川師大學物理 恒定電流的磁場習題解

1、第十一章 恒定電流的磁場111 如圖11-1所示，幾種載流導(dǎo)線在平面內(nèi)分布，電流均為I，求它們在O點處的磁感應(yīng)強度B。（1）高為h的等邊三角形載流回路在三角形的中心O處的磁感應(yīng)強度大小為 ，方向 。（2）一根無限長的直導(dǎo)線中間彎成圓心角為120，半徑為R的圓弧形，圓心O點的磁感應(yīng)強度大小為 ，方向 。圖111IAOBCII（a）AO120IIBCDER（b）IOPABCb2b1II圖112解：（1）如圖11-2所示，中心O點到每一邊的距離為，BC邊上的電流產(chǎn)生的磁場在O處的磁感應(yīng)強度的大小為方向垂直于紙面向外。另外兩條邊上的電流的磁場在處的磁感應(yīng)強度的大小和方向都與相同。因此處的磁感應(yīng)強度是三

2、邊電流產(chǎn)生的同向磁場的疊加，即方向垂直于紙面向外。（2）圖11-1（b）中點O的磁感強度是由ab，bcd，de三段載流導(dǎo)線在O點產(chǎn)生的磁感強度B1，B2和B3的矢量疊加。由載流直導(dǎo)線的磁感強度一般公式可得載流直線段ab，de在圓心O處產(chǎn)生的磁感強度B1，B3的大小分別為方向垂直紙面向里。半徑為R，圓心角的載流圓弧在圓心處產(chǎn)生的磁感強度的大小為圓弧bcd占圓的，所以它在圓心O處產(chǎn)生的磁感強度B2的大小為方向垂直紙面向里。因此整個導(dǎo)線在O處產(chǎn)生的總磁感強度大小為方向垂直紙面向里。112 載流導(dǎo)線形狀如圖所示（圖中直線部分導(dǎo)線延伸到無窮遠），求點O的磁感強度B。圖（a）中，Bo= 。圖（b）中，Bo

3、= 。圖113xyzORII（a）xyzORII（b）yxzORII（c）圖（c）中，Bo= 。解：載流圓弧導(dǎo)線在圓心O處激發(fā)的磁感強度大小為，式中a為載流圓弧導(dǎo)線所張的圓心角，R為圓弧的半徑，I為所載電流強度。半無限長載流導(dǎo)線在圓心O處激發(fā)的磁感強度大小為，磁感強度的方向依照右手定則確定。圖113（a）中O處的磁感應(yīng)強度BO可視為由兩段半無限長載流導(dǎo)線及載流半圓弧激發(fā)的磁場在空間點O的疊加，根據(jù)磁場的疊加原理，對于在圖（a），有同樣的方法可得對于圖（b），有對于圖（c），有113 已知磁感應(yīng)強度B=2.0Wb/m2的均勻磁場，方向沿x軸正向，如圖11-4所示，則通過abcd面的磁通量為 ，通

4、過befc面的磁通量為 ，通過aefd面的磁通量為 。yxOBzfbcad30cm30cm40cm50cme圖114解：勻強磁場B對S的磁通量為，設(shè)各平面S的法線向外，則通過abcd面的磁通量為Wb= -0.24Wb通過befc面的磁通量為通過aefd面的磁通量為Wb= 0.24Wb114 磁場中某點處的磁感應(yīng)強度B=0.40i0.20j（T），一電子以速度=0.50106i+1.0106j（m/s）通過該點，則作用于該電子上的磁場力F= 。解：電子所受的磁場力為圖115I1I2L1L2L3L2F= -e(B)=1.61019（0.50106i+1.0106j）(0.40i0.20j)=810

5、-14 k（N）115 如圖11-5所示，真空中有兩圓形電流I1 和 I2 以及三個環(huán)路L1 L2 L3，則安培環(huán)路定理的表達式為= ，= ，= 。解：由安培環(huán)路定理可得；。圖117IIIyxBdF1dF1xdF1yRqdqLO圖116OBIILRI116 一通有電流I的導(dǎo)線，彎成如圖11-6所示的形狀，放在磁感應(yīng)強度為B的均勻磁場中，B的方向垂直紙面向里，則此導(dǎo)線受到的安培力大小為 ，方向為 。解：建立如圖11-7所示坐標系，導(dǎo)線可看成兩段直導(dǎo)線和一段圓弧三部分組成，兩段直導(dǎo)線所受安培力大小相等，方向相反，兩力的矢量和疊加后為零。在半圓弧導(dǎo)線上任取一電流元Idl，所受安培力大小，方向沿半圓的

6、半徑向外。將dF分解為dF（垂直于x軸）和dF/（平行于x軸），由對稱性可知，半圓弧導(dǎo)線所受安培力的水平分量相互抵消為零，即其垂直分量方向沿y軸正方向。因此，整段導(dǎo)線所受安培力。方向沿y軸正方向。BHOabc題118圖117 圖11-8中為三種不同的磁介質(zhì)的BH關(guān)系曲線，其中虛線表示的是B=m0H的關(guān)系，說明a、b、c各代表哪一類磁介質(zhì)的BH關(guān)系曲線：a 代表 的BH關(guān)系曲線；b代表 的BH關(guān)系曲線；c代表 的BH關(guān)系曲線。答：對各向同性的均勻磁介質(zhì)，順磁質(zhì)或抗磁質(zhì)有，B=m0mrH，B與H成正比關(guān)系，mr為常數(shù)，因此曲線bc代表順磁質(zhì)或抗磁質(zhì)。又因為順磁質(zhì)的mr 1，抗磁質(zhì)的mr1，所以順磁

7、質(zhì)的曲線斜率較大，故可進一步判斷曲線b代表順磁質(zhì)，曲線c代表抗磁質(zhì)，曲線a中B與H成非線性關(guān)系，表明該磁介質(zhì)的mr隨H發(fā)生變化，不是常數(shù)，這是鐵磁質(zhì)的性質(zhì)，所以曲線a代表鐵磁質(zhì)。IIIl圖119118 一無限長圓柱體均勻通有電流I，圓柱體周圍充滿均勻抗磁質(zhì)，與圓柱體表面相鄰的介質(zhì)表面上的磁化電流大小為I，方向與I的方向相反。沿圖11-9中所示閉合回路，則三個線積分的值分別為 ， ， 。解：由H的安培環(huán)路定理，得。由B的安培環(huán)路定理，得。由關(guān)系式及上述二式，得。119 半徑為R1的圓形載流線圈與邊長為R2的正方形載流線圈，通有相同的電流I，若兩線圈中心O1與O2的磁感應(yīng)強度大小相同，則半徑R1與

8、邊長R2之比為 。A B C D1:1 解：設(shè)兩載流線圈中電流I的方向均為順時針方向，半徑為R1的圓形載流線圈在中心O1點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小為方向垂直紙面向里邊長為R2的正方形載流線圈在中心O2點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度是各邊在該點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的疊加，由于各段導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度方向相同，均為垂直紙面向里，所以O(shè)2點的磁感應(yīng)強度大小是各邊在該點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小的代數(shù)和，有由于B1= B2，即因此因此，正確答案為（A）。1110 如圖11-10所示，在一磁感應(yīng)強度為B的均勻磁場中，有一與B垂直的半徑為R的圓環(huán)，則穿過以該圓環(huán)為邊界的任意兩曲面S1，S2的磁通量F1，F(xiàn)2為 。A-pR2B，-p

9、R2B B-pR2B，pR2B CpR2B，-pR2B DpR2B，pR2B解：半徑為R的圓分別與曲面S1，S2構(gòu)成一閉合曲面1，2，規(guī)定曲面外法向為曲面面元的正方向，根據(jù)磁場的高斯定理，磁感線是閉合曲線，閉合曲面的磁通量為零，則對閉合曲面1有BS1S2R圖1110由此可得同理，對閉合曲面2有由此可得因此，正確答案為（C）。PI2I1L圖11111111 如圖11-11所示，有兩根無限長直載流導(dǎo)線平行放置，電流分別為I1和I2，L是空間一閉曲線，I1在L內(nèi)，I2在L外，P是L上的一點，今將I2 在L外向I1移近時，則有 。A與BP同時改變B與BP都不改變C不變，BP改變D改變，BP不變解：由真

10、空中的安培環(huán)路定理，表示穿過回路的電流的代數(shù)和，積分回路外的電流I2不會影響磁感應(yīng)強度沿回路的積分，但會改變回路上各點的磁場分布，則BP改變。因而（C）正確。1112 對于介質(zhì)中的安培環(huán)路定理，在下面說法中正確的是 。A只是穿過閉合環(huán)路的電流所激發(fā)，與環(huán)路外的電流無關(guān)B是環(huán)路內(nèi)、外電流的代數(shù)和C安培環(huán)路定律只在具有高度對稱的磁場中才成立D只有磁場分布具有高度對稱性時, 才能用它直接計算磁場強度的大小解：介質(zhì)中的安培環(huán)路定理在恒定磁場的任何介質(zhì)中都是成立的，無論磁場是否具有高度的對稱性，只是在磁場有高度對稱性時，我們可以選擇適當?shù)幕芈?，使得待求場點的磁場強度與回路積分無關(guān)，其它的線積分為零或與待

11、求場點相同，被積函數(shù)H可從積分號內(nèi)提出到積分號外，從而可計算出待求場點的磁場強度。因此用于求解磁場強度具有高度對稱性時的磁場強度，其它情況不能用它來求磁場，但并不表示它不成立。要注意的是，磁場強度和磁場強度環(huán)量是兩個不同的物理量，式中是環(huán)路內(nèi)電流的代數(shù)。定理表示磁場強度的環(huán)量等于穿過環(huán)路的電流的代數(shù)和，即磁場強度的環(huán)量只與穿過環(huán)路的電流有關(guān)，與環(huán)外電流無關(guān)，并不是磁場強度只與穿過環(huán)路的電流有關(guān)，空間任一點的磁場是環(huán)內(nèi)和環(huán)外電流共同激發(fā)的。因此（A）、（B）和（C）都是錯誤的。答案應(yīng)選（D）。1113 一質(zhì)量為m，帶電量為q的粒子在均勻磁場中運動，下列說法正確的是： A速度相同，電量分別為+q，

12、-q的兩個粒子，它們所受磁場力的方向相反，大小相等B只要速率相同，所受的洛倫茲力就一定相同C該帶電粒子，受洛倫茲力的作用，其動能和動量都不變D洛倫茲力總是垂直于速度方向，因此帶電粒子運動的軌跡必定為一圓形解：（1）正確。因為帶正電粒子所受洛倫茲力F=qB，帶負電粒子所受洛倫茲力F= -qB，所以F= F。（2）錯誤。帶電粒子所受洛倫茲力的大小F=qBsinq，它不僅與速度的大小有關(guān)，還與速度方向有關(guān)；（3）錯誤。帶電粒子受洛倫茲力的作用，速度的大小不改變，但速度方向要改變，所以其動能不變，但動量要改變。圖1112xyzBOMNP30（4）錯誤。在均勻磁場中，帶電粒子的運動軌跡取決于粒子初速度和

13、B的夾角q，當q=0或q=p時，帶電粒子不受洛倫茲力，其軌跡是直線，當時，帶電粒子作圓周運動，其運動軌跡是圓形，當和B的夾角q任意時，帶電粒子的運動軌跡是螺旋線。綜上所述，正確答案應(yīng)選（A）。1114 通有電流I的正方形線圈MNOP，邊長為a（如圖11-12），放置在均勻磁場中，已知磁感應(yīng)強度B沿z軸方向，則線圈所受的磁力矩T為 。AI a2B ，沿y負方向 BI a2B/2，沿z方向CI a2 B，沿y方向 DI a2 B/2，沿y方向 解：線圈所受的磁力矩為，其大小為，方向沿y方向。故選（D）。1115 半徑為R的圓柱形無限長載流直導(dǎo)體置于均勻無限大磁介質(zhì)中，若導(dǎo)體中流過的恒定電流為I，磁

14、介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率為mr（mrR）的同心圓周回路，利用磁介質(zhì)的安培環(huán)路定理先求出磁介質(zhì)中的磁場強度則磁介質(zhì)內(nèi)的磁化強度為因此，正確答案為（B）。1116 北京正負電子對撞機的儲存環(huán)是周長為240m的近似圓形軌道。當環(huán)中電子流強度為8mA時，在整個環(huán)中有多少電子在運行？已知電子的速率接近光速。解：一個電子繞存儲環(huán)近似以光速運動時，對電流的貢獻為，N個電子對電流的貢獻為，由此可得（個）1117 設(shè)想在銀這樣的金屬中，導(dǎo)電電子數(shù)等于原子數(shù)。當1mm直徑的銀線中通過30A的電流時，電子的漂移速率是多大？若銀線溫度是20C，按經(jīng)典電子氣模型，其中自由電子的平均速率是多大？銀的摩爾質(zhì)量取M=0.1kg/mo

15、l，密度r=104kg/m3。解：銀線單位體積的原子數(shù)為電流強度為30A時，銀線內(nèi)電子的漂移速率=4103m/s按經(jīng)典電子氣模型，自由電子的平均速率是m/s1118 已知導(dǎo)線中的電流按I=t25t+6的規(guī)律隨時間t變化，計算在t=1到t=3的時間內(nèi)通過導(dǎo)線截面的電荷量。解：由于電流I隨時間t發(fā)生變化，在dt時間內(nèi)通過導(dǎo)線截面的電荷量dq=Idt，在t1=1到t2=3內(nèi)通過的電荷量為C1119 已知兩同心薄金屬球殼，內(nèi)外球殼半徑分別為a，b（ab），中間充滿電容率為的材料，材料的電導(dǎo)率隨外電場變化，且=kE，其中k是常數(shù)，現(xiàn)將兩球殼維持恒定電壓V，求兩球殼間的電流強度和電場強度。abrO-Q+Q

16、圖1113解：設(shè)內(nèi)球帶電+Q，外球帶電-Q，由于電場分布具有球?qū)ΨQ性，可作半徑為r（arb）的同心球面高斯面，如圖11-13所示。由高斯定理可得 （1）又 （2）所以 （3）將（3）式代入（1）式得 （4）由沿徑向電流強度減小，沿徑向有漏電。1120 四條平行的載流無限長直導(dǎo)線，垂直地通過一連長為a的正方形頂點，每根導(dǎo)線中的電流都是I，方向如圖11-14所示，求正方形中心的磁感應(yīng)強度B。圖1115aaaaIII2134B2B3B1B4I圖1114IIaaaaII解：正方形中心的磁感應(yīng)強度B就是各導(dǎo)線所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的矢量疊加，又由右手螺旋定則知，中心處磁場強度為B=B1+B2+B3+B4=2

17、B1+2B2，方向如圖11-15所示。其中B1，B2的大小為則磁感應(yīng)強度B在水平方向分量為豎直方向為因此，正方形中心的磁感應(yīng)強度B的大小方向豎直向上。RIB地球北極圖11161121 如圖11-16所示，已知地球北極地磁場磁感應(yīng)強度B的大小為6.0105T，如設(shè)想此地磁場是由地球赤道上一圓電流所激發(fā)的，此電流有多大？流向如何？解：地球赤道圓電流在北極激發(fā)的磁感強度為因此赤道上的等效圓電流為A=1.72109 A由右手螺旋法則可判斷赤道圓電流流向由東向西。EERADFOq圖11171122 兩根導(dǎo)線沿半徑方向被引到鐵環(huán)上A，D兩點，并與很遠處的電源相接，電流方向如圖11-17所示，鐵環(huán)半徑為R，

18、求環(huán)中心O處的磁感應(yīng)強度。解：根據(jù)疊加原理，點O的磁感應(yīng)強度可視作由三段直線以及，兩段圓弧電流共同激發(fā)。由于電源距環(huán)較遠，。而，兩段直線的延長線通過點O，則，由畢奧薩伐爾定律知，導(dǎo)線，在O點的磁感應(yīng)強度為零，即。流過圓弧的電流I1，I2的方向如圖11-18所示，它們在O點激發(fā)的磁感應(yīng)強度即為所求。EeI1I2RACDFOq圖1118方法一：根據(jù)畢奧薩伐爾定律，圓弧，在O點激發(fā)的磁場分別為B1，B2，有B方向垂直紙面向外。方向垂直紙面向里。由于圓弧，構(gòu)成并聯(lián)電路，因而有，又由于圓弧，的電阻與其長度成正比，則即由右手螺旋法則可判斷出B1，B2方向相反，故點O的總磁感應(yīng)強度為方法二：一載流圓弧在圓心

19、處產(chǎn)生的磁感強度，式中a為圓弧載流導(dǎo)線所張的圓心角，設(shè)兩段圓弧，對圓心的張角分別為q和2p-q，則有由右手螺旋法則可判斷出BABD，BACD方向相反，故點O的總磁感應(yīng)強度為 （1）與方法一相同的步驟得出則將上式代入（1）式得點O的總磁感應(yīng)強度1123 一無限長半徑為R的半圓柱金屬薄片中，自下而上均勻地有電流I通過，如圖11-19所示。試求半圓柱軸線上任一點P的磁感應(yīng)強度B。圖1119IPR解：載流無限長半圓柱金屬薄片可視為許多沿軸線方向無限長載流直導(dǎo)線組成（如圖11-20（a）。其俯視圖如圖11-20（b）所示，金屬薄片在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度就是這些無限長載流直導(dǎo)線在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的矢量

20、疊加。過軸線上所求場點P做一截面垂直于軸，此截面為半圓，如圖11-20（b）所示，截面上長為范圍內(nèi)的長直載流導(dǎo)線電流dI為它在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為方向由右手螺旋關(guān)系確定，如圖11-20（b）所示。由于各無限長載流直導(dǎo)線在P點產(chǎn)生的dB方向各不相同，于是將dB分解成兩個分量dBx，dBy圖1120IPR（a）RyxqdqdBdBxdByPdI（b）所以所以該半圓柱在軸線上任一P點的磁感強度B的大小為方向沿x軸正方向。1124 一個半徑為R的塑料圓盤，表面均勻帶電+Q，如果圓盤繞通過圓心并垂直于盤面的軸線以角速度w勻速轉(zhuǎn)動，求：（1）圓心O處的磁感應(yīng)強度；（2）圓盤的磁矩。wOrdrR圖1121

21、解：（1）圓盤轉(zhuǎn)動時，其上電荷繞軸轉(zhuǎn)動形成電流，在空間激發(fā)磁場。圓盤電荷面密度為如圖11-21所示，在轉(zhuǎn)動圓盤面內(nèi)取半徑為r，寬度為dr的細圓環(huán)，環(huán)上電流為細圓環(huán)在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小由于所有細圓環(huán)在圓心處的磁感應(yīng)強度的方向都向相同，因此，方向垂直于盤面向外。（2）細圓環(huán)的磁矩為因此，整個圓盤的磁矩為1125 如圖11-22所示，長為0.1m的均勻帶電細桿，帶電量為1.01010C，以速率1.0m/s沿x軸正方向運動。當細桿運動到與y軸重合的位置進，細桿的下端到坐標原點O的距離為l=0.1m，試求此時桿在原點O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B。解：均勻帶電細桿可看成由許多電荷元dq組成。當均勻帶電細

22、桿運動時，相當于許多電荷元運動，每一運動電荷元在空間產(chǎn)生磁場dB，則空間場點的總磁感應(yīng)強度B是所有電荷元產(chǎn)生磁感應(yīng)強度的矢量疊加。vxyalOq圖1122建立如圖所示坐標系，在均勻帶電細桿上取電荷元，如圖11-23所示。利用運動電荷的磁場公式可求得dq在點O產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的大小為方向垂直于紙面向里圖1123vxyadqlOqy因此帶電細桿在點O產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的大小為T圖1124BOR1R2r1126 空心長圓柱形導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為R1，R2均勻流過電流I。求證導(dǎo)體內(nèi)部各點（R1rmg，mg可忽略）則可得 （1）導(dǎo)線跳起來后，最高達h，得 （2）由（1）、（2）兩式得通過導(dǎo)線的電量為（2

23、）式代入數(shù)值，得=0.38C圖1135I1I2dabBACEFD1135 如圖11-35，在長直導(dǎo)線AB旁有一矩形線圈CDEF，導(dǎo)線中通有電流I1=20A，線圈中通有電流I2=10A。已知d=1cm，a=9cm，b=20cm，求（1）導(dǎo)線AB的磁場對矩形線圈每邊的作用力；（2）矩形線圈所受合力及合力矩。解：長直導(dǎo)線AB在空間產(chǎn)生的磁場為方向垂直紙面向內(nèi)。CF邊受到的安培力為圖1136BACEFI1I2F4F2F3F1DN=8104 N由右手定則可知，力的方向垂直于CF邊向左，如圖11-36所示。同理，DE邊受到的安培力為N=8105 N方向垂直于DE邊向右，如圖11-36所示。由于FE邊上各點

24、B不同，所以在其上取電流元I2dl，則FE邊受到的安培力為N=9.2105 N方向垂直于FE邊向下，如圖11-36所示。CD邊受到的安培力F4=F3=9.2105 N方向垂直于CD邊向上，如圖11-36所示。由此可見，F(xiàn)E邊受到的安培力與CD邊受到的安培力大小相等，方向相反，此二合力為零。（2）矩形圈所受合力大小為N=7.2104 N由于F0，可知合力方向向左。矩形線圈所受合力矩為1136 一半徑為R=0.1m的半圓形閉合線圈，載有電流I=10A，放在均勻磁場中，磁場方向與線圈面平行，如圖11-37所示，已知B=0.5T。求：BIRO圖1137（1）在圖示位置時線圈的磁矩；（2）以線圈的直徑為轉(zhuǎn)軸