山東省濟寧市嘉祥一中2012-2013學年高二數(shù)學下學期期中考試 理 新人教A版

1、2012-2013學年山東省濟寧市嘉祥一中高二（下）期中數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（本大題共11小題，每小題5分，共60分）1（5分）=（）ABCD考點：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算專題：計算題分析：利用復數(shù)代數(shù)形式的除法法則即可得到答案解答：解：=，故選B點評：本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，屬基礎題2（5分）函數(shù)f（x）=在（0，1）處的切線方程是（）Ax+y1=0B2x+y1=0C2xy+1=0Dxy+1=0考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程專題：導數(shù)的綜合應用分析：先對函數(shù)f（x）=進行求導，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線f（x）=在點x=0處的切線斜率，進而可得到切線方程解答：解：f（x）

2、=，切線的斜率k=f（x）|x=0=1，切點坐標（0，1）切線方程為y1=（x0），即x+y1=0故選A點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù) 的求導運算導數(shù)是由高等數(shù)學下放到高中數(shù)學的新內(nèi)容，是高考的熱點問題，每年必考，一定要強化復習3（5分）曲線y=x33x和y=x圍成的面積為（）A4B8C10D9考點：定積分專題：計算題分析：先求出曲線y=x33x與y=x的交點坐標，得到積分的上下限，然后利用定積分求出第一象限所圍成的圖形的面積，根據(jù)圖象的對稱性可求出第三象限的面積，從而求出所求解答：解：曲線y=x33x與y=x的交點坐標為（0，0），（2，2），（2，2）曲線y=x33x與直線y=

3、x在y軸右側(cè)所圍成的圖形的面積是（xx3+3x）dx=（4xx3）dx=（2x2x4）=4，根據(jù)y=x33x與y=x都是奇函數(shù)，關于原點對稱，y軸左側(cè)的面積與第一象限的面積相等曲線y=x33x與y=x所圍成的圖形的面積為 2×4=8故選B點評：本小題考查根據(jù)定積分的幾何意義，以及會利用定積分求圖形面積的能力，同時考查了函數(shù)圖象的對稱性4（5分）有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導函數(shù)f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函數(shù)f（x）的極值點，因為函數(shù)f（x）=x3在x=0處的導數(shù)值f'（0）=0，所以，x=0是函數(shù)f（x）=x3的極值點以上推理中（）A大前提

4、錯誤B小前提錯誤C推理形式錯誤D結(jié)論正確考點：演繹推理的基本方法專題：閱讀型分析：在使用三段論推理證明中，如果命題是錯誤的，則可能是“大前提”錯誤，也可能是“小前提”錯誤，也可能是推理形式錯誤，我們分析的其大前提的形式：“對于可導函數(shù)f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函數(shù)f（x）的極值點”，不難得到結(jié)論解答：解：大前提是：“對于可導函數(shù)f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函數(shù)f（x）的極值點”，不是真命題，因為對于可導函數(shù)f（x），如果f'（x0）=0，且滿足當xx0時和當xx0時的導函數(shù)值異號時，那么x=x0是函數(shù)f（x）的極值點，大前提錯誤，故

5、選A點評：本題考查的知識點是演繹推理的基本方法，演繹推理是一種必然性推理，演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊涵關系因而，只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實的，但錯誤的前提可能導致錯誤的結(jié)論5（5分）設a，b，c（，0），則a+，b+，c+（）A都不大于2B都不小于2C至少有一個不大于2D至少有一個不小于2考點：反證法與放縮法專題：證明題分析：假設a+2，b+2，c+2，得a+b+c+6，因為a+2，b+2，c+2，即a+b+c+6，所以a+b+c+6成立解答：解：假設a+，b+，c+都小于或等于2，即a+2，b+2，c+2，將三式相加，得a+b+c+6，又因為a+2，b+2，c

6、+2，三式相加，得a+b+c+6，所以a+b+c+6成立故選C點評：本題考查不等式的性質(zhì)和應用，解題時要注意均值不等式的合理運用6（5分）以坐標軸為對稱軸，以原點為頂點且過圓x2+y22x+6y+9=0的圓心的拋物線的方程是（）Ay=3x2或y=3x2By=3x2Cy2=9x或y=3x2Dy=3x2或y2=9x考點：拋物線的標準方程；圓的標準方程分析：首先將圓方程化成標準形式，求出圓心為（1，3）；當拋物線焦點在y軸上時，設x2=2py，將圓心代入，求出方程；當拋物線焦點在x軸上時，設y2=2px，將圓心代入，求出方程解答：解：根據(jù)題意知，圓心為（1，3），（1）設x2=2py，p=，x2=y

7、；（2）設y2=2px，p=，y2=9x故選D點評：本題考查了拋物線和圓的標準方程，但要注意拋物線的位置有在x軸和y軸兩種情況，屬于基礎題7（5分）若f（x）=2f（2x）+f'（1）x4lnx，則f（1）等于（）A2B4C2D0考點：導數(shù)的運算；函數(shù)的值專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用分析：對f（x）=2f（2x）+f'（1）x4lnx兩邊對x求導，得f'（x）=2f'（2x）+f'（1），令x=1，求出f'（1）從而f（x）=2f（2x）2x4lnx，再把x=1代入此中即可求出f（1）的值解答：解：對f（x）=2f（2x）+f'（1）x4lnx

8、兩邊對x求導，得f'（x）=2f'（2x）+f'（1），令x=1，得f'（1）=2f'（1）+f'（1）4，f'（1）=2，f（x）=2f（2x）2x4lnx，令x=1得，f（1）=2f（1）2，f（1）=2故選C點評：此題考查學生靈活運用求導法則求函數(shù)的導函數(shù)，會利用自變量的取值求出函數(shù)所對應的值，是一道中檔題8（5分）取一根長度為5米的繩子，拉直后在任意位置剪斷，則剪得兩段的長度都不小于1米，且以剪得的兩段繩為兩邊的矩形的面積都不大于6平方米的概率為（）ABCD考點：幾何概型專題：概率與統(tǒng)計分析：本題考查的知識點是幾何概型的意義，設其

9、中一段長為xm，關鍵是要找出剪得兩段的長度都不小于1米，且以剪得的兩段繩為兩邊的矩形的面積都不大于6平方米時，x點對應的圖形的長度，并將其代入幾何概型的計算公式，進行求解解答：解：記“剪得兩段的長度都不小于1米，且以剪得的兩段繩為兩邊的矩形的面積都不大于6平方米”為事件A，繩子的總長為5米，設剪得的一段長為x米，則有：，解得2x3，如圖所示，只能在中間2米3米的部分剪斷，才能使剪出的兩段符合條件，根據(jù)幾何概型的概率公式，可得事件A發(fā)生的概率 P（A）=故選C點評：本題給出7米長的繩子，求使剪出的兩段繩子的長都不小于1米，且以剪得的兩段繩為兩邊的矩形的面積都不大于6平方米的概率著重考查了幾何概型

10、及其計算公式等知識，屬于基礎題9（5分）若的展開式中各項系數(shù)和為99n，則展開式中系數(shù)最大的項為（）A第3項B第4項C第5項D第6項考點：二項式定理的應用；二項式系數(shù)的性質(zhì)專題：計算題分析：根據(jù)展開式中各項系數(shù)和為 3n=99n =3182n，求得n的值，解答：解：由于的展開式中各項系數(shù)和為 3n=99n =3182n，182n=n，解得n=6，故展開式的通項為 Tr+1=x6r2rxr=2rx62r由 ，由此解得自然數(shù)r=4，故展開式中系數(shù)最大的項為第五項故選C點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題10（5分）把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表設是位于這

11、個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第j個數(shù)，若aij=2013，則i與j的和為（）A105B103C82D81考點：數(shù)列的應用專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)列，前32個奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個數(shù)的和為1024，得到2013在第32個奇數(shù)行內(nèi)，且奇數(shù)從大到小排列，從而得到結(jié)果解答：解：由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)列，由2013=2×10071，得2013為第1007個奇數(shù)，又前31個奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個數(shù)的和為1+3+61=961，前32個奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個數(shù)的和為1024，故2013在第32個奇數(shù)行內(nèi)，所以i=63，且奇數(shù)從

12、大到小排列因為第63行的第一個數(shù)為2×10241=2047，2013=20472（m1），所以m=18，即j=18，所以i+j=81故選D點評：本題考查簡單的演繹推理，考查數(shù)列的特點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題11（5分）在1，2，3，414中任取4個數(shù)a1，a2，a3，a4且滿足a4a3+4，a3a2+3，a2a1+2共有多少種不同的方法（）A35B70C50D105考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題專題：概率與統(tǒng)計分析：用列舉法，由題意，14a410，10a36，7a23，5a11，再分類列舉，即可得到結(jié)論解答：解：用列舉法由題意，14a410，10a36，7a23，5a

13、111、當a1=1時，a2=3時，a3=6時，a4可以取10，11，12，13，14，這5個數(shù)中的一個；a3=7時，a4可以取11，12，13，14這4個數(shù)中的一個；a3=8時，a4可以取12，13，14這3個數(shù)中的一個；a3=9時，a4可以取13，14這2個數(shù)中的一個；a3=10時，a4=14 共有1+2+3+4+5=15種情況當a2=4時，同理可求有1+2+3+4=10種情況 當a2=5時，同理可求有1+2+3=6種情況當a2=6時，同理可求有1+2=3種情況 當a2=7時，同理可求有1種情況以上共有1+3+6+10+15=35種情況2、當a1=2時，同理可求有1+3+6+10=20種情況

14、3、當a1=3時，同理可求有1+3+6=10種情況4、當a1=4時，同理可求有1+3=4種情況 5、當a1=5時，同理可求有1種情況 總共有35+20+10+4+1=70情況故選B點評：本題考查計數(shù)問題，考查列舉法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題二填空題（共4小題，每題5分，共20分）12（5分）若曲線y=ex+a與直線y=x相切，則a的值為1考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程專題：導數(shù)的綜合應用分析：先求導函數(shù)，利用曲線y=ex+a與直線y=x相切，可知切線的斜率為1，得出切點的橫坐標，再利用切點處的函數(shù)值相等，即可求出a的值解答：解：設切點為（x，y），y=ex+a，y=e

15、x，直線y=x與曲線y=ex+a相切，ex=1，即x=0切點處的函數(shù)值相等，e0+a=0，解得a=1故答案為：1點評：本題以直線與曲線相切為載體，考查了利用導數(shù)研究曲線上過某點切線方程的斜率，解題的關鍵是正確理解導數(shù)的幾何意義13（5分）若（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4則（a0+a2+a4）2（a1+a3）2=1考點：二項式定理的應用專題：計算題分析：在（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中利用賦值法，分別令x=1可求a0+a1+a2+a3+a4，令x=1可求a0a1+a2a3+a4），而（a0+a2+a4）2（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3

16、+a4）（a0a1+a2a3+a4），代入可求解答：解：在（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中令x=1可得，a0+a1+a2+a3+a4=令x=1可得，（a0+a2+a4）2（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0a1+a2a3+a4）=1故答案為：1點評：本題主要考查了二項展開式中利用賦值法求解二項展開式的各項系數(shù)之和（注意是各項系數(shù)之和，要區(qū)別于二項式系數(shù)之和），解餓答本題還要注意所求式子的特點：符合平方差公式14（5分）=考點：定積分專題：計算題分析：由于=+前半部分由積分的幾何意義求解較好，其幾何意義是以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x從1到3部

17、分與x軸所圍成的圖形的面積解答：解：由于=+其中值相當于（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x從1到3部分與x軸所圍成的圖形的面積的大小，即圖中陰影部分的面積故其值是SACQ+S扇形ABQ+SBDQ=+=+，又=6，=故答案為：點評：本題考查求定積分，解題的關鍵是掌握住求定積分的公式以及定積分的幾何意義，對于有些原函數(shù)不易求出的積分的求解，用其幾何意義比較方便15（5分）在等比數(shù)列an中，若前n項之積為Tn，則有則在等差數(shù)列bn中，若前n項之和為Sn，用類比的方法得到的結(jié)論是S3n=3（S2nSn）考點：類比推理專題：壓軸題；探究型分析：由等差和等比數(shù)列的通項和求和公式及類比推理思想可得結(jié)果解答

18、：解：在等差數(shù)列中S3n=Sn+（S2nSn）+（S3nS2n）=（a1+a2+an）+（S2nSn）+（a2n+1+a2n+2+a3n）因為a1+a3n=a2+a 3n1=an+a2n+1=an+1+a2n所以Sn+（S3nS2n）=2（S2nSn），所以S3n=3（S2nSn）故答案為：S3n=3（S2nSn）點評：本題考查類比推理、等差和等比數(shù)列的類比，搞清等差和等比數(shù)列的聯(lián)系和區(qū)別是解決本題的關鍵三、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16（10分）在二項式的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列（1）求n的值；（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的

19、項；（3）求展開式中項的系數(shù)最大的項考點：二項式定理的應用；二項式系數(shù)的性質(zhì)專題：計算題分析：（1）前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列，可得 ，由此解得 n的值（2）由于第r+1項的二項式系數(shù)為，故當r=4時，二項式系數(shù)最大，由此求得二項式系數(shù)最大的項（3）研究系數(shù)絕對值即可，解得2r3，結(jié)合通項公式可得第三項的系數(shù)最大解答：解：（1）二項式的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列，即 n29n+8=0，解得 n=8；（2）由于第r+1項的二項式系數(shù)為，故當r=4時，二項式系數(shù)最大，故二項式系數(shù)最大的項為=（3）先研究系數(shù)絕對值即可，解得2r3，故系數(shù)最大的項為第三項，即點評：本題主要考查二項式定理

20、的應用，二項式系數(shù)、二項式的系數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于中檔題17（12分）數(shù)列an滿足Sn=2nan（nN）（）計算a1，a2，a3，a4；（）猜想通項公式an，并用數(shù)學歸納法證明考點：數(shù)學歸納法專題：計算題；證明題分析：（I）根據(jù)Sn=2nan，利用遞推公式，求出a1，a2，a3，a4（II）總結(jié)出規(guī)律求出an，然后利用歸納法進行證明，檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立解答：解：（）由a1=2a1，得a1=1，由a1+a2=2×2a2，得a2=，由a1+a2+a3=2×3a3，得a3=，由a1+a2+a3+a4=2×4a4，得a

21、4=，猜想an=（）證明：（1）當n=1，由上面計算可知猜想成立，（2）假設n=k時猜想成立，即ak=，此時Sk=2kak=2k，當n=k+1時，S k+1=2（k+1）a k+1，得Sk+ak+1=2（k+1）ak+1，因此ak+1=2（k+1）Sk=k+1（2k）=，當n=k+1時也成立，an=（nN+）點評：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項一種常用求解的方法18（12分）已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx3在x=1處取得極值，且在（0，3）點處的切線與直線2x+y=0

22、平行（1）求f（x）的解析式；（2）求函數(shù)g（x）=xf（x）+4x的單調(diào)遞增區(qū)間及極值（3）求函數(shù)g（x）=xf（x）+4x在x0，2的最值考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值專題：計算題分析：（1）由f（x）=ax2+bx3，知f（x）=2ax+b由二次函數(shù)f（x）=ax2+bx3在x=1處取得極值，且在（0，3）點處的切線與直線2x+y=0平行，知，由此能求出f（x）（2）由f（x）=x22x3，知g（x）=xf（x）+4x=x32x2+x，所以g（x）=3x24x+1=（3x1）（x1）令g（x）=0，得，x2=1列表討論能求出函數(shù)g（x

23、）=xf（x）+4x的單調(diào)遞增區(qū)間及極值（3）由g（0）=0，g（2）=2，結(jié)合（2）的結(jié)論，能求出函數(shù)g（x）的最大值和最小值解答：解：（1）f（x）=ax2+bx3，f（x）=2ax+b二次函數(shù)f（x）=ax2+bx3在x=1處取得極值，且在（0，3）點處的切線與直線2x+y=0平行，解得a=1，b=2所以f（x）=x22x3（2）f（x）=x22x3，g（x）=xf（x）+4x=x32x2+x，所以g（x）=3x24x+1=（3x1）（x1）令g（x）=0，得，x2=1x（，）（，1）1（1，+）g（x）+00+g（x）極大值極小值0所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（，），（1，+）在x

24、2=1有極小值為0在有極大值（3）g（0）=0，g（2）=2，由（2）知：函數(shù)g（x）的最大值為2，最小值為0點評：本題考查導數(shù)在求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點解題時要認真審題，仔細解答19（12分）知復數(shù)z=（1i）2+3+6i（1）求z及|z|；（2）若z2+az+b=8+20i，求實數(shù)a，b的值考點：復數(shù)求模；復數(shù)相等的充要條件專題：計算題分析：（1）利用復數(shù)代數(shù)形式的運算進行化簡可得z，根據(jù)求模公式可得|z|；（2）由（1）把z代入等式，利用復數(shù)相等的充要條件可得方程組，

25、解出即得a，b；解答：解：（1）z=（1i）2+3+6i=2i+3+6i=3+4i，|z|=5；（2）z2+az+b=（3+4i）2+a（3+4i）+b=（3a+b7）+（4a+24）i，所以z2+az+b=8+20i，即=（3a+b7）+（4a+24）i=8+20i，所以，解得；點評：本題考查復數(shù)代數(shù)形式的運算、復數(shù)相等的充要條件，屬基礎題20（12分）已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（1）試討論f（x）的極值（2）設g（x）=x22x+2，若對x1（0，+），x20，1，使得f（x1）g（x2），求實數(shù)a的取值范圍考點：函數(shù)在某點取得極值的條件；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用專題：導數(shù)的綜合應用分析：（1）求導數(shù)，利用導數(shù)不等式先判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)的極值（2）將f（x1）g（x2）問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+），當a0時f'（x）0，所以f（x）在（0，+）上為增函數(shù)，此時函數(shù)不存在極值當a0時，由f'（x）0，解得，