東南大學(xué)工程矩陣試卷

1、*（12%）在中，已知， 分別求，及的基.*（8%）設(shè)為線性空間上的線性變換，且. 試證：；*（16%）在上已知線性變換， 求在基下的矩陣；并求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.* 已知的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式都是，分別求及的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.*（8%）設(shè)為歐氏空間（未必是有限維的）上兩正交的單位向量，作線性變換：， 求使為正交變換的實(shí)數(shù)與之一切值. *（8%）已知階方陣滿足，且的秩是，求.*（10%）設(shè)為方陣，作，設(shè)是參數(shù).試證：； 已知，求.*（10%）設(shè)為矩陣，為矩陣，作.求（用表示）；試證：.*（10%）試證：若為階正規(guī)矩陣，則*（18%）證明下列命題：若方陣的特征值全為零，則必存在正整數(shù)，使.

2、設(shè)是階正定矩陣，是維非零列向量. 若當(dāng)時，總有 ，則必線性無關(guān).若階方陣與滿足：. ； . ； . 則（證明時請注明每一步的理由）.*（16%）已知矩陣，的子集，證明：是的子空間；求的一組基及的維數(shù)；證明：，并求在上小題所得基下的坐標(biāo)。*（20%）已知的子空間， 分別求，的一組基及它們的維數(shù)。*（12%）已知矩陣，求。 *（16%）設(shè)上的線性變換定義為：， 求在的基下的矩陣；求的值域及核子空間的基及它們的維數(shù)。*（12%）已知矩陣的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式相等，均等于，矩陣。分別求和的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；問：與是否相似？為什么？*（10%）已知矩陣，證明：的譜半徑。*（16%）已知矩陣。求矩陣函

3、數(shù)；求的廣義逆矩陣。*（12%）設(shè)是維歐氏空間，是單位向量，是一參數(shù)，上的線性變換 定義為：， 問：當(dāng)取何值時，是正交變換？*（6%）證明：對任意方陣，（這里，表示矩陣的行列式，表示矩陣的跡）。*（20%）設(shè)上的線性變換定義為：， 其中，表示矩陣的跡。求在的基下的矩陣；求的值域及核子空間的基及它們的維數(shù)；問：+是否為直和？為什么？*（18%）已知矩陣的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式相等，均等于，矩陣。分別求和的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；問：與是否相似？為什么？*（12%）已知矩陣，求的廣義逆矩陣。*（12%）已知矩陣，求矩陣函數(shù)。*（6%）證明：對任意方陣，（這里，表示矩陣的行列式，表示矩陣的跡）。假設(shè)是正

4、規(guī)矩陣。若的特征值全是實(shí)數(shù)，證明：是Hermite矩陣。*（20%）已知矩陣，的子集證明：是的子空間；求的一組基及的維數(shù)；證明，并求在上小題所得基下的坐標(biāo)；*（12%）已知階方陣滿足，且的秩為，求；證明：若方陣的特征值全為零，則必存在正整數(shù)，使。*（12%）已知矩陣的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式相等，均等于，矩陣。分別給出和的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；問：與是否相似？為什么？*（18%）已知矩陣。求矩陣函數(shù)；求的廣義逆矩陣。*（20%）已知矩陣，的子集V證明：是的子空間； 求的一組基及的維數(shù)；證明，并求在所得基下的坐標(biāo)； 問：是否屬于？為什么？*（12%）已知矩陣的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式相等，均等于，矩陣

5、。分別寫出和的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形； 問：與是否相似？為什么？ *（12%）已知階方陣滿足，且的秩為，求；證明：若方陣的特征值全為零，則必存在正整數(shù)，使。 *（18%）已知矩陣。求矩陣函數(shù)；求的廣義逆矩陣。*（10%）設(shè)是維歐氏空間，是單位向量，是參數(shù)，上的線性變換 定義為：， 問：當(dāng)取何值時，是正交變換？*（10%）（任選兩題）設(shè)是相容矩陣范數(shù)。證明：對任意方陣，的譜半徑；對任意方陣，問：與的特征值之間有什么關(guān)系；證明：對任意方陣，（這里，表示矩陣的行列式，表示矩陣的跡）；假設(shè)是正規(guī)矩陣。若的特征值全是實(shí)數(shù)，證明：是Hermite矩陣。*（20%）已知矩陣，的子集證明：是的子空間；求的一組基及

6、的維數(shù)；證明，并求在上小題所得基下的坐標(biāo)；*（12%）已知階方陣滿足，且的秩為，求；證明：若方陣的特征值全為零，則必存在正整數(shù)，使。*（12%）已知矩陣的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式相等，均等于，矩陣。分別給出和的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；問：與是否相似？為什么？*（18%）已知矩陣。求矩陣函數(shù)；*（10%）設(shè)是維歐氏空間，是單位向量，是參數(shù)，上的線性變換 定義為：， 問：當(dāng)取何值時，是正交變換？*（10%）（任選兩題）設(shè)是相容矩陣范數(shù)。證明：對任意方陣，的譜半徑；證明：對任意方陣，（這里，表示矩陣的行列式，表示矩陣的跡）；假設(shè)是正規(guī)矩陣。若的特征值全是實(shí)數(shù)，證明：是Hermite矩陣。*（20%）已知的

7、子空間， 分別求，的一組基及它們的維數(shù)。*（20%）設(shè)上的線性變換定義為：， 求在的基下的矩陣；求的值域及核子空間的基及它們的維數(shù)；問：+是否為直和？為什么？*（18%）已知矩陣的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式相等，均等于，矩陣。分別求和的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；問：與是否相似？為什么？*（12%）已知矩陣，求的廣義逆矩陣。*（12%）已知矩陣，求矩陣函數(shù)。*（6%）證明：對任意方陣，（這里，表示矩陣的行列式，表示矩陣的跡）。*假設(shè)矩陣。上的變換定義為。證明是上的線性變換；求在的基下的矩陣；求的值域及核子空間的基和它們的維數(shù)。*設(shè)是酉空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，是上的線性變換，且， ， 問：是否為上的酉變換？為

8、什么？是否存在的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，使得的矩陣是對角陣？為什么？*求矩陣的廣義逆矩陣。*設(shè)，求矩陣函數(shù)及的特征多項(xiàng)式。*已知矩陣。試寫出矩陣的特征多項(xiàng)式，最小多項(xiàng)式，及矩陣的秩；如果矩陣與有相同的特征多項(xiàng)式，有相同最小多項(xiàng)式，并且與的秩也相同，問：與是否一定相似？說明你的理由。*已知線性空間上的線性變換滿足。記， 證明：。*設(shè)。記。證明：是的子空間；若，求這時第一小題中的一組基；*設(shè)和如第二小題，。試判斷是否屬于，并說明你的理由。如在中，試求其在第二小題所得的基下的坐標(biāo)。*設(shè)的子空間，則的一組基為 ；*線性變換在基下矩陣為，則在基下的矩陣為 ；* 從到的線性映射定義為：，則值域的一組基為 ，核空間

9、的一組基為 ；* 作為酉空間的子空間，齊次線性方程組的解空間的正交補(bǔ)空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為 ；*已知，作，則= ，= ；* 設(shè)，則。*（8%）設(shè)滿足且，求。*（10%）已知的子空間，其中，。分別求，的基。*（10%）已知上的線性變換，。求在基下的矩陣；求的特征值及相應(yīng)的特征子空間的基。*（8%）已知矩陣的最小多項(xiàng)式為，為復(fù)數(shù)。試將表示成的次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式。*（10%）設(shè)，且。試證：，且是偶數(shù)；求的矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。*（9%）設(shè)，求；設(shè)，。求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。* 證明下列命題：若內(nèi)積空間中向量與的長度相等，且與正交，則是零向量；若是正規(guī)矩陣，則是酉矩陣的充要條件是的特征值的模全為

10、1；若階Hermite矩陣為正定陣，又是階方陣且也是正定陣，則的譜半徑。*（15%）設(shè)。記。證明：是的子空間；若，求這時第一小題中的一組基；設(shè)和如第二小題，試判斷是否在中,并說明你的理由。如在中，試求其在第二小題所得的基下的坐標(biāo)。*（8%）設(shè)矩陣的Frobenius范數(shù)和算子2-范數(shù)分別為 ，矩陣。試求的Frobenius范數(shù)及其算子2-范數(shù)。*（18%）設(shè)矩陣定義上的變換為：對任意，。證明：是上的線性變換；求在的基下的矩陣；求的核子空間及值域的各一組基；問：+是否為直和？為什么？*（15%）已知矩陣。試寫出矩陣的特征多項(xiàng)式，最小多項(xiàng)式，及矩陣的秩；如果矩陣與有相同的特征多項(xiàng)式，有相同最小多項(xiàng)

11、式，并且與的秩也相同，問：與是否一定相似？說明你的理由。*（12%）設(shè)矩陣。試求的廣義逆矩陣。*（12%）設(shè)矩陣。試求。* (8%)設(shè)二階方陣，證明矩陣的行列式與無關(guān)。*（15%）已知矩陣，的子集證明：是的子空間； 求的一組基及的維數(shù)；證明，并求在上小題所得基下的坐標(biāo)； 找出的一組基，使得每個基向量均不屬于。* (15%)已知矩陣。判斷下列矩陣是否與相似，并說明你的理由：*（20%）設(shè)矩陣上的變換定義如下：， 其中。求在的基下的矩陣；求的值域及核子空間的基及它們的維數(shù)；試求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出的最小多項(xiàng)式；問：能否找到的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？* (14%)求下列矩陣的廣義逆矩

12、陣：；，其中分別是s維和n維行向量。* (16%)設(shè)，求矩陣函數(shù)，并給出的特征多項(xiàng)式。* (10%)設(shè)的子空間，其中，求使得。*（10%）（在下述三題中任選兩題）證明：若正定矩陣滿足，則。設(shè)Hermite矩陣均是正定的，。證明：是正定矩陣。假設(shè)是n階方陣，n>1，且。證明：與肯定不相似。*（15%）已知矩陣，的子集證明：是的子空間； 求的一組基及的維數(shù)；證明，并求在上小題所得基下的坐標(biāo)； 試給出的兩個不同的子空間及，使得。* (15%)已知矩陣。判斷下列矩陣是否與相似，并說明你的理由：*（20%）設(shè)矩陣,上的變換定義如下：， 證明：是線性變換；求在的基下的矩陣；求的值域及核子空間的基及它

13、們的維數(shù)；試求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出的最小多項(xiàng)式；問：能否找到的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？* (14%)求下列矩陣的廣義逆矩陣：；，其中。*（10%）證明：若酉矩陣滿足，則。設(shè)Hermite矩陣均是正定的，證明：的特征值均為正實(shí)數(shù)。*(16%)設(shè)，求矩陣函數(shù)，并給出的特征多項(xiàng)式。* (10%)設(shè)的子空間，求使得。*（20%）已知，的子集，的子空間證明：是的子空間；分別求，基及它們的維數(shù)；分別求，的基及它們的維數(shù)；問：是直和嗎？為什么？*填空. （每題2分）。設(shè)A=(aij) s×n 為常量矩陣, X=(xij) n×s , 則(trXA)= _設(shè)n階Hermit

14、e 陣A的特征值為12 n , 用Rayleigh商表示，我們有：k= _設(shè)A=. 則A的蓋爾圓系中的2區(qū)為 ：_設(shè)V1，V2 是線性空間V的兩個有限維子空間，由維數(shù)定理，我們有：dim(V1+V2)= _*（15分）設(shè)A=， 求 A+ .*（10分）設(shè)A=, 求A100 - 4A25.*（15分）設(shè)A= , 求變換矩陣P 使P-1AP=J, 這里J表示Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.求 eAt .*（5分）設(shè) A=(aij)n×nCn×n , 對任意一類相容的矩陣范數(shù) | | ，都有 （A）|A|.* （5分）已知線性變換f與g滿足 f2=f, g2=g . 試證 f與g有相同的核的

15、充分必要條件是fg=f, gf=g.*（8分）設(shè)f Hom（V， V）， dimV=n,且f 2=I, 證明 f 的矩陣必相似于 （0rn）.*（12分）設(shè)AC s×n , 證明： R(A) =K(AH)；K(AH)=K(AAH).*（5分）證明上三角的正規(guī)陣必是對角陣.* (5分) 設(shè)V是一個線性空間,f 是V上的一個線性變換.證明f的值域R(f)和核K(f)都是f的不變子空間.*（20%）已知上的線性變換定義如下：，。求在的基下的矩陣；試求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出的最小多項(xiàng)式；問：能否找到的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？*（15%）已知矩陣。試寫出矩陣的特征多項(xiàng)式，最小多項(xiàng)

16、式，及矩陣的秩；如果矩陣與有相同的特征多項(xiàng)式，有相同最小多項(xiàng)式，并且與的秩也相同，問：與是否一定相似？說明你的理由。*（12%）已知矩陣，求的廣義逆矩陣。*（12%）設(shè)。試將表成的次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式；求的特征多項(xiàng)式。*（12%）設(shè)的子空間，求使得。*（9%）假設(shè)是正規(guī)矩陣，證明：是酉矩陣當(dāng)且僅當(dāng)?shù)奶卣髦档?已知矩陣，的子空間,的子集， 證明：是的子空間；求子空間、的各一組基及它們的維數(shù)；求及的各一組基及它們的維數(shù)；問：是不是直和？為什么？*已知矩陣，的子集證明：是的子空間；求的一組基及的維數(shù)；證明，并求在上小題所得基下的坐標(biāo)；試給出的兩個不同的子空間及，使得。*假設(shè)3維線性空間上的線性變換在

17、的基下的矩陣為。問：當(dāng)滿足什么條件時，存在的一組基，使得的矩陣是？*已知上的線性變換，。證明：是線性變換；求在的基下的矩陣試求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出的最小多項(xiàng)式；問：能否找到的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？*已知矩陣。判斷下列矩陣是否與相似，并說明你的理由：*求矩陣的廣義逆矩陣。*設(shè)。求矩陣函數(shù)；寫出的特征多項(xiàng)式。*已知矩陣與相似，問：數(shù)應(yīng)滿足什么條件？*設(shè)，求。*證明題：假設(shè)是正規(guī)矩陣。證明：若，則；假設(shè)是歐幾里德空間中單位向量，上的線性變換定義如下：對任意，。證明：是上的正交變換。*設(shè)是階正規(guī)矩陣，是的特征值。記是的共軛轉(zhuǎn)置。證明：矩陣及的特征值為。*問：下述命題是否成立？若成立，

18、請給出簡單證明；若不成立，請舉出反例。線性空間的子空間的和是直和的充分必要條件是：對任意的，只含零向量。對任意矩陣，一定相似于對角陣。其中，是的廣義逆矩陣。*已知，的子空間， 。分別求，的基及它們的維數(shù)。*已知上的線性變換，。*設(shè)矩陣,上的變換定義如下：， 證明：是線性變換；求在的基下的矩陣；V求的值域及核子空間的基及它們的維數(shù)；試求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出的最小多項(xiàng)式；問：能否找到的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？*求下列矩陣的廣義逆矩陣：；，其中。*已知矩陣的特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式相等，均為，給出、及可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。*矩陣函數(shù)：設(shè)，求矩陣函數(shù)，并給出的特征多項(xiàng)式。設(shè)。試將表示

19、成關(guān)于的次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式，并求。*設(shè)的子空間，求使得。* 證明：若酉矩陣滿足，則。* 設(shè)Hermite矩陣均是正定的，證明：的特征值均為正實(shí)數(shù)。求在基下的矩陣。求的特征值及相應(yīng)的特征子空間的基。求的最小多項(xiàng)式。問：是否存在的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？*假設(shè)3維線性空間上的線性變換在的基下的矩陣為。問：當(dāng)滿足什么條件時，存在的一組基，使得的矩陣是？*設(shè)。試將表示成關(guān)于的次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式，并求。*求矩陣的廣義逆矩陣。*設(shè)是歐幾里德空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。證明：與的長度相等。求一個正交變換使得。*設(shè)是階正規(guī)矩陣，是的特征值。記是的共軛轉(zhuǎn)置。證明：矩陣及的特征值為。*（20%）假設(shè)的子空間

20、， 分別求的基及其維數(shù)。*（12%）設(shè)矩陣。試將表示成的次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式。*（20%）上的線性變換：，求在的基下的矩陣；求的值域及核子空間的各一組基及它們的維數(shù)；問：是否成立？為什么？*（15%）假設(shè)矩陣，求的廣義逆矩陣。*（15%）設(shè)矩陣，。試求矩陣及的所有可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；若與是相似的，問：參數(shù)應(yīng)滿足什么條件？試說明你的理由。*（10%）假設(shè)的子空間，。在中求向量，使得。*（8%）證明題假設(shè)是正規(guī)矩陣，證明：是酉矩陣當(dāng)且僅當(dāng)?shù)奶卣髦档哪＞鶠?。設(shè)階方陣，滿足，。若與的秩相等，證明：與一定相似。*（20%）假設(shè)。記。證明：是的子空間。若是可逆矩陣，求。若，。求這時和的各一組基及它

21、們的維數(shù)。問：對上一小題中的和，是否為直和？說明你的理由。*假設(shè)，上線性變換： ，。證明：是上的線性變換。求在的基下的矩陣；試求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出的最小多項(xiàng)式；問：能否找到的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？求的值域及核子空間的基及它們的維數(shù)；問：是否有？試說明你的理由。* (10%)設(shè)的子空間，求使得。* (10%)假設(shè)是實(shí)數(shù)，在上定義線性變換如下：對任意，問：滿足什么條件時，是等踞變換（即正交變換）？*（14%）已知矩陣。試求。*（14%）設(shè)。求矩陣的最小多項(xiàng)式、矩陣函數(shù)以及的特征多項(xiàng)式。*12%）已知矩陣的特征多項(xiàng)式為。若的秩，試求的可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及相應(yīng)的最小多項(xiàng)式；如

22、果的最小多項(xiàng)式等于，試求矩陣、及的秩。*（12%）已知矩陣，求的廣義逆矩陣。*（12%）已知矩陣，求的廣義逆矩陣。*（8%）假設(shè)Hermite矩陣是正定的，若是酉矩陣，證明。*假設(shè)。記。證明：是的子空間。若是可逆矩陣，求。若，。求這時和的各一組基及它們的維數(shù)。問：對上一小題中的和，是否為直和？說明你的理由。*（20%）假設(shè)，上變換如下： ，。證明：是上的線性變換。求在的基下的矩陣；求的值域及核子空間的基及它們的維數(shù)；* (10%)假設(shè)是實(shí)數(shù)，在上定義線性變換如下：對任意，問：滿足什么條件時，是等距變換（即正交變換）？*（14%）設(shè)。試求矩陣的最小多項(xiàng)式、矩陣函數(shù)。*（12%）已知矩陣的特征多項(xiàng)

23、式為。若的秩，試求的可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及相應(yīng)的最小多項(xiàng)式；如果的最小多項(xiàng)式等于，試求矩陣、及的秩。*（12%）已知矩陣，求的廣義逆矩陣。* 設(shè)是正規(guī)矩陣。證明：若，則；* 假設(shè)Hermite矩陣是正定的，若是酉矩陣，證明。*（20%）假設(shè)。記。證明：是的子空間。若是單位矩陣，求。若，。求這時的一組基及其維數(shù)。假設(shè)。問：對上一小題中的和，是否為直和？說明你的理由。*（20%）假設(shè)，在上定義變換如下： ， 。證明：是上的線性變換。求在的基下的矩陣；試求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出的最小多項(xiàng)式；問：能否找到的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？* (10%)設(shè)的子空間，求使得。*（14%）已知矩陣

24、。試求。*（12%）已知矩陣的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式都等于，并且矩陣。分別求和的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；問：與是否相似？為什么？*（12%）已知矩陣，求的廣義逆矩陣。*（6%）判斷下列結(jié)論是否成立。若成立，請給予證明；若不成立，請舉出反例：兩個Hermite矩陣的乘積還是Hermite矩陣；兩個酉矩陣的乘積還是酉矩陣。*（6%）假設(shè)是歐幾里德空間中單位向量，上的線性變換定義如下：對任意，。證明：是上的正交變換。*（20%）假設(shè)。記。證明：是的子空間。若是單位矩陣，求。若，。求這時的一組基及其維數(shù)。假設(shè)。問：對上一小題中的和，是否為直和？說明你的理由。*（20%）假設(shè)，在上定義變換如下： ， 。證明

25、：是上的線性變換。求在的基下的矩陣；試求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出的最小多項(xiàng)式；問：能否找到的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？* (10%)設(shè)的子空間，求使得。*（14%）設(shè)，求及矩陣函數(shù)。*（%）已知矩陣的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式都等于，并且矩陣。分別給出和的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；問：與是否相似？為什么？*（12%）已知矩陣，求的廣義逆矩陣。* 假設(shè)是歐幾里德空間中單位向量，上的線性變換定義如下：對任意，。證明：是上的正交變換。* 假設(shè)是酉矩陣, 是Hermite矩陣，并且。記。證明：存在酉矩陣，使得是對角陣。*（20%）假設(shè)。記。證明：是的子空間。若是單位矩陣，求。V若，。求這時的一組基及其

26、維數(shù)。假設(shè)。問：對上一小題中的和，是否為直和？說明你的理由。*（20%）假設(shè)，在上定義變換如下： ， 。證明：是上的線性變換。求在的基下的矩陣；試求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出的最小多項(xiàng)式；問：能否找到的基，使得的矩陣為對角陣？為什么？* (10%)設(shè)的子空間，求使得。*（14%）設(shè)，求及矩陣函數(shù)。*（14%）已知矩陣的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式都等于，并且矩陣。分別給出和的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；問：與是否相似？為什么？*（12%）已知矩陣，求的廣義逆矩陣。* 假設(shè)是歐幾里德空間中單位向量，上的線性變換定義如下：對任意，。證明：是上的正交變換。* 假設(shè)是酉矩陣, 是Hermite矩陣，并且。記。證明

27、：存在酉矩陣，使得是對角陣。* 假設(shè)的子空間，分別求的基及它們的維數(shù)。*假設(shè)，在上定義變換如下： ， 。證明：是上的線性變換。求在的基下的矩陣；試求的值域及核空間的基及它們的維數(shù)；問：是不是直和？為什么？*設(shè)的子空間，求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。 *假設(shè)為歐氏空間，為實(shí)數(shù)，是單位向量。上的線性變換定義如下：問：當(dāng)參數(shù)取什么值時，是上的正交變換？*假設(shè)矩陣的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式都等于，并且。分別給出和的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；問：與是否相似？為什么？*已知矩陣，求。*已知矩陣，求的廣義逆矩陣。* 假設(shè)是酉矩陣,是矩陣。證明：是酉矩陣當(dāng)且僅當(dāng)是酉矩陣。* 假設(shè)、都是Hermite矩陣。證明是Hermite矩

28、陣當(dāng)且僅當(dāng)。* 假設(shè)的子空間，分別求的基及它們的維數(shù)。* 假設(shè)，在上定義變換如下： ， 。證明：是上的線性變換。求在的基下的矩陣；試求的值域及核空間的基及它們的維數(shù)；問：是不是直和？為什么？* 設(shè)的子空間，求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。 * 假設(shè)為歐氏空間，為實(shí)數(shù)，是單位向量。上的線性變換定義如下：問：當(dāng)參數(shù)取什么值時，是上的正交變換？* 假設(shè)矩陣的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式都等于，并且。分別給出和的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；問：與是否相似？為什么？* 已知矩陣，求。* 已知矩陣，求的廣義逆矩陣。* 假設(shè)是酉矩陣,是矩陣。證明：是酉矩陣當(dāng)且僅當(dāng)是酉矩陣。* 假設(shè)、都是Hermite矩陣。證明是Hermite矩陣當(dāng)

29、且僅當(dāng)。*（20%）假設(shè)的子空間：，分別求的基及它們的維數(shù)。*（20%）假設(shè)，在上定義變換如下： ， 。證明：是上的線性變換。求在的基下的矩陣；假設(shè)，寫出在上述基下的坐標(biāo)，求，并寫出在上述基下的坐標(biāo)；假設(shè)，問：滿足什么條件時？試給出的核空間的一組基。* (10%)假設(shè)是歐幾里德空間中單位向量，上的映射定義如下：對任意，。證明：是上的線性變換；問：當(dāng)參數(shù)取什么值的時候，是上的正交變換？說明你的理由。*（14%）設(shè)。求；將矩陣函數(shù)寫成關(guān)于的多項(xiàng)式。*（%）已知矩陣的特征多項(xiàng)式,的最小多項(xiàng)式。寫出的所有可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；如果已知矩陣的秩為,寫出的所有可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；假設(shè)矩陣,問:與

30、是否相似？為什么？*（12%）已知矩陣，求的廣義逆矩陣。*（%）判斷下列結(jié)論是否成立。若成立，請給予證明；若不成立，請舉出反例：兩個Hermite矩陣的乘積還是Hermite矩陣；兩個酉矩陣的乘積還是酉矩陣。*（20%）假設(shè)，的子空間：， 分別求的基及它們的維數(shù)。*（20%）定義上的線性變換如下：， 求在的基下的矩陣；假設(shè)，問：滿足什么條件時？求的核空間的一組基及其維數(shù)；求的值域的一組基及其維數(shù)；問：是否有？為什么？* (10%)假設(shè)是維歐幾里德空間中的單位向量，上的映射定義如下：對任意，。證明：是上的線性變換；問：當(dāng)參數(shù)取什么值的時候，是上的正交變換？說明你的理由。*（14%）設(shè)。求的特征多

31、項(xiàng)式、最小多項(xiàng)式及的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；求；將矩陣函數(shù)寫成關(guān)于的多項(xiàng)式。*（14%）已知矩陣的特征多項(xiàng)式,的最小多項(xiàng)式。問：是幾階矩陣？請寫出的所有可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；如果矩陣的秩為,寫出的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；如果矩陣的秩為,矩陣,問:與是否相似？為什么？*（12%）已知矩陣，求的廣義逆矩陣。* 若是階正規(guī)陣，是階酉矩陣，證明：矩陣也是正規(guī)矩陣。* 假設(shè)階方陣滿足，且是Hermite矩陣。證明：（請注明每一步的理由）。*（20%）假設(shè)的子空間：， 分別求的基及它們的維數(shù)。*（20%）假設(shè)，在上定義變換如下：， 證明：是上的線性變換；求在的基下的矩陣；假設(shè)，分別寫出及在上述基下的坐標(biāo)列向量

32、，并問：之間有什么關(guān)系？假設(shè)，問：滿足什么條件時？求的核空間的一組基，問：的值域的維數(shù)是多少？* (10%)設(shè)是齊次線性方程組的解空間，求使得。*（14%）設(shè)。求的特征多項(xiàng)式、最小多項(xiàng)式及的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；求；將矩陣函數(shù)寫成關(guān)于的多項(xiàng)式。*（14%）已知矩陣的特征多項(xiàng)式,的最小多項(xiàng)式。寫出的所有可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；如果矩陣的秩為,寫出的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；如果矩陣的秩為，矩陣，問:與是否相似？為什么？*（12%）已知矩陣，求的廣義逆矩陣。*（%）證明題：假設(shè)階Hermite矩陣是正定陣，是階可逆矩陣。證明：矩陣也是正定矩陣。若階上三角矩陣是正規(guī)陣，證明一定是對角陣。*（20%）假設(shè)矩

33、陣，。證明是的子空間，并求的基和維數(shù)；假設(shè)的子空間，求的基和維數(shù)；求的基和維數(shù)。*（12%）設(shè)。求的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式，并求。*（20%）假設(shè)矩陣，在上定義映射如下：對任意，證明：是上的線性變換；求在的基下的矩陣；求的值域及核子空間的各一組基及它們的維數(shù)；問：是否成立？為什么？*（15%）假設(shè)矩陣，求的廣義逆矩陣。*（15%）設(shè)矩陣，。求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；若與是相似的，問：參數(shù)應(yīng)滿足什么條件？試說明你的理由。*（10%）假設(shè)，的由生成的子空間，。在中求向量，使得。* 假設(shè)是正規(guī)矩陣，是酉矩陣。證明：也是正規(guī)矩陣。* 證明：對于任意矩陣,。其中, 是的算子2范數(shù), 是的Frobeni

34、us范數(shù)。 *（20%）假設(shè)。記。證明：是的子空間。若，求這時的一組基及其維數(shù)。若，記。求的一組基及其維數(shù)。是否為直和？說明你的理由。*（15%）假設(shè)，在上映射如下：，。證明：是上的線性變換。求在的基下的矩陣；分別求的值域及核空間的基及其維數(shù)；*的子空間，求使得。*（15%）設(shè)，求的特征多項(xiàng)式、最小多項(xiàng)式，并求矩陣函數(shù)。*（5%）已知矩陣的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式都等于，并且矩陣。分別給出和的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；問：與是否相似？為什么？*（15%）已知矩陣，求的廣義逆矩陣。*（8%）證明題：假設(shè)是歐幾里德空間中單位向量，上的線性變換定義如下：對任意，。證明：是上的正交變換。假設(shè)是酉矩陣, 是He

35、rmite矩陣，并且。記。證明：存在酉矩陣，使得是對角陣。*（20%）假設(shè)矩陣， 證明是的子空間，并求的基和維數(shù)；假設(shè)的子空間，求的基和維數(shù)；求的基和維數(shù)。*（12%）設(shè)。試將表示成關(guān)于的次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式。*（20%）假設(shè)矩陣，在上定義映射如下：對任意， 證明：是上的線性變換；求在的基下的矩陣；求的值域及核子空間的各一組基及它們的維數(shù)；問：是否成立？為什么？*（15%）假設(shè)矩陣，求的廣義逆矩陣。*（15%）設(shè)矩陣，。討論矩陣及的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；若與是相似的，問：參數(shù)應(yīng)滿足什么條件？試說明你的理由。*（10%）假設(shè)，的由生成的子空間，。在中求向量，使得。*（8%）證明題假設(shè)矩陣的算子2范

36、數(shù)為，證明：矩陣的算子2范數(shù)為。設(shè)，且。證明：是正定矩陣。*（20%）假設(shè)。記。證明：是的子空間。若，求這時的一組基及其維數(shù)。若，記。求的一組基及其維數(shù)。是否為直和？說明你的理由。*（15%）假設(shè)，在上映射如下：，。證明：是上的線性變換。求在的基下的矩陣；分別求的值域及核空間的基及其維數(shù)；* (12%)設(shè)的子空間，求使得。*（15%）設(shè)，求的特征多項(xiàng)式、最小多項(xiàng)式，并求矩陣函數(shù)。*（5%）已知矩陣的特征多項(xiàng)式及最小多項(xiàng)式都等于，并且矩陣。分別給出和的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；問：與是否相似？為什么？*（15%）已知矩陣，求的廣義逆矩陣。*（8%）證明題：假設(shè)是歐幾里德空間中單位向量，上的線性變換定義

37、如下：對任意，。證明：是上的正交變換。假設(shè)是酉矩陣, 是Hermite矩陣，并且。記。證明：存在酉矩陣，使得是對角陣。*（20%）假設(shè)矩陣，。證明是的子空間，并求的基和維數(shù)；假設(shè)的子空間，求的基和維數(shù)；求的基和維數(shù)。*（12%）設(shè)。求的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式，并將表示成關(guān)于的次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式。*（20%）假設(shè)矩陣，在上定義映射如下：對任意，證明：是上的線性變換；求在的基下的矩陣；求的值域及核子空間的各一組基及它們的維數(shù)；問：是否成立？為什么？*（15%）假設(shè)矩陣，求的廣義逆矩陣。*（15%）設(shè)矩陣，。討論矩陣及的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；若與是相似的，問：參數(shù)應(yīng)滿足什么條件？試說明你的理由。*（

38、10%）假設(shè)，的由生成的子空間，。在中求向量，使得。*（8%）證明題假設(shè)是正規(guī)矩陣，的算子2范數(shù)。證明：矩陣的算子2范數(shù)。設(shè)列向量，且。證明：是正定矩陣。*（20%）假設(shè)矩陣， 證明：是的子空間；假設(shè)的子空間，分別求的基和維數(shù)。*（12%）設(shè)矩陣。試將表示成的次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式。*（20%）假設(shè)矩陣，在上定義映射如下：對任意， 證明：是上的線性變換；求在的基下的矩陣；求的值域及核子空間的各一組基及它們的維數(shù)；問：是否成立？為什么？*（15%）假設(shè)矩陣，求的廣義逆矩陣。*（15%）設(shè)矩陣，。試求矩陣及的所有可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；若與是相似的，問：參數(shù)應(yīng)滿足什么條件？試說明你的理由。*（10

39、%）假設(shè)，的由生成的子空間，。在中求向量，使得。*（8%）證明題設(shè)是正規(guī)陣，證明為Hermite陣的充分必要條件是的特征值全為實(shí)數(shù)。設(shè)，且。證明：是正定矩陣。*（20%）假設(shè)矩陣， 證明：是的子空間；假設(shè)的子空間，分別求的基和維數(shù)。*（12%）設(shè)矩陣。試將表示成的次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式。*（20%）假設(shè)矩陣，在上定義映射如下：對任意， 證明：是上的線性變換；求在的基下的矩陣；求的值域及核子空間的各一組基及它們的維數(shù)；問：是否成立？為什么？*（15%）假設(shè)是矩陣。問：當(dāng)矩陣滿足什么條件時，是的廣義逆矩陣；假設(shè)矩陣，求的廣義逆矩陣。*（18%）已知矩陣的特征多項(xiàng)式是，的最小多項(xiàng)式。試求矩陣的Jord

40、an標(biāo)準(zhǔn)形；若矩陣，問：參數(shù)滿足什么條件時，與是相似的？*（8%）假設(shè)矩陣，是齊次線性方程組的解空間。求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。*（7%）證明題設(shè)是階方陣，證明：。設(shè)是上三角矩陣。若是正規(guī)矩陣，證明：是對角陣。*（16%）設(shè)的子空間 ， 分別求及的基及維數(shù)*（10%）設(shè)，求。*（14%）設(shè)，在中定義線性變換：，。 求在的基下的矩陣；分別求的值域及核的基和維數(shù)。*（10%）設(shè)。求的廣義逆矩陣。*（10%）設(shè)矩陣。 寫出的一切可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；求。*（10%）設(shè), 求矩陣的下列范數(shù)：, ， ，*（6%）設(shè)。若秩= 1，證明： = 。這里 與 分別表示矩陣的2范數(shù)與Frobenius范數(shù)。*（6%

41、）設(shè)是正規(guī)陣，證明為Hermite陣的充分必要條件是的特征值全為實(shí)數(shù)。*（6%）設(shè)矩陣 ，如果，且秩= 秩， 證明：與相似。*（6%）設(shè) , , 是的特征多項(xiàng)式， 證明可逆的充分必要條件是與無公共的特征值。*（6%）設(shè)，且。證明：是正定矩陣；*證明：存在階可逆陣， 使。這里是階單位矩陣。* (16%)假設(shè)的子空間， 。分別求的基及其維數(shù)。* (8%)設(shè)矩陣。試將表示成關(guān)于的次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式。* (16%)上的線性變換定義如下：,求在的基下的矩陣；求的值域及核子空間的各一組基及它們的維數(shù)；問：是否成立？為什么？* (8%)假設(shè)矩陣，求的廣義逆矩陣。* (12%)假設(shè)矩陣的特征多項(xiàng)式是，最小多

42、項(xiàng)式是，并且。寫出的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，并討論的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；寫出* (10%)假設(shè)。若 ， ， 。試求和。* 假設(shè)矩陣滿足，證明：相似于對角陣,其中為的秩；.* 假設(shè)酉矩陣是正定的，證明：。* 假設(shè)是上三角矩陣，若是正規(guī)矩陣，證明：是對角陣。* 假設(shè)矩陣的秩等于，若不是冪零陣，證明：相似于對角陣。* 假設(shè)均是 Hermite矩陣，若的特征值均大于，的特征值均大于，證明：的特征值均大于。*（20%）記為復(fù)數(shù)域上的矩陣全體在通常的運(yùn)算下所構(gòu)成的復(fù)數(shù)域上的線性空間，矩陣，。證明是的子空間，并求的基和維數(shù)；假設(shè)的子空間，求的基和維數(shù)；求的基和維數(shù)。*（12%）假設(shè)矩陣，試求的廣義逆矩陣。*（16%）設(shè)矩陣。分別求的特征多項(xiàng)式及Jordan標(biāo)準(zhǔn)型；寫出的最小多項(xiàng)式；將表示成關(guān)于的次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式，并求。*（20%）記為復(fù)數(shù)域上的矩陣全體在通常的運(yùn)算下所構(gòu)成的復(fù)數(shù)域上的線性空間，對固定的矩陣，定義上的變換如下：對任意，。證明：對給定的矩陣，是上的線性變換；設(shè)。分別求在下的像，并求在的基下的矩陣；假設(shè)，求的值域及核子空間的各一組基及它們的維數(shù)；問：是否成立？為什么？* (12%)設(shè)矩陣，。根據(jù)的不同的值，討論矩陣的所有可能的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；若與是相似的，問：參數(shù)應(yīng)滿足什么條件？試說明理由。*