居余馬線性代數(shù)課后習(xí)題

1、第三章 課后習(xí)題及解答將1，2題中的向量表示成的線性組合：12解：設(shè)存在使得，整理得解得所以.設(shè)存在 使得，整理得，.解得 所以.判斷3，4題中的向量組的線性相關(guān)性：3. 4. 解： 3.設(shè)存在 使得，即 ，由，解得不全為零，故線性相關(guān).4.設(shè)存在 使得，即可解得不全為零，故線性相關(guān).5.論述單個(gè)向量線性相關(guān)和線性無關(guān)的條件.解：設(shè)存在使得，若，要使，當(dāng)且僅當(dāng)，故，單個(gè)向量線性無關(guān)的充要條件是；相反，單個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是.6.證明：如果向量組線性無關(guān)，則向量組的任一部分組都線性無關(guān).證：設(shè)向量組線性無關(guān)，利用反證法，假設(shè)存在該向量組的某一部分組線性相關(guān)，則向量組線性相關(guān)，與向量組線性無

2、關(guān)矛盾，所以該命題成立.7.證明：若線性無關(guān)，則也線性無關(guān).證：方法一，設(shè)存在使得，整理得，因?yàn)榫€性無關(guān)，所以，可解得，故線性無關(guān).方法二，因?yàn)?，又因?yàn)?，且線性無關(guān)，所以向量組的秩為2，故線性無關(guān).8.設(shè)有兩個(gè)向量組和其中 是分別在的個(gè)分量后任意添加個(gè)分量所組成的維向量，證明：(1) 若線性無關(guān)，則線性無關(guān)；(2) 若線性相關(guān)，則線性相關(guān).證：證法1，(1)設(shè)，因?yàn)榫€性無關(guān)，所以齊次線性方程只有零解，即 且，線性無關(guān).證法2，因?yàn)榫€性無關(guān)，所以齊次線性方程只有零解，再增加方程的個(gè)數(shù)，得，該方程也只有零解，所以線性無關(guān).(2) 利用反證法可證得，即假設(shè)線性無關(guān)，再由（1）得線性無關(guān)，與線性相關(guān)矛

3、盾.9. 證明：線性無關(guān)的充分必要條件是線性無關(guān).證：方法1，（）=（）因?yàn)榫€性無關(guān)，且，可得的秩為3所以線性無關(guān).線性無關(guān)；反之也成立.方法2，充分性，設(shè)線性無關(guān)，證明線性無關(guān).設(shè)存在使得，整理得，因?yàn)榫€性無關(guān)，所以，可解得，所以線性無關(guān).必要性，（方法1）設(shè)線性無關(guān)，證明線性無關(guān)，假設(shè)線性相關(guān)，則中至少有一向量可由其余兩個(gè)向量線性表示，不妨設(shè)線性表示，則向量組可由線性表示，且，所以線性相關(guān)，與線性無關(guān)矛盾，故線性無關(guān).方法2，令，設(shè)存在使得，由得，代入得，即因?yàn)榫€性無關(guān)，所以可解得，所以線性無關(guān).10.下列說法是否正確？如正確，證明之；如不正確，舉反例：（1）線性無關(guān)的充分必要條件是任意兩

4、個(gè)向量線性無關(guān)；解：不正確，必要條件成立，充分條件不成立，例：2維向量空間不在一條直線的3個(gè)向量，雖然兩兩線性無關(guān)，但這3個(gè)向量線性相關(guān)。設(shè)，兩兩線性無關(guān)，而線性相關(guān).（2）線性相關(guān)的充分必要條件是有個(gè)向量線性相關(guān)；解：不正確，充分條件成立，但必要條件不成立，例：設(shè)，線性相關(guān)，而 倆兩兩線性無關(guān).(3) 若線性相關(guān)，線性相關(guān)，則有不全為零的數(shù)，使得且，從而使得，故線性相關(guān).解：不正確，因?yàn)榫€性相關(guān)和線性相關(guān)，不一定存在同一組不全為零的數(shù)，使得和成立；或者說存在兩組不全為零的數(shù)和使得和成立.(4). 若線性無關(guān)，則線性無關(guān).解：不正確，因?yàn)槿?，1，1這組常數(shù)，使得，所以線性相關(guān).(5) 若線性

5、無關(guān)，則線性無關(guān)；解：不正確，因?yàn)榫€性相關(guān)，由9題，為奇數(shù)個(gè)時(shí)，線性無關(guān)，為偶數(shù)時(shí)，線性相關(guān).(6). 若線性相關(guān)，則線性相關(guān)；解：正確，因?yàn)榫€性相關(guān)，所以中至少有一向量可由剩余的個(gè)向量線性表示，則也可由那剩余的個(gè)向量線性表示，再因?yàn)?，所以線性相關(guān).11.如果線性相關(guān)，但其中任意3個(gè)向量都線性無關(guān)，證明必存在一組全不為零的數(shù)，使得.證：因?yàn)榫€性相關(guān)，所以存在不全為零的常數(shù)，使得，假設(shè)，則，得線性相關(guān)與題設(shè)矛盾.故；同樣方法可證得都不為零.所以該命題成立.12.若線性無關(guān)，證明：線性無關(guān)的充分必要條件是不能由線性表示.證：必要性，假設(shè)能由，則線性相關(guān)與線性無關(guān)矛盾，故不能由線性表示.充分性，設(shè)存

6、在使得，若，則能由線性表出，矛盾，所以，因此，又因?yàn)榫€性無關(guān)，所以，故，線性無關(guān).13.求下列向量組的秩及其一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用極大線性無關(guān)組線性表示：（1） （2）;（3）解：（1）=所以，向量組的秩為3，為一個(gè)極大線性無關(guān)組，.（2）類似（1），可求得向量組的秩為3，為一個(gè)極大線性無關(guān)組，且，.（3）類似（1），可求得向量組的秩為3，為一個(gè)極大線性無關(guān)組，.14.設(shè)向量組：（1）證明線性無關(guān)；（2）求向量組包含的極大線性無關(guān)組.（1）證：設(shè)存在,使得，求得，所以線性無關(guān)；（2）解， ,所以，為包含的一個(gè)極大線性無關(guān)組.15.設(shè)皆為階矩陣，證明：（1）秩;（2）秩，為任意階矩陣

7、.證：（1）設(shè)，則存在階可逆矩陣,使得從而則 秩秩（2）因?yàn)橹?所以秩.16.證明.證：設(shè)分別為矩陣，將按列分塊，則有的列向量組可由的列向量組線性表示，故的列秩的列秩=，同樣，將按行分塊，得，因此，該命題成立.1. 設(shè)分別為矩陣，且，證明：齊次線性方程組有非零解.證：由，所以，故齊次線性方程組有非零解.18.設(shè)是一個(gè)矩陣，是由的前行構(gòu)成的矩陣.證明：若的行向量組的秩為，則.證：設(shè) ，.設(shè)，于是，的行向量組的極大線性無關(guān)組含個(gè)向量。因此，的行向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組是向量組的一個(gè)子集，所以它所含向量個(gè)數(shù)，即，從而，.求下列（1922題）矩陣的秩，并指出該矩陣的一個(gè)最高階的非零子式：19. .

8、解：所以，矩陣的秩為3。為一個(gè)最高階的非零子式。20. .解： 所以，矩陣的秩為3。為一個(gè)最高階的非零子式。21. . 解：所以，矩陣的秩為3。為一個(gè)最高階的非零子式。22. 解：所以，矩陣的秩為4。為一個(gè)最高階的非零子式。23.設(shè)是一個(gè)矩陣，證明：存在非零的矩陣，使得的充要條件是 .證：設(shè)齊次線性方程組，則由，可得，由于，至少有一個(gè)，再由有非零解的充要條件是，故，至少有一個(gè)的充要條件是.24.設(shè)是同形矩陣，證明：與相抵的充要條件是.證：設(shè)是矩陣，則存在可逆矩陣，使得，充分性，因?yàn)椋裕?，,令,故，因此，與相抵.必要性，因?yàn)榕c相抵，所以，存在可逆矩陣,使得，因此，.25.設(shè)是矩陣，證明：存

9、在矩陣使得.證：因?yàn)椋?，存在可逆矩?使得，所以有, (1)（1） 右端乘階矩陣,得，令,故，.26.證明：若階方陣的秩為，則必有秩為的階方陣，使得.證：因?yàn)殡A方陣的秩為，所以的秩為，則的基礎(chǔ)解系含有個(gè)線性無關(guān)的解向量，取這個(gè)線性無關(guān)的解向量為的列向量，則.因此，該命題得證.27.證明：任何秩為的矩陣可以表示為個(gè)秩為1矩陣之和，而不能表示為少于個(gè)秩為1的矩陣之和.證：設(shè)為秩為的矩陣，則存在可逆矩陣使得，所以，其中為秩為1的矩陣因此，任何秩為的矩陣可以表示為個(gè)秩為1矩陣之和.后部的證明，（反證法）假設(shè)為秩為的矩陣，能表示為少于個(gè)秩為1的矩陣之和，不妨設(shè)能表示為個(gè)秩為1的矩陣之和，其中，設(shè)其中

10、是秩為1的矩陣.，與矛盾.28.求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系及一般解：（1）解：取為自由未知量，令和，得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，因此，一般解為=，其中為任意常數(shù).(2). 解：取為自由未知量，令，和，得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 因此，一般解為，其中，為任意常數(shù).29. 求下列非齊次線性方程組的一般解：（1）解：取為自由未知量，令，得方程組的一個(gè)特解：，再令和，得其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系：.所以，方程組的一般解為，其中為任意常數(shù).（2）解：取為自由未知量，令，得方程組的一個(gè)特解：；再取，和得其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系：所以，方程組的一般解為，其中為任意常數(shù).30.討論取何值時(shí)，下列線性方程組有

11、解、無解，有解時(shí)求其解.(1) 解：所以，或時(shí)，該方程組無解，且時(shí)，有唯一解是，（2）解：所以，當(dāng)或時(shí)，方程組無解；當(dāng)且時(shí)，方程組有無窮多解，取為自由變量，令，得方程組的一個(gè)特解：；再取，和得其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系：所以，方程組的一般解為，其中為任意常數(shù).（3）解：所以，當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解。當(dāng)時(shí)，方程組無解；當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)且時(shí)，方程組有無窮多解，其中為任意常數(shù)。當(dāng)且時(shí)，方程組無解。31.設(shè)是矩陣，證明：若任一個(gè)維向量都是的解，則.證：因?yàn)槿我粋€(gè)維向量都是的解，則維向量（第個(gè)分量為1其余分量均為0的列向量）滿足，即,其中是階單位方陣，因此，.32. 設(shè)是一個(gè)矩陣，是矩陣.是維列向量.證明：若

12、與是同解方程組，則.證： 因?yàn)槿襞c是同解方程組，所以，的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)與的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)相等.即，因此，.33. 設(shè)是矩陣, 是矩陣，證明：若，則.證：設(shè)，其中是一組列向量，由得，.若，則的基礎(chǔ)解系含有個(gè)線性無關(guān)的解向量，而為的解向量，則可由的基礎(chǔ)解系線性表示，所以，.故，.34.設(shè)是階矩陣的伴隨矩陣，證明：（1）（2） .證：（1）由于，當(dāng)時(shí)，所以，得；當(dāng)時(shí)，即至少有一個(gè)階子式不等于零，所以，且，因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，即的每一列均是齊次線性方程組的解，所以。因此，；當(dāng)時(shí)，的任一階子式都等于零，所以，故。（2）當(dāng)時(shí)，由，得。當(dāng)時(shí)，即，由（1）知，從而，所以也成立，故，對(duì)任

13、意階方陣，都有：。35. 設(shè)是階可逆矩陣，證明：.證：因?yàn)槭请A可逆矩陣，所以是階可逆矩陣，且。因?yàn)?，所以。又因?yàn)?，所以。因此，?6. 設(shè)是階矩陣，證明：非齊次線性方程組對(duì)任何都有解的充要條件是.證：充分性，因?yàn)椋?。因此，?duì)于任意，有解.必要性，(反證法) 假設(shè), 則。設(shè)，則線性相關(guān)，從而其中至少有一個(gè)向量能由其余向量線性表出，不妨設(shè)可由線性表出，取，則，即，所以方程組無解，矛盾。37.設(shè)證明：這個(gè)方程組有解的充要條件是，在有解的情形下，求出它的一般解。證：因?yàn)榧从辛?，增廣矩陣，方程組有解的充要條件為即。當(dāng)時(shí)，取為自由變量，令，得方程組的一個(gè)特解：；再取得其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系：所以，方程

14、組的一般解為，其中為任意常數(shù)。38. 已知是方程組的兩個(gè)不同解,是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系, 則一般解是:(A) ; (B) ;(C) ; (D) .解:可證得是線性無關(guān)的且是的解,因此是的一個(gè)基礎(chǔ)解系, 是的一個(gè)解, 因此, 選(B).39.已知,為非零矩陣, 則:(A) 當(dāng)時(shí),; (B) 當(dāng)時(shí),; (C) 當(dāng)時(shí),; (D) 當(dāng)時(shí),;解: 因?yàn)? 且, 所以, 又因?yàn)闉榉橇憔仃? 所以, 當(dāng)時(shí), , 因此, , 即, 故選(C).40.設(shè),則三條直線交于一點(diǎn)的充要條件是:(A) 線性相關(guān), (B) 線性無關(guān);(C) ; (D) 線性相關(guān), 線性無關(guān).解:因?yàn)橛形ㄒ唤獾某湟獥l件是，即線性相

15、關(guān)。，即線性無關(guān)。所以，選(D)。 41.設(shè)是矩陣,是階矩陣,下列哪個(gè)成立?(A) 中任一階子式; (B) 中任意列線性無關(guān)；(C) ; (D) 若，則；(E) 若，則. 解：選 （E）. , 所以可逆，. 42. 設(shè)線性無關(guān), 下列哪個(gè)成立?(A) 對(duì)任意常數(shù)，有；(B) 任意個(gè)向量線性相關(guān)；(C) 對(duì)任意線性相關(guān)；(D) 任意個(gè)向量線性無關(guān).解：選（D），因?yàn)檎w線性無關(guān)，部分必線性無關(guān)。43.設(shè)線性無關(guān)，線性相關(guān)，下列哪個(gè)成立?(A) 必可由線性表示； （B） 必可由線性表示；(C) 必可由線性表示； (D) 必不可由線性表示.解：選（C）。因?yàn)榫€性無關(guān)，所以線性無關(guān)。因?yàn)榫€性無關(guān)，線性

16、相關(guān)，所以必可由線性表示，從而必可由線性表示。44. 設(shè)是矩陣，是非齊次線性方程組的三個(gè)線性無關(guān)解，下列哪個(gè)是的基礎(chǔ)解系？ (A) (B) (C) (D) 解：因?yàn)?，所以的基礎(chǔ)解系含有2個(gè)線性無關(guān)的解，因此(A), (B)不正確。 (D)的兩個(gè)解不是的解，故選(C).45. 設(shè)向量組線性相關(guān)，線性無關(guān)?；卮鹣铝袉栴}，并證明之。（1）能否由線性表示？（2）能否由線性表示？解：（1）因?yàn)榫€性無關(guān)，所以也線性無關(guān)，又因?yàn)榫€性相關(guān)，所以可由線性表示。（2）（反證法）假設(shè)能由線性表示，再由（1），能由線性表示，所以能由線性表示，即線性相關(guān)，與線性無關(guān)矛盾。所以，不能由線性表示。46.設(shè)為階矩陣，若存在正

17、整數(shù)使得，但（其中為維非零列向量），證明：線性無關(guān)。證明：（定義法證）若，上式兩邊左乘得，因?yàn)?，所以因此，又因?yàn)?，得。利用同樣方法，可求得，因此，線性無關(guān)。47.設(shè)分別為矩陣（ 且（階單位矩陣）， 證明：的列向量組線性無關(guān)。證：因?yàn)?，?所以，因此，而是矩陣，故，的列向量組線性無關(guān)。48.已知秩=秩，其中；，且可由線性表示，求的值。解：=因?yàn)榭捎删€性表示，所以有，因此，。所以秩=2。因?yàn)橹?秩=2，所以，所以，。49. 設(shè)為階矩陣（），且，求。解：因?yàn)?所以因?yàn)?，所以，因此，?0. 設(shè)階矩陣的每行元素之和均為零，又，求齊次線性方程組的通解。解：因?yàn)?，所以齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中含一個(gè)解向量

18、。設(shè)，因?yàn)榈拿啃性刂途鶠榱?，所以即，因此是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。從而，的通解為：，其中為任意常數(shù)。51. 已知下列線性方程組I, II為同解線性方程組，求參數(shù)之值。解：因?yàn)樗?，是方程組I的一個(gè)解，因?yàn)榉匠探MI與II同解，所以它也是方程組II的一個(gè)解，將它帶入方程組II，可得：。52.設(shè)，求解方程。解：即求解非齊次線性方程組：因?yàn)樗缘囊粋€(gè)特解為：。為其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。因此，的一般解為：，其中，為任意常數(shù)。53. 設(shè)階矩陣的行列式，的前列構(gòu)成的矩陣記為，問方程組有解否？為什么？解：無解，因?yàn)椤?54. 設(shè)均為非零的維列向量，證明：中任意兩行（或兩列）成比例。解：因?yàn)?，所以中?/p>

19、意兩行（或兩列）成比例。55. 設(shè)階矩陣分塊為，其中為階可逆矩陣（），證明：存在主對(duì)角元為1的上三角矩陣和下三角矩陣，使得。解：由分塊矩陣的初等變換，不難知道：所以，。56. 設(shè)皆為階矩陣，證明：（1） （2）（3）（為任意常數(shù)）。證：（1）因?yàn)?所以 因此，。（2）因?yàn)?所以 因此， 由（1）即得：。(3)分兩種情況來討論。當(dāng)時(shí)，成立。當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，。綜上，結(jié)論成立。57. 證明：若是矩陣，則存在矩陣，矩陣，且，使得（提示：利用相抵標(biāo)準(zhǔn)形）。證明：因?yàn)椋源嬖诳赡婢仃?階)、(階)，使得，則=令因?yàn)闉榭赡婢仃?，所以的列向量組線性無關(guān)，的行向量組線性無關(guān)。令即滿足條件，從而此題得證。58

20、. 設(shè)皆為階矩陣，證明存在可逆矩陣，使得。證明：結(jié)合相抵標(biāo)準(zhǔn)形，不難知道，存在可逆矩陣，使得：因?yàn)?，所以，令，則此題得證。59. 證明：（其中）線性相關(guān)的充要條件是存在一個(gè)使得可由線性表示，且表示法唯一。證明：（充分性）因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)使得可由線性表示所以，線性相關(guān)，從而線性相關(guān)。（必要性）因?yàn)榫€性相關(guān)，所以存在不全為零的一組常數(shù)使得在使成立的所有不為零的系數(shù)中，必有一個(gè)最小的下標(biāo)，使，但。下面說明。如果，則，從而矛盾。最后證表示法唯一。若線性相關(guān)，則顯然得到一組數(shù)與前面的取法矛盾。所以，線性無關(guān)。又因?yàn)榫€性相關(guān)，所以表示法唯一。60. 證明：向量組線性無關(guān)的充要條件是。提示：此命題是59題的逆否

21、命題。61. 設(shè)向量組線性無關(guān)，如在向量組的前面加入一個(gè)向量，證明：在向量組中至多有一個(gè)向量可經(jīng)其前面的個(gè)向量線性表示。并在中做幾何解釋。證明：反證，設(shè)有兩個(gè)向量均可經(jīng)其前面的向量線性表示： （1） （2）得：因?yàn)榫€性無關(guān)，所以線性無關(guān)，線性無關(guān)，因此，則由（1）知可由線性表出，與線性無關(guān)矛盾。62. 證明：在維向量空間中，若向量可經(jīng)向量組線性表示，則表示法唯一的充分必要條件是向量組線性無關(guān)。證明：（充分性）設(shè)有表示法兩式相減得：因?yàn)榫€性無關(guān)，所以，即可證表示法唯一。（必要性）反證，設(shè)線性相關(guān)，則存在不全為零的一組數(shù)設(shè)為使得因?yàn)橄蛄靠山?jīng)向量組線性表示，所以存在一組常數(shù)使得所以，因?yàn)椴蝗珵榱?，?/p>

22、以這是異于上面的另一種表示法，從而與表示法唯一矛盾。63. 設(shè)是階矩陣，。證明：證明：（1）因?yàn)?，所以的每行向量成比例，即得此結(jié)果。(1)令即得此結(jié)果。64. 設(shè)（1）證明：若有解，則的任一組解必滿足方程（2）方程組有解的充要條件是方程組無解（其中是零矩陣）。證明：（1）因?yàn)?，所以。因此，?duì)任一組，若它滿足，則必有，即，即(2) 方程組有解可由的列向量組線性表出（必要性）因?yàn)榭捎傻牧邢蛄拷M線性表出，所以所以，方程組無解。（充分性）因?yàn)榉匠探M無解，所以因此，從而可由的列向量組線性表出。65. 設(shè)是一個(gè)矩陣，齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為試求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)，并求出一個(gè)基礎(chǔ)解系。解：齊次線性方程