第4章_熱傳導(dǎo)問題數(shù)值解法

1、1第第4章章 熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法4.1 4.1 導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想應(yīng)用導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想應(yīng)用4.2 4.2 內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法4.3 4.3 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解4.4 4.4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法24.1 4.1 導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想應(yīng)用基本思想應(yīng)用4.1.1 4.1.1 基本思想基本思想 把原來在時(shí)間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量的場(chǎng)，如導(dǎo)熱物體的溫度場(chǎng)，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于

2、這些值的代數(shù)方程，來獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值。 這些離散點(diǎn)上被求物理量的集合稱為該物理量的數(shù)值解。 這一基本思想可用圖4-1所示的求解過程的框圖表示。34.1.2 導(dǎo)熱問題數(shù)值解求解基本步導(dǎo)熱問題數(shù)值解求解基本步驟驟 以圖4-2a所示的二維矩形域內(nèi)的穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱穩(wěn)態(tài)為例。（1）建立控制方程及定解條件。 控制方程描寫物理問題的微分方程邊界條件 02222dytddxtd)()()(0301020fWyWyfyyfHxHxxtthdydttthdydttthdxdtt4（2）區(qū)域離散化 如圖4-2b所示，用一系列與坐標(biāo)軸平行的網(wǎng)格線將求解區(qū)域劃分成許多子區(qū)域，以網(wǎng)格線的交點(diǎn)作為需

3、要確定溫度值的空間位置，稱為節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)的位置以該點(diǎn)在兩個(gè)方向的坐標(biāo)號(hào)m、n表示。相鄰節(jié)點(diǎn)間的距離稱為步長(zhǎng)，記為x和y。 每個(gè)節(jié)點(diǎn)都可以看成是以它為中心的一個(gè)小區(qū)域的代表，如圖4-2b中的有陰影線的小區(qū)域即是節(jié)點(diǎn)（m，n）所代表的區(qū)域，它由相鄰兩節(jié)點(diǎn)連線的中垂線構(gòu)成。 控制容積（元體）節(jié)點(diǎn)所代表的區(qū)域。（3）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程離散方程節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)方程，其建立是數(shù)值求解過程中的重要環(huán)節(jié)。當(dāng)x和y時(shí)，對(duì)于節(jié)點(diǎn)（m，n），其代數(shù)方程為)(411,1, 1, 1,nmnmnmnmnmttttt5（4）設(shè)立迭代初場(chǎng) 代數(shù)方程的求解方法：直接解法和迭代法。 在傳熱問題的有限差分解法中主要采用迭代

4、法。 初場(chǎng)對(duì)被求解的溫度場(chǎng)預(yù)先假定的一個(gè)解，在求解過程中不斷得到改進(jìn)。（5）求解代數(shù)方程組借助于計(jì)算機(jī)。線性問題常物性、無內(nèi)熱源非線性問題變物性或有內(nèi)熱源（6）解的分析通過求得的溫度場(chǎng)進(jìn)一步計(jì)算熱流密度等。4.2 內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的方法有：泰勒級(jí)數(shù)展開法熱平衡法考察圖4-3。64.2.1 泰勒級(jí)數(shù)展開法泰勒級(jí)數(shù)展開法以節(jié)點(diǎn)（m，n）處的二階偏導(dǎo)數(shù)為例，對(duì)節(jié)點(diǎn)（m+1，n)及（m-1，n）分別寫出函數(shù)t對(duì)（m，n）點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)展開式：)(62)(623,332,22, 13,332,22, 1bxxtxxtxxtttaxxtxxtxxtttnmn

5、mnmnmnmnmnmnmnmnm將式（a）、（b）相加得)(22,22, 1, 1cxxttttnmnmnmnm將式（c）改寫成如下形式：)(222, 1, 1,22xOxtttxtnmnmnmnm截?cái)嗾`差7略去截?cái)嗾`差有2,1,1,222, 1, 1,2222xtttytxtttxtnmnmnmnmnmnmnmnm將上式代入到前述的控制方程，得節(jié)點(diǎn)（m，n）的離散方程為0222,1,1,2, 1, 1xtttxtttnmnmnmnmnmnm表4-1 一階、二階導(dǎo)數(shù)的常用差分表達(dá)式中心差分84.2.2 熱平衡法熱平衡法 采用熱平衡法時(shí)，對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)所代表的元體用傅里葉定律直接寫出其能量守恒的表

6、達(dá)式。 如：節(jié)點(diǎn)（m-1，n）通過界面w傳導(dǎo)到節(jié)點(diǎn)（m，n）的熱流量為xttynmnmw, 1對(duì)于所研究的問題，元體（m，n）的能量守恒方程為0nsew0,1,1, 1, 1yttxyttxxttyxttynmnmnmnmnmnmnmnm節(jié)點(diǎn)（m，n）的離散方程為94.3 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解4.3.1 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立利用熱平衡法。（1）位于平直邊界上的節(jié)點(diǎn)如圖4-4所示。節(jié)點(diǎn)（m，n）的離散方程為0222,1,1, 1yxyttxyttxyqxttynmnmnmnmnmwnmnm10（2）外部角點(diǎn)如圖4-5

7、所示。節(jié)點(diǎn)（m，n）的離散方程為0222222,1, 1yxyttxqxqyxttynmnmnmwwnmnm（3）內(nèi)部角點(diǎn)如圖4-5所示。節(jié)點(diǎn)（m，n）的離散方程為0432222,1,1, 1, 1yxqxyttxyttxqyxttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnm114.4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法4.4.1 時(shí)間空間區(qū)域的離散化 以一維問題為例，如圖4-8所示。 x代表空間坐標(biāo) 代表時(shí)間坐標(biāo) 時(shí)間步長(zhǎng)從一個(gè)時(shí)間層到下一個(gè)時(shí)間層的間隔。 空間網(wǎng)格線和時(shí)間網(wǎng)格線的交點(diǎn)，如（n,i），代表了時(shí)間空 間區(qū)域中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置相應(yīng)的溫度記為)(int12將函數(shù)

8、t在節(jié)點(diǎn)（n,i+1）對(duì)節(jié)點(diǎn)（n,i）作泰勒展開，可得2).,()0()(211,1,1,1,222,1及中心差分的向后差分表達(dá)式類似地，可得的向前差分表達(dá)式。此式稱為表達(dá)式處一階導(dǎo)數(shù)的一種差分略去截?cái)嗾`差，得節(jié)點(diǎn)于是有inininininininininininininininininintttttttttttintttatttt134.4.2 一維平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的顯式格式一維平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的顯式格式 擴(kuò)散項(xiàng)取中心差分，非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)取向前差分，有求解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程就是從已知的初始溫度分布出發(fā)，根據(jù)邊界條件以次求得以后各個(gè)時(shí)間層上的溫度值，由上式可知，一旦i時(shí)層上各節(jié)點(diǎn)的溫度已知，可立即求得i+1

9、時(shí)層上各節(jié)點(diǎn)的溫度，而不必聯(lián)立方程，因而上式所代表的格式稱為顯式差分格式。)21 ()(2211212111ininininininininintxattxatxtttatt上式可改寫為144.4.3 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的隱式格式非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的隱式格式將上式中的擴(kuò)散項(xiàng)用（i+1）時(shí)層的值來表示，即得隱式格式。也可看成非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)向后差分。21111112xtttattininininin4.4.4 邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程如圖4-9所示，利用熱平衡法。節(jié)點(diǎn)N的離散方程為網(wǎng)格畢渥數(shù)網(wǎng)格傅里葉數(shù)，式中，最終可整理為xhBixaFotBiFotFoFoBiFottttxctthxttfiNiNiNiNiNiNfiNiN2111122)221 (2)(154.4.5 一維平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱顯式格式離散方程及穩(wěn)定性分析一維平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱顯式格式離散方程及穩(wěn)定性分析以第三類邊界條件下厚度為2的大平板的數(shù)值計(jì)算問題作一歸納。如圖4-10.解的穩(wěn)定性i時(shí)刻點(diǎn)n的溫度越高，則相繼時(shí)刻的溫度也越高，反之亦然。為此（1）式中等號(hào)右邊第二項(xiàng)前的系數(shù)需大于0或等于0，有（3）式等號(hào)右邊第一項(xiàng)前的系數(shù)也為大于0或等于0，有