固體物理課后答案

1、1.1 如果將等體積球分別排列成下列結(jié)構(gòu)，設(shè)x 表示鋼球所占體積與總體積之比，證明結(jié)構(gòu) x簡單立方 / 6 0.52 體心立方 3 / 8 0.68 面心立方 2 / 6 0.74六方密排 2 / 6 0.74 金剛石 3 /16 0.34解：設(shè)鋼球半徑為r ，根據(jù)不同晶體結(jié)構(gòu)原子球的排列，晶格常數(shù)a 與r 的關(guān)系不同，分別為：簡單立方：a = 2r金剛石：根據(jù)金剛石結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，因?yàn)轶w對角線四分之一處的原子與角上的原子緊貼，因此有1.3 證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是體心立方。證明：體心立方格子的基矢可以寫為面心立方格子的基矢可以寫為根據(jù)定義，體心立方晶格的倒格子

2、基矢為同理 與面心立方晶格基矢對比，正是晶格常數(shù)為4 / a的面心立方的基矢，說明體心立方晶格的倒格子確實(shí)是面心立方。注意，倒格子不是真實(shí)空間的幾何分布，因此該面心立方只是形式上的，或者說是倒格子空間中的布拉菲格子。根據(jù)定義，面心立方的倒格子基矢為同理 而把以上結(jié)果與體心立方基矢比較，這正是晶格常數(shù)為4 a的體心立方晶格的基矢。證明：根據(jù)定義，密勒指數(shù)為的晶面系中距離原點(diǎn)最近的平面ABC 交于基矢的截距分別為即為平面的法線根據(jù)定義，倒格子基矢為則倒格子原胞的體積為1.6 對于簡單立方晶格，證明密勒指數(shù)為(h, k,l)的晶面系，面間距d 滿足其中 a 為立方邊長。解：根據(jù)倒格子的特點(diǎn)，倒格子與

3、晶面族(h, k,l)的面間距有如下關(guān)系因此只要先求出倒格，求出其大小即可。因?yàn)榈垢褡踊富ハ嗾?，因此其大小為則帶入前邊的關(guān)系式，即得晶面族的面間距。1.7 寫出體心立方和面心立方晶格結(jié)構(gòu)的金屬中，最近鄰和次近鄰的原子數(shù)。若立方邊長為a ，寫出最近鄰和次近鄰的原子間距。答：體心立方晶格的最近鄰原子數(shù)（配位數(shù)）為8，最近鄰原子間距等于次近鄰原子數(shù)為6，次近鄰原子間距為a ；面心立方晶格的最近鄰原子數(shù)（配位數(shù)）為12，最近鄰原子間距等于次近鄰原子數(shù)為6，次近鄰原子間距為a 。2.1 證明兩種一價(jià)離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù)為 = 2ln 2證明：設(shè)一個由正負(fù)兩種離子相間等距排列的無限一維長鏈，

4、取一負(fù)離子作參考離子，用r表示相鄰離子間的距離，于是有根據(jù)假設(shè)，馬德隆常數(shù)求和中的正負(fù)號這樣選取，即遇正離子取正號，遇負(fù)離子取負(fù)號。因子 2 是因?yàn)榇嬖谥鴥蓚€相等距離i r 的離子，一個在參考離子左面，一個在其右面。則馬德隆常數(shù)為當(dāng)x =1時，有所以 = 2ln 2根據(jù)平衡條件，即穩(wěn)定結(jié)合時 求得 則可以求得每一摩爾氫分子晶體的結(jié)合能為計(jì)算中沒有考慮零點(diǎn)能的量子修正，這是造成理論和實(shí)驗(yàn)值之間巨大差別的原因。 是1.5的圖 是3.2的圖 是3.3的圖3.2 討論N 個原胞的一維雙原子鏈（相鄰原子間距為a），其2N 個格波解，當(dāng)M = m時與一維單原子鏈的結(jié)果一一對應(yīng)。解：如圖所示，質(zhì)量為M 的原

5、子位于2n 1, 2n +1, 2n + 3􀀢􀀢 質(zhì)量為m 的原子位于2n, 2n + 2,2n + . 牛頓運(yùn)動方程為每個原胞有兩個，共有2N 個形式相同的獨(dú)立方程。形式解為：代回運(yùn)動方程有這是一個以 A 、B 為未知量的齊次線性方程組，有解的條件是系數(shù)行列式為零有兩組不同的解：q 的取值范圍是：對應(yīng)于每個 q 值，有兩個格波，共計(jì)2N 個格波。當(dāng)M = m時，兩組解變?yōu)槌蹩此坪跞詾殡p值函數(shù)，但是由于原來取布里淵區(qū)為為實(shí)際區(qū)域大小的一半，所以當(dāng)我們把布里淵區(qū)擴(kuò)展為時，就不必用雙值表示了，變?yōu)檫@時當(dāng)然就沒有光學(xué)波了3.3 考慮一雙原子鏈的晶格振動，鏈上最近鄰

6、原子間力常數(shù)交替為c 和10c 。令兩種原子質(zhì)量相同，且最近鄰間距為a / 2。求在k = 0和k = / a處的(k)。大略地畫出色散關(guān)系。此問題模擬如2 H 這樣的雙原子分子晶體。解：可以這樣考慮這個問題， H2分子組成一維晶體，分子內(nèi)部的相互作用較強(qiáng)，力常數(shù)為10c ，相鄰的原子間作用較弱，力常數(shù)為c ，第s 個分子中的兩個原子的位移分別用表示： 將試探解代入上式 有 是u ， 的線性齊次方程組，存在非零解的條件為當(dāng)k = 0時，當(dāng)k = / a 時 2與k 的關(guān)系如下圖所示，這是一個雙原子(例如2 H )晶體。令3.6 求出一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)。解：設(shè)單原子鏈長度 L = Na頻率分布函數(shù)3.7 設(shè)三維晶格的光學(xué)振動在q = 0附近的長波極限有求證：解：依據(jù)現(xiàn)在帶入上邊結(jié)果有3.8 有N 個相同原子組成的面積為S 的二維晶格，在德