微積分在物理競賽中的應(yīng)用

1、1/172/173/174/175/176/17求解在立體斜面上滑動的物體的速度一物體放在斜面上，物體與斜面間的摩擦因數(shù)恰好滿足tg，為斜面的傾角。今使物體獲得一水平速度V0 而滑動，如圖一，求：物體在軌道上任意一點(diǎn)的速度V與的關(guān)系，設(shè)為速度與水平線的夾角。解：物體在某一位置所受的力有：重力 G ，彈力 N 以及摩擦力f 。摩擦力f 總是與運(yùn)動速度V 的方向相反，其數(shù)值fNmg costg mg cosmg sin重力在斜面上的分力為G1 ，如圖二， 將 G1分解為兩個分力： G1 是 G1 沿軌跡切線方向的分7/17力，G1G1 s i n mg s i ns i n ； G1是沿軌跡法向的

2、分力，G1 G1 cosmg sincos ，如圖三。根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，得運(yùn)動方程為G1 fma（ 1）G1 man（ 2）由（ 1），a1(mg sin sin mg sin ) g sin (sin 1)m而a dV , 得到 dtdV g sin (sin 1)dt ,（ 3）式中是 t 的函數(shù)，但是這個函數(shù)是個未知函數(shù)，因此還不能對上式積分，要設(shè)法在與 t 中消去一個變量，才能積分，注意到dS1 ds（ 4）dtdVV d而 ds 表示曲線在該點(diǎn)的曲率半徑，根據(jù)（ 2）式，dmg sin cosm V 2（ 5）由式（ 3）（ 4）（5），可得到dV(tgsec ) d ,VV dVV

3、0 V(tgsec )d，0積分，得到ln Vln cosln(sectg )ln(1 sin ) ，V0VV0.1sin8/17運(yùn)用積分法求解鏈條的速度及其時間一條勻質(zhì)的金屬鏈條，質(zhì)量為m，掛在一個光滑的釘子上，一邊長度為L1 ，另一邊長度為 L2,而且 0 L2L1 ，如圖一。試求：鏈條從靜止開始滑離釘子時的速度和所需要的時間。m解：設(shè)金屬鏈條的線密度為. 當(dāng)一邊長度為L1L2L1x ，另一邊長度為L2x 時受力如圖二所示，則根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，得出運(yùn)動方程(L1x) g T(L1x) a,T (L2x) g (L2x) a.則 a( L1L2 )2x g.L1L2因?yàn)?adVdV dxVd

4、Vdtdxdt，所以dxVdV(L1 L2 )2xdxL1L2g,Vx ( L1 L2 ) 2xVdV0gdx0L1L2V2g( L1L2 ) x x2 .L1L2令 xL2 , 可以求得鏈條滑離釘子時的速度大小V2L1L2 gL1L2再由 Vdx , 得到dtdxL12g(L1L2 ) x x 2dtL29/17xdxt2gdt ,0 （L1L2） x x 20L1 L2積分，得到ln 2x(L1L2 )2 (L1L2 )xx 2 0x2gt ,L1L22x (L1L2) 2 (L1L2 )x x 22glnL1L2t,L1 L2令 x= L2 ,可以求得鏈條滑離釘子所需的時間為L1L2L1

5、L22 L1L2L1L2lnL1L2.t2glnL1L22 gL1L2求解棒下落過程中的最大速度在密度為 1 的液體上方有一懸掛的長為L,密度為2 的均勻直棒，棒的下端剛與液面接觸。今剪斷細(xì)繩，棒在重力和浮力的作用下下沉，若12，求：棒下落過程中的最大速度。解：剪斷細(xì)繩后， 直棒在下沉過程中受到重力G 和浮力 F 的作用，如圖一所示。根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，有mgFm dV .（ 1）dt隨著棒往下沉，浮力逐漸增大。當(dāng)直棒所受合力為零，即 Fmg 時，棒的加速度為零，速度最大。設(shè)棒達(dá)到最大速度時，棒浸入液體中的長度為L1 ，設(shè)棒的截面積為 S，則有1SL1 g2 SLg,解得，10/17L12L.（

6、 2）1取 x 坐標(biāo)如圖所示，則（1）式可以寫為2 SLg1 Sxg2 SL dV .dt做變量代換，令 dVdV dxV dV , 代入上式，得到dtdx dtdxx1(1)gdxVdV ;兩邊積分，得到L1x1)gdxV1(1VdV0L20得到， gL11g ( 1 L12 )1 V122L22將（ 2）式代入（ 3）式，得棒的最大速度為 V12Lg .1運(yùn)用微分法求解阻尼平拋質(zhì)量為 m 的物體，以初速為V0 ，方向與地面成0 角拋出。如果空氣的阻力不能忽略，并設(shè)阻力與速度成正比，即 fkV ， k 為大于零的常數(shù)。求：物體的運(yùn)動軌道。解：根據(jù)受力情況，列出牛頓運(yùn)動定律方程mgfma其分量

7、式，f xkVx max ,（ 1）mgkVymay（ 2）將 axdVx 代入式（ 1），得dtkVxm dV x,dt11/17dVxkdt ,Vx dVxt改寫成VxmV 0 x Vx0兩邊積分，得到kkttVx V0 xe mV0 cose m .k dt ,m可見由于空氣阻力的存在，x方向的速度不再是常數(shù)，而隨時間逐漸衰減。由于dxVxdt, 再積分，并以t=0 時 x=0,代入得到xV0 x m (1k t)V0 cosk te m0 (1 e m ).（3）kk同理，由于 aydV y, 式（ 2）轉(zhuǎn)化為dtdVykV yk(mgdV ykdtgmVy ),dt .mkmgmVy

8、k積分，并以 t=0 時， VyV0 yV0 sin 0 代入，得到k tVy(V0 sin 0mg )e mkmg .k可見， y 方向的速度也不再是勻減速的。再將上式對時間積分，并以t=0 時 y=0 代入，得到m (V0 sin 0mg )(1kmg t.tye m )（4）kkk由（ 3）（ 4）兩式消去 t,得到有阻力時的軌道方程mgm2 gkm2 gky(tg 0kV0 cos 0)xk 2ln(1mV0 cos 0) xk 2 ln(1mV0 cosx).12/17顯然由于空氣阻力的作用，拋體的軌道不再是簡單的拋物線了，實(shí)際軌道將比理想軌道向左下方偏離，如圖一。例如：以初速620

9、m/s, 仰角 45 0 發(fā)射的步槍子彈的射程，沒有空氣阻力時應(yīng)為40km, 而實(shí)際射程只有4km.求解飛機(jī)的滑行距離飛機(jī)以 V0 的水平速度觸地滑行著陸。滑行期間受到空氣的阻力為C xV 2 ，升力為 C yV 2 ，其中 V 是飛機(jī)的滑行速度。設(shè)飛機(jī)與跑道間的摩擦系數(shù)為，試求：飛機(jī)從觸地到停止所滑行的距離。解：取飛機(jī)觸地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取飛機(jī)滑行方向?yàn)?x 軸。飛機(jī)在水平方向上受力為：摩擦力fN，空氣阻力為fC V 2 ；在豎直方向x上受力為：重力、支持力2和 升 力 FC yV , 如 圖一所示，應(yīng)用牛頓第二定律，得到NC xV 2m dVdtNC yV 2mg0.由上兩式消去N，得到13

10、/17dVmdt利用 dVdt得到 mVmg(C xCy )V 2 .dV dxV dV ,dx dtdxdVmg(CxC y )V 2 .dx分離變量，積分VmVdVxV0mg (CxC y )V 2dx ，0mmg(C得到 xln(C2(C xC y )mgxC y )V 2.xC y )V02在飛機(jī)觸地的瞬間，VV0 , 支持力 N=0, 由運(yùn)動方程，得到C yV02mg.于是 xC yV02C yV02(C xC y )V 22g(C ylnC xV02.C y )這就是飛機(jī)從觸地到停止所滑行的距離。社Cy5 （升阻比），km h0.10V0。代入數(shù)值計(jì)算后，得到90 /,Cxx=22

11、1m.求解阻尼自由落體和阻尼豎直上拋的相遇問題兩小球的質(zhì)量均為m，小球 1 從離地面高度為h 處由靜止下落，小球2 在小球 1 的正下方地面上以初速V0 同時豎直上拋。 設(shè)空氣阻力與小球的運(yùn)動速率成正比，比例系數(shù)為k(常量 )。試求：兩小球相遇的時間、地點(diǎn)以及相遇時兩小球的速度。解：兩小球均受重力和阻力作用，取坐標(biāo)如圖一所示，兩小球的運(yùn)動方程可統(tǒng)一表示為d 2 ym dt 2kVmg,它們運(yùn)動狀態(tài)的差別僅由于初始條件的不同而引起的，故dVk V g,dtm分離變量14/17dVkdt.Vgm對于小球1，初始條件為t0 時， V100, y10h, 故V10dVtk V gdt ,0mV1mgk

12、).(1)(1 e mtk對于小球2，初始條件是t=0 時， V20V0 , y20 0, 故V1dVtkdt ,V0g0mmgk t得到 V2（ V0） e mk由（ 1）式，得到mg.（2）dy1mgk te m ),dt(1kmgktdy1(1 e m) dtky1tdy1h0積分，得到kmg (1e m t )dtky1 hm2k)mg t .2g(1 e mtkk由式（ 2）得到dy2(V0mgdt)ekdy2 (V0mg) ekk tmktmmg,kmg dt15/17dy 2(V0kmg )e my2tt00k積分，得到mgdtm (V0k ty2mg )e mkkmgkt兩小球

13、相遇時，y1y2 , 相遇時間為 t * ，由（ 3（ 4）兩式，得到k*thm V0 (1 e mkkt *kh ,) ， e m1mV0故 t *m ln(1kh ),kmV0把上述結(jié)果代入（3）或者（ 4），得到兩小球相遇的地點(diǎn)y*(1mg )hm2 g ln(1kh ).kV0k 2mV0代入（ 1）（ 2），得到兩小球相遇時的速度V1*mg 1 (1kh )gh ;kmV0V0V2*(V0mg )(1kh)mg(V0gh )kh .kmV0kV0m討論：（1）當(dāng)阻力很小時，即當(dāng)k0 時，利用展開式ln(1x)xx 2,2上述結(jié)果簡化為t *h ; y*hgh2 ;V1*gh ,V2*V0gh .V02V0V0V0這正是不考慮空氣阻力時的結(jié)果。（ 2）當(dāng)考慮如提設(shè)的空氣阻力時，由上述結(jié)果可知，只在下述條件下mV0 kh, 或者 V0kh,m兩小球才有可能相遇。在非慣性系中求解球環(huán)系統(tǒng)的運(yùn)動情況一輕繩的兩端分別連接小球 A 和小環(huán) B，球與環(huán)的質(zhì)量相等，小環(huán) B 可在拉緊的鋼絲上作無摩擦的滑動，如圖一。現(xiàn)使小球在圖示的平面內(nèi)擺動。求：16/17小球擺離鉛垂線的最大角度時小環(huán)和小球的加速度。解：當(dāng)小球擺動時，小環(huán)沿鋼絲做加速運(yùn)動。以小環(huán)B 為參考系，則小球受重力和繩子拉力外，還受慣性力F慣maB 的作用， 如圖二。其加速度