應力狀態(tài)和強度理論

1、第八章應力狀態(tài)和強度理論授課學時： 8 學時主要內(nèi)容：斜截面上的應力；二向應力狀態(tài)的解析分析和應力圓。三向應力簡介。$8.1 應力狀態(tài)概述單向拉伸時斜截面上的應力1應力狀態(tài)過構件上一點有無數(shù)的截面，這一點的各個截面上應力情況的集合，稱為這點的應力狀態(tài)2單向拉伸時斜截面上的應力n橫截面上的正應力kNPAPAk斜截面上的應力kkaPpapapaPPcosPkkAaAacos斜截面上的正應力和切應力為apa coscos2apasinsin 22可以得出0 時max時4m a x2過 A 點取一個單元體，如果單元體的某個面上只有正應力，而無剪應力，則此平面稱為主平面。主平面上的正應力稱為主應力。主單

2、元體若單元體三個相互垂直的面皆為主平面，則這樣的單元體稱為主單元體。三個主應力中有一個不為零，稱為單向應力狀態(tài)。 三個主應力中有兩個不為零， 稱為二向應力狀態(tài)。 三個主應力中都不為零，稱為三向應力狀態(tài)。 主單元體三個主平面上的主應力按代數(shù)值的大小排列，即為123 。1$8.2 二向應力狀態(tài)下斜截面上的應力1 任意斜截面上的應力在基本單元體上取任一截面位置，截面的法線n 。在外法線 n 和切線 t 上列平衡方程yyxnxxya dA( xy dA c o s ) si n(x dAc o s ) c o st( yxdAsin) cos(y dAsin ) sin0a dA( xy dA cos

3、 ) cos(x dA cos ) sin( ydA sin ) cos ( yx dAsin ) sin0xynxyxy根據(jù)剪應力互等定理，xyyx ，并考慮到下列三角關系cos21cos2, sin 21sin 2，222sincossin 2簡化兩個平衡方程，得x2yxycos 2xy sin 22xyxy cos22sin 22極值應力將正應力公式對取導數(shù)，得d2xysin 2xy cos2d2若0 時，能使導數(shù)d0 ，則dxysin 22tg 20xy cos2 002xy0xy上式有兩個解：即0 和090 。在它們所確定的兩個互相垂直的平面上，正應力取2得極值。 且絕對值小的角度所

4、對應平面為最大正應力所在的平面，另一個是最小正應力所在的平面。求得最大或最小正應力為maxxyxy222()xymin20 代入剪力公式，0 為零。這就是說，正應力為最大或最小所在的平面，就是主平面。所以，主應力就是最大或最小的正應力。將切應力公式對求導，令 d( xy ) cos22xy sin 20d若d0 ，則在1 所確定的截面上，剪應力取得極值。通過求1 時，能使導數(shù)d導可得( xy ) cos212 xy sin 210tg2 1求得剪應力的最大值和最小值是：xy2xymax(xy22)xymin2與正應力的極值和所在兩個平面方位的對應關系相似，剪應力的極值與所在兩個平面方位的對應關

5、系是：若xy0 ，則絕對值較小的1 對應最大剪應力所在的平面。3主應力所在的平面與剪應力極值所在的平面之間的關系與 1 之間的關系為tg 210tg 2121 20,1024這表明最大和最小剪應力所在的平面與主平面的夾角為45 。3$8.3 二向應力狀態(tài)的應力圓1應力圓方程xyxycos2xy sin 222將公式xysin 2xy cos 2222xy2xy22由上式確定的以和為變量的圓，這個圓稱作應力圓。12xy ，縱坐標為零，圓的半徑為xyxy2 。222應力圓的畫法建立應力坐標系（注意選好比例尺）在坐標系內(nèi)畫出點 D x , xy 和 D 'y ,yxDD ' 與軸的交

6、點C 便是圓心以 C 為圓心，以AD 為半徑畫圓 應力圓。3單元體與應力圓的對應關系1）圓上一點坐標等于微體一個截面應力值2）圓上兩點所夾圓心角等于兩截面法線夾角的兩倍3）對應夾角轉向相同4在應力圓上標出極值應力2maxxyxy222xymin2maxRmaxminxy222xymin$8.4 三向應力狀態(tài)1三個主應力1232.三向應力圓的畫法由1,2 作應力圓，決定了平行于3 平面上的應力由3,1 作應力圓，決定了平行于2 平面上的應力中的削掉，得2xy圓心的橫坐標為OC214由2 ,3 作應力圓，決定了平行于1 平面上的應力3單元體正應力的極值為max1 ，min3最大的剪應力極值為13max2$8.5 復雜應力狀態(tài)的廣義虎克定律1單拉下的應力應變關系，'xEE2復雜狀態(tài)下的應力應變關系三向應力狀態(tài)等三個主應力， 可看作是三組單向應力的組合。 對于應變， 可求出單向應力引起的應變，然后疊加可得121EE1(11E1(22E1(33E3 1123zyEE23 )xyx31 )zx12 )y23體積胡克定律單元體變形后的體積為V dx dy dz1單元體變形后的體積