么稱(chēng)yt為(p, d, q)階單整(單積)自回歸移動(dòng)平均過(guò)程,記為ARIMA ( p, d, q)。這種取名的目的是與以后各章中的稱(chēng)謂相一

33、致。ARIMA過(guò)程也稱(chēng)為綜合自回歸移動(dòng)平均過(guò)程。其中門(mén)(L) .:d稱(chēng)為廣義自回歸算子。(2.19)是隨機(jī)過(guò)程的一般表達(dá)式。當(dāng) pH 0, d = 0, q豐0時(shí),(2.19)變成ARMA ( p, q) 過(guò)程,d = 0, p = 0, q - 0 時(shí),ARIMA 過(guò)程變成 AM( q)過(guò)程;而當(dāng) p = d = q = 0 時(shí),ARIMA 過(guò)程變成白噪聲過(guò)程。做展yt = xt的逆運(yùn)算yt= S dxt(2.22)其中S是無(wú)限累加(積分)算子。當(dāng) d = 1時(shí),S xt定義如下t 2-1-1S xt =Zxi= (1 + L + L +)xt= (1 -L)xt=xt = yt.(2.23

34、)i -那么S = (1 -L)-1 = J(2.24)單整(單積)與差分互為逆運(yùn)算。例5 :以yt =yt-1+xt,y0 =0為例,xt中元素的逐步疊加,得到的是yt序列。而yt的差分運(yùn)算得到的是冷序列。y1 = X1y2 = x2 + X1y3 = x3 +x2 + X1yt-1 = Xt-1 + + X3 +X2 + X1yt = Xt + Xt-1 + + X3 +X2 + X1可見(jiàn)S是厶的逆運(yùn)算。(2.23)說(shuō)明隨機(jī)過(guò)程Xt經(jīng)過(guò)逐步疊加之后可以得到y(tǒng)t。每次疊加類(lèi)似于連續(xù)函數(shù)的一次積分,這就是為什么稱(chēng)AR1MA過(guò)程為單整自回歸移動(dòng)平均過(guò)程。單整在這里就是積分的意思。現(xiàn)在容易理解,隨

35、機(jī)游走過(guò)程(2.3)就是由白噪聲過(guò)程累加一次而得到的。給出假設(shè)干具體的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程如下:1. ARIMA (0, 1, 1)過(guò)程擷=ut + B i ut - = (1 + 0 iL)ut其中 p = 0, d = 1 , q = 1, G (L) = 1 , U (L) = 1+r 1 L。2. ARIMA(1, 1, 0)過(guò)程Lyt - 1=yt -1 = u t其中 p = 1 , d = 1 , q = 0,門(mén)(L) = 1 - 1 L, P (L) = 1。3. ARIMA(1,1,1)過(guò)程-:yt - r :yt -1 = ut + th ut -1或(1 - 1 L):yt -

36、1= (1 + RL) ut其中 p = 1, d = 1, q = 1, G (L) = 1 - 1 L, 4 (L) = 1+ r 1 L。對(duì)于非季節(jié)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列p, d, q的取值很少有大于 2的情景。這些參數(shù)的常見(jiàn)取值是0、1和2。(5) Wold分解定理:任何協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程 人,都可以被表示為0xt - - dt = ut+ -;1 ut-1 + -;2 ut-2 + + = 二j Ut _jj=0其中表示Xt的期望。dt表示xt的線性確定性成分,如周期性成分、時(shí)間t的多項(xiàng)式和指數(shù)形式等,可以直接用 Xt的滯后值預(yù)測(cè)。-0= 1 , 7 ;2 8。ut為白噪聲過(guò)程。ut表示 j出用X

37、t的滯后項(xiàng)預(yù)測(cè)Xt時(shí)的誤差。ut = Xt - E(xt Xt-1, Xt-2 ,)送 鳥(niǎo)屮jut斗稱(chēng)為Xt的線性非確定性成分。當(dāng)dt = 0時(shí),稱(chēng)xt為純線性非確定性過(guò)程。Wold分解定理由 Wold在1938年提出。Wold分解定理只要求過(guò)程 2階平穩(wěn)即可。從原 理上講,要得到過(guò)程的 Wold分解,就必須知道無(wú)限個(gè)-j參數(shù),這對(duì)于一個(gè)有限樣本來(lái)說(shuō)是 不可能的。實(shí)際中可以對(duì)-j做另一種假定,即可以把養(yǎng)(L)看作是2個(gè)有限特征多項(xiàng)式的比,00. Q(L) 1+dL+T2L2+ +6q Lq?(L)八Lj=j(L)=12q -j(L) 1+%L+%L2+pLp注意,無(wú)論原序列中含有何種確定性成分,在前面介紹的模型種類(lèi)和后面介紹的自相關(guān)函數(shù)、偏自相關(guān)函數(shù)中都假設(shè)在原序列中已經(jīng)剔除了所有確定性成分,是一個(gè)純的隨機(jī)過(guò)程(過(guò)程中不含有任何確定性成分)。如果一個(gè)序列如上式

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